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简单的无理函数的不定积分

news 文章来源：https://blog.csdn.net/tanjunming2020/article/details/130452633 2024/11/19 2:42:44

前置知识：

直接积分法
有理函数的不定积分

简单的无理函数的不定积分

对无理函数积分的基本方法就是通过换元将其化为有理函数的积分。下面讲讲几类无理函数积分的求法。

注： $R (u, v)$ 是由 $u, v$ 与常数经过有限次四则运算得到的有理式。

形如 $\int R(x,\sqrt\dfrac{ax+b}{cx+d})dx$ 的积分

求形如 $\int R(x,\sqrt\dfrac{ax+b}{cx+d})dx$ 的积分，其中 $ad\neq bc$ 。

令 $t^n=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ，则 $x=\dfrac{dt^n-b}{a-ct^n}$ ， $dx=\dfrac{ad-bc}{(a-ct^n)^2}nt^{n-1}dt$ ，从而把原积分变换为有理函数的积分。

$\int R(x,\sqrt\dfrac{ax+b}{cx+d})dx=\int R(\dfrac{dt^n-b}{a-ct^n},t)\cdot\dfrac{ad-bc}{(a-ct^n)^2}nt^{n-1}dt$

例题

计算 $\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}}dx$

解：
$\qquad$ 令 $t=\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}}$ ，则 $x=\dfrac{t^3+1}{t^3-1}$ ， $dx=-\dfrac{6t^2}{(t^3-1)^2}dt$ ，于是

$\qquad$ 原式 $=\int \sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}}\cdot\dfrac{1}{x+1}dx=-\int t\cdot(\dfrac 12\cdot\dfrac{t^3-1}{t^3})\cdot \dfrac{6t^2}{(t^3-1)^2}dt$

$\qquad\qquad =-\int \dfrac{3}{t^3-1}dt=\int(-\dfrac{1}{t-1}+\dfrac{t+2}{t^2+t+1})dt$

$\qquad\qquad =-\ln|t-1|+\dfrac 12|t^2+t+1|+\sqrt 3\arctan(\dfrac{2t+1}{\sqrt 3})+C$

$\qquad\qquad =\dfrac 12\ln\dfrac{t^3-1}{(t-1)^3}+\sqrt3\arctan(\dfrac{2t+1}{\sqrt 3})+C$

$\qquad\qquad =\dfrac 12\ln|\dfrac{\frac{2}{x-1}}{(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1)^3}|+\sqrt3\arctan[\dfrac{2}{\sqrt 3}\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}}+\dfrac{1}{\sqrt 3}]+C$

$\qquad\qquad =-\dfrac12\ln|\dfrac{x-1}{2}|-\dfrac 32\ln|\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}}-1|+\sqrt3\arctan[\dfrac{2}{\sqrt 3}\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}}+\dfrac{1}{\sqrt 3}]+C$

形如 $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ 的积分

求形如 $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ 的积分，其中 $a\neq 0$ 。

这个无理式可以化为以下三种形式：

$\int R(x,\sqrt{(x+p)^2+q^2})dx$
$\int R(x,\sqrt{(x+p)^2-q^2})dx$
$\int R(x,\sqrt{q^2-(x+p)^2})dx$

对这三种情况，可以由以下变换将它们化为三角有理式的积分：

$x+p=q\tan t$
$x+p=q\sec t$
$x+p=q\sin t$

例题

计算 $\int \dfrac{\sqrt{x^2-2x+2}}{x-1}dx$

解：
$\qquad$ 令 $x-1=\tan t$ ，则 $\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{\tan^2 t+1}=\dfrac{1}{\cos t}$ ， $\dfrac{1}{\cos^2 t}dt$ ，于是

$\qquad$ 原式 $=\dfrac{1}{\sin t}\cdot\dfrac{1}{\cos^2t}dt=\int\dfrac{1}{(\cos^2t-1)\cos^2 t}\cdot(-\sin t)dt$

$\qquad\qquad =\int(\dfrac{1}{\cos^2 t-1}-\dfrac{1}{\cos^2 t})d(\cos t)=\dfrac 12\ln|\dfrac{\cos t-1}{\cos t+1}|+\dfrac{1}{\cos t}+C$

$\qquad\qquad =\dfrac 12\ln|\dfrac{(\cos t-1)^2}{\cos t^2-1}|+\sqrt{x^2-2x+2}+C=\dfrac 12\ln(\dfrac{1-\cos t}{\sin t})^2+\sqrt{x^2-2x+2}+C$

$\qquad\qquad =\ln|\dfrac{\frac{1}{\cos t}-1}{\tan x}|+\sqrt{x^2-2x+2}+C=\ln|\dfrac{\sqrt{x^2-2x+2}-1}{x-1}|+\sqrt{x^2-2x+2}+C$

总结

对于这些简单的无理函数的不定积分，要善于换元，将无理函数的不定积分转化为有理函数的不定积分，然后运用之前的知识来求解即可。

简单的无理函数的不定积分

形如 ∫ R ( x , a x + b c x + d ) d x \int R(x,\sqrt\dfrac{ax+b}{cx+d})dx ∫R(x,cx+dax+b​ ​)dx的积分

例题

形如 R ( x , a x 2 + b x + c ) R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) R(x,ax2+bx+c ​)的积分

例题

总结

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