math@多项式@求和式乘法@代数学基本定理

多项式@求和式乘法

• $$\begin{gathered} S=\prod _{j=1}{\left(\sum _{k=1}{a}_{jk}\right)}_j \\ =\prod _{j=1}^m{\left(\sum _{k=1}^{n_j}{a}_{jk}\right)}_j \end{gathered}$$

  • 分析这个表达式,可以从以下几个方面入手

    1. S展开后具有多少项?(不做任何合并项操作和值为零的项的省略)

       • 首先,乘法对加法满足分配律关系:$a(b+c)=ab+ac$

         • 利用该规律展开多项式之间的乘法

       • $S=(a_1+a_2)(b_1+b_2)$

         • 可以记$B=b_1+b_2$
         • $S=a_{1}B+a_{2}B=a_1(b_1+b_2)+a_2(b_1+b_2)=a_1{b}_1+a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_2{b}_2$
         • 共有4项

       • $S=(a_1+\cdots +a_m)(b_1+\cdots +b_n)=({\sum }_{i=1}^m{a}_i)({\sum }_{i=1}^n{b}_i)$

         • 记$B={\sum }_{i=1}^n{b}_i$
         • $S=({\sum }_{i=1}^m{a}_i)B={\sum }_i^{m}B{a}_i$
           • 其中$B{a}_i={\sum }_{j=1}^n{b}_j{a}_i$
           • $S={\sum }_i^m({\sum }_j^n{b}_j{a}_i)$
         • 共有$n\times m$项
         • 把这个结果记为$S_{AB}$,反复运用这个阶段的结论,可以得到下面的结论

       • $S=(a_1+\cdots +a_{n_1})(b_1+\cdots +b_{n_2})(c_1+\cdots +c_{n_3})=({\sum }_{i=1}^{n_1}{a}_i)({\sum }_{i=1}^{n_2}{b}_i)({\sum }_{i=1}^{n_3}{c}_i)$

         • $S=ABC=(AB)C$

         • $$S=\sum _{i_1}^{n_1}\sum _{i_2}^{n_2}\sum _{i_3}^{n_3}{a}_{1i_1}{a}_{2i_2}{a}_{3i_3}$$

         • 因此有S有$(n_1\times n_2)\times n_3$项

       • 更一般的:

         • $$S=(\sum _{k=1}^{n_1}{a}_{1k})(\sum _{k=1}^{n_2}{a}_{2k})\cdots (\sum _{k=1}^{n_m}{a}_{mk})$$

         • 由结合律可知

           • $$\begin{gathered} S=\prod _{j=1}^m{\left(\sum _{k=1}^{n_j}{a}_{jk}\right)}_j \\ =\sum _{i_1}^{n_1}\sum _{i_2}^{n_2}\cdots \sum _{i_m}^{n_m}{a}_{1i_1}{a}_{2i_2}\cdots a_{m{i}_m} \\ =\sum _{i_1}^{n_1}\sum _{i_2}^{n_2}\cdots \sum _{i_m}^{n_m}(\prod _{k=1}^m{a}_{k,i_k}) \\ 记号说明:a_{k,i_k}其中 \\ k表示第k组求和式,k=1,2,\cdots ,m(比如前面说的A,B,\cdots ) \\ {i}_k表示第k组求和式中的第i_k个元素(i_k=1,2,\cdots ,n_k) \end{gathered}$$

           • S的项数为$\prod _{j=1}^m{n}_j$

    2. 每一项由多少基本因子(即$a_{ij}$)构成,又是如何构成的?

       • 根据上一问的讨论,可以知道每一项由m个元素构成

       • 并且任意2组中的任意2个元素都一定有且只有相乘(构成一个项),

       • 项$({\prod }_{k=1}^m{a}_{k,i_k})$的构成中可以看出项的m个因子一定来自不同的求和组

应用

• 可以用来确定m此项的系数

• 例如

  • $$f(x)=\sum _i^n(x+a_i)$$

  • 将$f(x)$展开合并同类项后

    • 那么$x^{n-1}$的系数是多少?

      • $f(x)$是一个n次多项式
      • 在合并同类项之前,包含$x^{n-1}$的项有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{n}\right)$项
      • 它们的系数分别是$a_1,\cdots ,a_n$

    • $x^3$的系数又是多少?

      • $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)$,这些项的系数分别是${\prod }_{i\in P_3}{a}_i$
        • 其中$P_r$表示对$a_1,\cdots ,a_n$做$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-r}\right)$的排列(本例中r=3)

    • 一般的,$x^r$的系数是

      • $$\begin{gathered} \sum _i^{n_r}(\prod _{i\in P_r}{a}_i) \\ 其中:n_r=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right) \end{gathered}$$

  • 例如$(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+3x+2)(x+3)=x^3+6x^2+11x+6$

    • $x$的系数
      • $n_r=3$
      • $(2\times 3)+(1\times 3)+(1\times 2)=11$
    • $x^2$的系数为
      • $n_r=3$
      • $3+1+2=6$

代数学基本定理

• 代数基本定理 (wikipedia.org)

• 代数基本定理说明，任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根。

• 也就是说，复数域是代数封闭的。

• 有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根（重根视为多个根）。

  • 这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。
  • 也就是说，任何一个n次多项式，都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积。

• 尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明(需要结合其他方法证明)，许多数学家都相信这种证明不存在。[1]

  • 另外，它也不是最基本的代数定理；
  • 因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。

相关证明

• 高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，
  • 其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。
  • 高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。
  • 高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。

高次方程

• 同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。
  • 伽罗瓦理论指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。

其他关于多项式的参考

• 1定义
  • 1.1次数
  • 1.2多项式的升幂及降幂排列
• 2多项式的运算
  • 2.1多项式的加法
  • 2.2多项式的减法
  • 2.3多项式乘法
  • 2.4多项式除法
• 3多项式的矩阵算法
  • 3.1乘法
  • 3.2除法
• 4因式分解
• 5多项式函数
  • 5.1多项式方程
• 6字典排列法
• 7多项式的分析特性
• 8任意环上的多项式

• 1Etymology
• 2Notation and terminology
• 3Definition
• 4Classification
• 5Arithmetic
  • 5.1Addition and subtraction
  • 5.2Multiplication
  • 5.3Composition
  • 5.4Division
  • 5.5Factoring
  • 5.6Calculus
• 6Polynomial functions
  • 6.1Graphs
• 7Equations
  • 7.1Solving equations
• 8Polynomial expressions
  • 8.1Trigonometric polynomials
  • 8.2Matrix polynomials
  • 8.3Exponential polynomials
• 9Related concepts
  • 9.1Rational functions
  • 9.2Laurent polynomials
  • 9.3Power series
• 10Polynomial ring
  • 10.1Divisibility
• 11Applications
  • 11.1Positional notation
  • 11.2Interpolation and approximation
  • 11.3Other applications
• 12History
  • 12.1History of the notation
• 13See also
• 14Notes
• 15References