「4」线性代数（期末复习）

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目录

第四章 向量组的线性相关性

&2）向量组的线性相关性

&3）向量组的秩

&4）线性方程组的解的结构

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第四章 向量组的线性相关性

&2）向量组的线性相关性

定义4:给定向量组A:a[1],a[2],…,a[m];如果存在不全为零的数k[1],k[2],…,k[m]，使

k[1]a[1]+k[2]a[2]+…+k[m]a[m]=0

则称向量组A是线性相关的，否则它就线性无关

定理4    向量组A:a[1],a[2],…,a[m]线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(a[1],a[2],…,a[m])的秩小于向量个数m；向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m

定理5    （1）若向量组A:a[1],a[2],…,a[m];线性相关，则向量组B:a[1],a[2],…,a[m],a[m+1]也线性相关(R(A)<m,则R(A)+1<m+1,所以R(B)<m+1)。反之，向量组B线性无关，则向量组A也线性无关(R(B)=m+1,则R(A)+1=m+1,所以R(A)=m)

（2）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量的个数m时一定线性相关，特别地n+1个n维向量一定线性相关(R(A)<n+1))。

（3）设向量组A:a[1],a[2],…,a[m];线性无关，而向

量组B:a[1],a[2],…,a[m],b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式惟一

&3）向量组的秩

定义5:设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a[1],a[2],…,a[r],满足

（i）向量组A：a[1],a[2],…,a[r]线性无关

（ii）向量组A中仍意r+1个向量（如果A中r+1个向量的话）都是线性相关的，那么称向量组A[0]是向量组A的最大线性无关向量组（简称最大无关组），最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作R[A]

推论（最大无关组的等价定义）：设向量组A[0]：a[1],a[2],…,a[r]是向量组A的一个部分组，且满足

（i）向量组A[0]线性无关

（ii）向量组A的任一向量都能由向量组A[0]线性表示，那么向量组A[0]便是向量组A的一个最大无关组

定理6    矩阵的秩等于它列向量的秩，也等于行向量的秩

极大无关组不唯一

&4）线性方程组的解的结构

Ax=0（*）

性质1    若x=𝜉[1],x=𝜉[2]为方程组（*）的解，则x=𝜉[1]+𝜉[2]也是方程（*）的解

性质2    若x=𝜉[1]为向量方程（*）的解，k为实数，则x=k𝜉[1]也是向量方程（*）的解

定理7    设mxn矩阵A的秩R[A]=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R[s]=n-r

 Ax=b（#）

性质3    设x=𝜂[1]及x=𝜂[2]都是向量方程（#）的解，则x=𝜂[1]-𝜂[2]为对应的齐次线性方程组Ax=0的解

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