「SDOI2009」HH去散步

HH去散步

题目限制

• 内存限制：125.00MB
• 时间限制：1.00s
• 标准输入
• 标准输出

题目知识点

• 动态规划 $dp$
• 矩阵
  • 矩阵乘法
  • 矩阵加速
  • 矩阵快速幂
• 思维
  • 构造

题目来源

「SDOI2009」HH去散步

题目

题目背景

HH 有个一成不变的习惯，喜欢在饭后散步，就是在一定的时间内，走一定的距离
同时， HH 是一个喜欢变化的人，她不会立刻沿着刚刚走过来的路走回去，她也希望每天走过的路径都不完全一样，她想知道每一天他究竟有多少种散步的方法

题目描述

现在 HH 送给你一张学校的地图，请你帮助她求出从地点 $A$ 走到地点 $B$ 一共有多少条长度为 $T$ 的散步路径（答案对 $45989$ 取模）

格式

输入格式

输入共 $M+1$ 行：
第 $1$ 行：输入 $5$ 个整数 $N,M,T,A,B$；$N$ 表示 学校里的路口的个数（编号为 $0\sim N-1$），$M$ 表示 学校里的道路的条数，$T$ 表示 HH 想要散步的距离，$A$ 表示 散步的出发点， $B$ 表示 散步的终点
接下来 $M$ 行：每行 $2$ 个用空格隔开的整数 $u_i,v_i$；表示 长度为 $1$ 的第 $i$ 条路 连接 路口 $u_i$ 和 路口 $v_i$

输出格式

输出共一行：表示你所求出的答案（对 $45989$ 取模）

样例

样例输入

4 5 3 0 0
0 1
0 2
0 3
2 1
3 2

样例输出

4

提示

数据范围

对于 $30\%$ 的数据：满足 $N\le 4,M\le 10,T\le 10$
对于 $100\%$ 的数据：满足 $N\le 50,M\le 60,T\le 2^{30},u_i\ne v_i$

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思路

这道题如果没有 她不会立刻沿着刚刚走过来的路走回去 的限制，就可以根据点与点的关系先构造出一个 $n\ast n$ 的矩阵 $\mathrm{x}$（$\mathrm{x}[i][j]$ 表示从 $i$ 走 $1$ 步到 $j$ 的方案数），累乘 $T$ 次（就是走了 $T$ 步），就用矩阵快速幂优化既可以通过了
现在就考虑加上这句话的限制后如何构造矩阵了

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分析

考虑矩阵定义大致不变，即 $\mathrm{x}[i][j]$ 表示从 $i$ 走 $1$ 步到 $j$ 的方案数
由于有限制，就要记录刚刚走过来的路是哪一条
不妨把每条边对应的 $u_i$ 和 $v_i$ 拆成两个二元组 $(\mathrm{node},\mathrm{id})$，表示刚刚从第 $\mathrm{id}$ 条路走到 $\mathrm{node}$，也就是每条无向边 $(u_i\leftrightarrow ,v_i)$ 分成两条有向边 $(u_i\to v_i)$ 和 $(v_i\to u_i)$，其中 $\mathrm{node}$ 表示当前这条有向边的终点，$\mathrm{id}$ 表示与之对应的无向边的编号
那么 $\mathrm{x}[i][j]=1$ 定义就是 第 $i$ 个二元组 走 $1$ 步到 第 $j$ 个二元组 的方案数
其值只可能为 $0$ 或 $1$（因为只走了 $1$ 步），其中值为 $1$ 的条件就是 ${\mathrm{id}}_i\ne {\mathrm{id}}_j$ 且 ${\mathrm{node}}_i$ 与 ${\mathrm{node}}_j$ 有一条边
推出了矩阵，但是还有一个细节，就是第一步的方案数
起始点是没有上一条边的，所以需要预处理一下（这里相当于先走了一次）
预处理矩阵 $\times$ 矩阵快速幂（$T-1$ 次，预处理走了一次）就可以得到最终的矩阵了
最后把 起始点（超级源点） 到 终点（可能有多个，因为分了边） 的路径加起来取模就可以了

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代码

#include <cstdio>
#include <cstring>int rint()
{int x = 0, fx = 1; char c = getchar();while (c < '0' || c > '9') { fx ^= ((c == '-') ? 1 : 0); c = getchar(); }while ('0' <= c && c <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48); c = getchar(); }if (!fx) return -x;return x;
}const int MOD = 45989;const int MAX_N = 20;
const int MAX_M = 60;int N, M, T, A, B, node;
int e[MAX_M * 2 + 5][3];struct Matrix
{int mx[MAX_M * 2 + 5][MAX_M * 2 + 5];Matrix () { memset(mx, 0, sizeof(mx)); }void init() { for (int i = 0; i <= node; i++) mx[i][i] = 1; }Matrix operator * (const Matrix &rhs) const{Matrix res;for (int i = 0; i <= node; i++)for (int j = 0; j <= node; j++)for (int k = 0; k <= node; k++)res.mx[i][j] = (res.mx[i][j] + mx[i][k] * rhs.mx[k][j]) % MOD;return res;}
} dp, quick;Matrix qpow(Matrix mx, int k)
{Matrix res; res.init();while (k > 0){if (k & 1) res = res * mx;mx = mx * mx; k >>= 1;}return res;
}int main()
{N = rint(), M = rint(), T = rint();A = rint() + 1, B = rint() + 1;for (int i = 1; i <= M; i++){e[i][0] = rint() + 1, e[i][1] = rint() + 1;e[i + M][0] = e[i][1], e[i + M][1] = e[i][0];if (e[i][0] == A) ++dp.mx[0][i];if (e[i + M][0] == A) ++dp.mx[0][i + M];}node = M << 1;for (int i = 1; i <= node; i++)for (int j = 1; j <= node; j++)if (i + M != j && i - M != j && e[i][1] == e[j][0]) ++quick.mx[i][j];int ans = 0;Matrix res = dp * qpow(quick, T - 1);for (int i = 1; i <= node; i++)if (e[i][1] == B) ans = (ans + res.mx[0][i]) % MOD;printf("%d\n", ans);return 0;
}

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