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逆函数

给定关系$R\subseteq X\times Y$，颠倒$R$的所有有序偶可以得到$R$的逆关系$\tilde{R}\subseteq Y\times X$

但是对于函数$f:X\to Y$而言，其逆关系$\tilde{f}$可能不是$Y$到$X$的函数，

那么在什么条件下$f$的逆关系$\tilde{f}$能够称为函数呢？

定理1：设$f:X\to Y$是双射，则$f$的逆关系$\tilde{f}$是从$Y$到$X$的函数

证明：设函数 f = { < x , y > ∣ x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ f ( x ) = y } f=\left\{\left<x,y\right> | x\in X \wedge y \in Y \wedge f\left(x\right)=y \right\} f={⟨x,y⟩∣x∈X∧y∈Y∧f(x)=y},则
f ~ = { < y , x > ∣ < x , y > ∈ f } \tilde{f}=\left\{\left<y,x\right>|\left<x,y\right>\in f\right\} f~​={⟨y,x⟩∣⟨x,y⟩∈f}
对于任意的$y\in Y$，由于$f$是满射，所以有$x\in X$，使得$⟨x,y⟩\in f$，即有$⟨y,x⟩\in \tilde{f}$，亦即$\mathrm{dom}\left(\tilde{f}\right)=Y$

对于任意的$y\in Y$,若有$x_1,x_2,\in X$，使得$⟨y,x_1⟩\in \tilde{f},⟨y,x_2⟩\in \tilde{f}$,则
$⟨x_1,y⟩\in f,⟨x_2,y⟩\in f$,由于$f$单射，所以$x_1=x_2$

由此可见，对于任意的$y\in Y$，存在唯一的$x\in X$，使得$⟨y,x⟩\in \tilde{f}$，故$\tilde{f}$是函数

由于双射函数$f：X\to Y$的逆关系也是函数，我们称这个哈数为$f$的逆函数
记为$f^{-1}:Y\to X$

定理2：设$f$是从$X$到$Y$的双射，$g$是从$Y$到$X$的函数，则
$f^{-1}=g$当且仅当$g\circ f=1_X$且$f\circ g=1_Y$

证明：
必要性：若$f^{-1}=g$，则对任意的$x\in X$，由$⟨x,f\left(x\right)⟩\in f$可得$⟨f\left(x\right),x⟩\in f^{-1}$
即$⟨f\left(x\right),x⟩\in g$，所以$g\left(f\left(x\right)\right)=x$，即$g\circ f\left(x\right)=1_X\left(x\right)$
因此$g\circ f=1_X$，同理可证$f\circ g=1_Y$

充分性：先证$f^{-1}\subseteq g$
对于任意的$⟨y,x⟩\in f^{-1}$，有$⟨x,y⟩\in f$,即$y=f\left(x\right)$，因为$g\circ f=1_X$，所以有
$$g\left(y\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\circ f\left(x\right)=1_X\left(x\right)=x$$
因此$⟨y,x⟩\in g$,从而$f^{-1}\subseteq g$

再证$g\subseteq f^{-1}$，对任意的$⟨y,x⟩\in g$,即$x=g\left(y\right)$,因$f\circ g=1_Y$，所以有
$$f\left(x\right)=f\left(g\left(y\right)\right)=f\circ g\left(y\right)=1_Y\left(y\right)=y$$
因此$⟨x,y⟩\in f$，即有$⟨y,x⟩\in f^{-1}$，从而$g\subseteq f^{-1}$

由$f^{-1}\subseteq g$和$g\subseteq f^{-1}$，于是$f^{-1}=g$

由这个定理，可以等价地给出逆函数的另一定义

定义：设$f:X\to Y$，若有$g:Y\to X$使得$g\circ f=1_X$和$f\circ g=1_Y$成立，则称$g$是$f$的逆函数，并称$f$是可逆的

定义：设$f:X\to Y$
（1）若有$g:Y\to X$，使得$g\circ f=1_X$成立，则称$g$是$f$的左逆函数，并称$f$是左可逆的
（2）若有$g:Y\to X$，使得$f\circ g=1_Y$成立，则称$g$是$f$的右逆函数，并称$f$是右可逆的

定理3：设$f:X\to Y,X\ne \varnothing$，则
（1）$f$是左可逆的当且仅当$f$是单射
（2）$f$是右可逆的当且仅当$f$是满射
（3）$f$是可逆的当且仅当$f$是双射，或当且仅当$f$既是左可逆的，又是右可逆的

证明：
（1）必要性：若$f$是左可逆的，则有$g:Y\to X$，使得$g\circ f=1_X$
对任意的$x_1,x_2\in x$，若$f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$，则
$$\begin{array}{rl}{x}_1& =1_X\left(x_1\right)=g\circ f\left(x_1\right)=g\left(f\left(x_1\right)\right)=g\left(f\left(x_2\right)\right)\\ & =g\circ f\left(x_2\right)=1_X\left(x_2\right)=x_2\end{array}$$

充分性：若$f$是单射，则因$X\ne \varnothing$,任取$x_0\in X$，构造$g$如下：
$$\begin{gathered} g:Y\to X \\ g\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}x,& \exists x\in X,y=f\left(x\right)\\ x_0,& otherwise\end{array} \end{gathered}$$
则$g$是函数，这是因为任意的$y\in Y$
1.若$y\in f\left(X\right)$，则由于$f$是单射，所以存在唯一的$x\in X$，使得$⟨y,x⟩\in g$
2.若$y\notin f\left(X\right)$，则有唯一的$x_0\in X$，使得$⟨y,x_0⟩\in g$

并且对于任意的 $x\in X$
$$g\circ f\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=x=1_X\left(x\right)$$
即$g\circ f=1_X$，故$f$是左可逆的
（2）
必要性：若$f$是右可逆的，则有$g:Y\to X$使得$f\circ g=1_Y$，对于任意的 $y\in Y$，则有$g\left(y\right)\in X$使得
$$f\left(g\left(y\right)\right)=f\circ g\left(y\right)=1_X\left(y\right)=y$$
成立，故$f$满射

充分性：若$f$是满射，则构造$g$如下：
$$\begin{gathered} g:Y\to X, \\ g\left(y\right)=x \end{gathered}$$
则$g$是函数。这是因为对于任意的$y\in Y$,由于$f$是满射，所以 f − 1 ( { y } ) f^{-1}\left(\left\{y\right\}\right) f−1({y})\neq \empty$,

从而有某唯一确定的 x ∈ f − 1 ( { y } ) ⊆ X x\in f^{-1}\left(\left\{y\right\}\right)\subseteq X x∈f−1({y})⊆X,使得$⟨y,x⟩\in g$

并且对于任意的$y\in Y$，
$$f\circ g\left(y\right)=f\left(g\left(y\right)\right)=f\left(x\right)=y=1_Y\left(y\right)$$
所以$f\circ g=1_Y$,故$f$是右可逆的

（3）先证$f$是可逆的，则$f$是双射

由于$f$可逆的，所以有$g:Y\to X$，使得$g\circ f=1_X$且$f\circ g=1_Y$成立

根据$1_X$是单射，$f$是单射；

根据$1_Y$是满射，$f$是满射，故$f$是双射

再证$f$是双射，则$f$既是左可逆的，又是右可逆的

由于$f$是双射，所以$f$是单射，也是满射，根据(1)和(2)可知，$f$既是左可逆的，又是右可逆的

最后证明，$f$既是左可逆的，又是右可逆的 ，则$f$是可逆的

由于$f$左可逆，所以有$g_1:Y\to X$,使得$g_1\circ f=1_X$

由于$f$右可逆，所以有$g_2:Y\to X$,使得$f\circ g_2=1_Y$

因此有
$$g_1=g_1\circ 1_Y=g_1\circ \left(f\circ g_2\right)=\left(g_1\circ f\right)\circ g_2=1_X\circ g_2=g_2$$
故有$g=g_1=g_2$,使得$g\circ f=1_X$且$f\circ g=1_Y$，由此可知$f$是可逆的

定理4：双射函数的逆函数是唯一的

证明：设双射函数$f:X\to Y$.若$f$有逆函数$g_1$和$g_2$，那么
$$g_1=g_1\circ 1_Y=g_1\circ \left(f\circ g_2\right)=\left(g_1\circ f\right)\circ g_2=1_X\circ g_2=g_2$$
故逆函数是唯一的

定理5：设$f:X\to Y,g:Y\to Z$,并且$f$和$g$都是可逆的 ，则

（1）${\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f$
（2）${\left(g\circ f\right)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

证明：

（1）显然
（2）因$g\circ f:X\to Z$,所以${\left(g\circ f\right)}^{-1}:Z\to X$,因$f^{-1}:Y\to X,g^{-1}:Z\to Y$,所以$f^{-1}\circ g^{-1}:Z\to X$
$$\begin{gathered} \left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\circ \left(g\circ f\right)=f^{-1}\circ \left(g^{-1}\circ g\right)\circ f=f^{-1}\circ 1_Y\circ f=f^{-1}\circ f=1_X \\ \left(g\circ f\right)\circ \left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)=g\circ \left(f\circ f^{-1}\right)\circ g^{-1}=g\circ 1_Y\circ g^{-1}=g\circ g^{-1}=1_Z \end{gathered}$$
故${\left(g\circ f\right)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

课后习题

4.设$f:X\to Y,g:Y\to Z$.若$g\circ f$是可逆的，则$f$和$g$一定是左可逆的吗？为什么？

证明：
$f$单射，$g$不一定
因为$g\circ f$是左可逆的，所以$g\circ f$单射，所以$f$单射

构造思路：有限集合的情况的时候，单射$\left|X\right|\le \left|Y\right|$
那么现在$\left|X\right|\le \left|Y\right|,\left|X\right|\le \left|Z\right|$
只要构造一个$\left|Y\right|>\left|Z\right|$

设$f\left(x_1\right)=y_1,f\left(x_2\right)=y_2$
$g\left(y_1\right)=z_1,g\left(y_2\right)=g\left(y_3\right)=z_2$
由于$g$不是单射，所以$g$不是单射

5.设$f:X\to Y,\left|X\right|\ge 2$.证明：$f$是可逆的当且仅当$f$有唯一的左（右）逆函数

证明：

必要性：$f$是可逆的
因此$f$双射，进而$f$左可逆且右可逆

设左逆函数$g_1,g_2:Y\to X$，且$g_1\circ f=g_2\circ f=1_X$
右逆函数$h:Y\to X,f\circ h=1_Y$

则
$$g_1=g_1\circ 1_Y=g_1\circ \left(f\circ h\right)=\left(g_1\circ f\right)\circ h=1_X\circ h=h$$
同理,$g_2=h$，因此$g_1=g_2$
$f$有唯一的左逆函数
右逆函数同理

充分性：
1.$f$有唯一左逆函数
因为$f$左可逆，因此$f$单射
假设$f$不满射，则$\exists a\in Y,\forall x\in X,f\left(x\right)\ne a$
构造左逆函数$g_1,g_2:Y\to X$
使得
$$\begin{gathered} g_1\left(a\right)=x_1 \\ {g}_2\left(a\right)=x_2 \\ {x}_1,x_2\in X,x_1\ne x_2 \end{gathered}$$
显然$g_1\circ f=g_2\circ f=1_X$
与唯一左逆函数矛盾
因此$f$满射

2.$f$有唯一右逆函数
因为$f$右可逆，因此$f$满射
假设$f$不单射，即$\exists x_1,x_2\in X,x_1\ne x_2,f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=y\in Y$
构造右逆函数$h_1,h_2:Y\to X$
使得
$$\begin{gathered} h_1\left(y\right)=x_1 \\ {h}_2\left(y\right)=x_2 \end{gathered}$$
显然$f\circ h_1=f\circ h_2=1_Y$
与唯一右逆函数矛盾
因此$f$单射

综上，$f$双射，进而$f$可逆

参考：
离散数学（刘玉珍）