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线性回归

线性回归：根据数据，确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系

函数表达式：
$$y=f(x_1,x_2...x_n)$$
​ 回归根据变量数分为一元回归[$y=f(x)$]和多元回归[$y=f(x_1,x_2...x_n)$]，根据函数关系分为线性回归[$y=ax+b$]与非线性回归[$y=a{x}^2+bx+c$]

平方误差成本函数：

$minimize(J)$
$$J=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(y_i^{‘}-y_i{)}^2=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(a{x}_i+b-y_i{)}^2=g(a,b)$$

梯度下降算法：

$J=f(p)$
$$p=p-\alpha \frac{\partial }{\partial p_i}f(p_i)$$

​ 寻找极小值的一种方法。通过向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索，直到在极小点收敛。

实验：

基于generated_data.csv数据，建立线性回归模型，预测x=3.5对应的y值，评估模型表现

#load the data
import pandas as pd
data = pd.read_csv('D:\workspace\data\ML\generated_data.csv')data.head()
print(type(data), data.shape)x = data.loc[:,'x']
y = data.loc[:,'y']
print(x,y)#visualize the data 
from matplotlib import pyplot as plt
plt.figure(figsize=(5,5))
plt.scatter(x,y)
plt.show()# set up a linear regression model
from sklearn.linear_model import LinearRegression
lr_model = LinearRegression()import numpy as np
x = np.array(x)
x = x.reshape(-1,1)
y = np.array(y)
y = y.reshape(-1,1)lr_model.fit(x,y)y_predict = lr_model.predict(x)
print(y_predict)print(y)y_predict_single = lr_model.predict([[3.5]])print(y_predict_single)# a/b print
a = lr_model.coef_
b = lr_model.intercept_
print(a,b)from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
MSE = mean_squared_error(y, y_predict)
R2 = r2_score(y, y_predict)
print(MSE, R2)plt.figure()
plt.plot(y,y_predict)
plt.show()

运行结果：

其中MSE为 $3.1554436208840474e^{-31}$，R2为1.0

实验结论：在这个实验中，我们建立了一个单因子线性回归模型，得到x=3.5对应的y值为12，其均方误差（MSE）非常接近于零，而确定系数（R^2）接近于1。这表明我们的模型可以非常好地拟合数据，预测能力非常强。

附：generated_data,csv数据