概论_第7章_参数估计_真题__求置信区间
真题 2014.10
第30题
测量某物体的质量9次, 测得平均值 x‾=15.4\overline x = 15.4x=15.4 g, 已知测量数据 XXX ~ N(μ,0.09)N(\mu, 0.09)N(μ,0.09) (1) 求该物体质量的置信度为0.95 的置信区间; (2)为了使置信度为0.95 的置信区间的长度不超过0.3, 需调整测量次数,问测量次数 n 应不小于多少?(附: u0.025=1.96u_{0.025}= 1.96u0.025=1.96)
解 本题属于 μ\muμ 未知, σ\sigmaσ 已知, 适用于uuu 统计量。
μ 的置信度为 1 − α 的置信区间为 
(1) 由题意有 1- α=0.95\alpha = 0.95α=0.95 , σ0=0.3\sigma_0 = 0.3σ0=0.3, n=9, 所以置信区间为
[x‾−uα2σ0n,x‾+uα2σ0n][ \overline x - u_\frac{\alpha}{2} \frac{\sigma_0}{\sqrt n} , \overline x + u_\frac{\alpha}{2}\frac{\sigma_0}{\sqrt n}][x−u2αnσ0,x+u2αnσ0]
= [15.4 -1.96 * 0.39\frac{0.3}{\sqrt 9}90.3, 15.4 + 1.96 * 0.39\frac{0.3}{\sqrt 9}90.3]
= [15.204, 15.596]
关于第 (2) 问
根据置信区间, 易知其长度为 uα22σ0nu_\frac{\alpha}{2}\frac{2\sigma_0}{\sqrt n}u2αn2σ0, 要使
uα22σ0n⩽0.3u_\frac{\alpha}{2}\frac{2\sigma_0}{\sqrt n} \leqslant 0.3u2αn2σ0⩽0.3,
即 1.96 * (2 * 0.3)/3 ⩽0.3\leqslant 0.3⩽0.3, 解之得 n ⩾15.36\geqslant15.36⩾15.36
所以 n 应不小于 16.
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