[足式机器人]Part3 变分法Ch01-1 数学预备知识——【读书笔记】

本文仅供学习使用
本文参考：
《变分法基础-第三版》老大中
《变分学讲义》张恭庆
《Calculus of Variations of Optimal Control Theory》-变分法和最优控制论-Daneil Liberzon

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1 数学基础-预备知识

1.1 泰勒公式

1.1.1 一元函数的泰勒公式

泰勒中值定理/泰勒定理：
若函数$f\left(x\right)$在点$x_0$的某个开区间$\left(a,b\right)$内具有$n+1$阶连续导数，则当$x$在 $\left(a,b\right)$内时，$f\left(x\right)$可表示为：
$$f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\frac{\mathrm{d}f\left(x_0\right)}{\mathrm{d}x}\left(x-x_0\right)+\frac{1}{2!}\frac{{\mathrm{d}}^{2}f\left(x_0\right)}{\mathrm{d}{x}^2}{\left(x-x_0\right)}^2+\cdots +\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^{n}f\left(x_0\right)}{\mathrm{d}{x}^n}{\left(x-x_0\right)}^n+R_n$$
其中：
上式称为$f\left(x\right)$在点$x_0$按$\left(x-x_0\right)$的幂展开到n阶的泰勒公式/泰勒级数展开 ；
$R_n$称为拉格朗日型余项，为一个当$x\to x_0$时，比${\left|x-x_0\right|}^n$更高阶的无穷小，或称为比$\left|x-x_0\right|$高$n-1$阶的无穷小。

一元函数的极值定理：
若可导函数$f\left(x\right)$在定义区间内点$x_0$取得极值，则在该点必有：$\frac{\mathrm{d}f\left(x_0\right)}{\mathrm{d}x}=0$

1.1.2 二元函数的泰勒公式

二元函数的泰勒中值定理：
$f\left(x,y\right)=f\left(x_0,y_0\right)+\left(\Delta x\frac{\partial }{\partial x}+\Delta y\frac{\partial }{\partial y}\right)f\left(x_0,y_0\right)+\frac{1}{2!}{\left(\Delta x\frac{\partial }{\partial x}+\Delta y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f\left(x_0,y_0\right)+\cdots +\frac{1}{k!}{\left(\Delta x\frac{\partial }{\partial x}+\Delta y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{k}f\left(x_0,y_0\right)+\cdots +\frac{1}{n!}{\left(\Delta x\frac{\partial }{\partial x}+\Delta y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n}f\left(x_0,y_0\right)+R_n$
其中：
${\left(\Delta x\frac{\partial }{\partial x}+\Delta y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{k}f\left(x_0,y_0\right)={\sum }_{r=0}^k{C}_{\mathrm{k}}^r{\left(\Delta x\right)}^r{\left(\Delta y\right)}^{k-r}\frac{{\partial }^{k}f\left(x_0,y_0\right)}{\partial x^r\partial y^{k-r}}$
$R_n=\frac{1}{\left(n+1\right)!}{\left(\Delta x\frac{\partial }{\partial x}+\Delta y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n+1}f\left(x_0+\theta \Delta x,y_0+\theta \Delta y\right),\theta \in \left(0,1\right)$，称为$f\left(x,y\right)$在点$\left(x_0,y_0\right)$的n阶拉格朗日型余项。

令$\rho =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2},\Delta x=\rho \cos \alpha ,\Delta y=\rho \sin \alpha$，对于邻域上任一点$\left(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y\right)$，$f\left(x,y\right)$的各$n+1$阶偏导数的绝对值都不超过一个正数$M$，则余项的绝对值有：
$$\left|R_n\right|⩽\frac{M}{\left(n+1\right)!}{\left(\left|\Delta x\right|+\left|\Delta y\right|\right)}^{n+1}=\frac{M{\rho }^{n+1}}{\left(n+1\right)!}{\left(\left|\cos \alpha \right|+\left|\sin \alpha \right|\right)}^{n+1}⩽2M{\rho }^{n+1}$$
可知：$R_n$是一个比$\rho$ 高$n$阶的无穷小。

二元函数的极值定理：
若可导函数$f\left(x,y\right)$在定义区间内点$\left(x_0,y_0\right)$取得极值，则在该点必有：$\frac{\partial f\left(x_0,y_0\right)}{\partial x}=\frac{\partial f\left(x_0,y_0\right)}{\partial y}=0$

1.1.3 m元函数（多元函数）的泰勒公式

多元函数的泰勒中值定理：
$f\left(x_1,x_2,\cdots x_{\mathrm{m}}\right)=f\left(x_1^0,x_2^0,\cdots x_{\mathrm{m}}^0\right)+\frac{1}{1!}\left(\Delta x_1\frac{\partial }{\partial x_1}+\Delta x_2\frac{\partial }{\partial x_2}+\cdots +\Delta x_{\mathrm{k}}\frac{\partial }{\partial x_{\mathrm{k}}}+\cdots +\Delta x_{\mathrm{m}}\frac{\partial }{\partial x_{\mathrm{m}}}\right)f\left(x_1^0,x_2^0,\cdots x_{\mathrm{m}}^0\right)+\frac{1}{2!}{\left(\Delta x_1\frac{\partial }{\partial x_1}+\Delta x_2\frac{\partial }{\partial x_2}+\cdots +\Delta x_{\mathrm{k}}\frac{\partial }{\partial x_{\mathrm{k}}}+\cdots +\Delta x_{\mathrm{m}}\frac{\partial }{\partial x_{\mathrm{m}}}\right)}^{2}f\left(x_1^0,x_2^0,\cdots x_{\mathrm{m}}^0\right)+\cdots +\frac{1}{n!}{\left(\Delta x_1\frac{\partial }{\partial x_1}+\Delta x_2\frac{\partial }{\partial x_2}+\cdots +\Delta x_{\mathrm{k}}\frac{\partial }{\partial x_{\mathrm{k}}}+\cdots +\Delta x_{\mathrm{m}}\frac{\partial }{\partial x_{\mathrm{m}}}\right)}^{n}f\left(x_1^0,x_2^0,\cdots x_{\mathrm{m}}^0\right)+R_n$
其中：
$\Delta x_{\mathrm{k}}=x_{\mathrm{k}}-x_{\mathrm{k}}^0\left(k=1,2,\cdots m\right)$
$R_n=\frac{1}{\left(n+1\right)!}{\left(\Delta x_1\frac{\partial }{\partial x_1}+\Delta x_2\frac{\partial }{\partial x_2}+\cdots +\Delta x_{\mathrm{k}}\frac{\partial }{\partial x_{\mathrm{k}}}+\cdots +\Delta x_{\mathrm{m}}\frac{\partial }{\partial x_{\mathrm{m}}}\right)}^{n+1}f\left(x_1^0+\theta \Delta x_1,x_2^0+\theta \Delta x_2,\cdots x_{\mathrm{m}}^0+\theta \Delta x_{\mathrm{m}}\right)$
上式还可以写成简洁形式：
$f\left(x_1,x_2,\cdots x_{\mathrm{m}}\right)=f\left(x_1^0,x_2^0,\cdots x_{\mathrm{m}}^0\right)+{\sum }_{i=0}^n\frac{1}{i!}{\left({\sum }_{k=11}^m\Delta x_{\mathrm{k}}\frac{\partial }{\partial x_{\mathrm{k}}}\right)}^{i}f\left(x_1^0,x_2^0,\cdots x_{\mathrm{m}}^0\right)+R_n$

当$\rho =\sqrt{{\Delta x_1}^2+{\Delta x_2}^2+\cdots +{\Delta x_{\mathrm{m}}}^2}\to 0$时，$R_n$是一个比$\rho$ 高$n$阶的无穷小。

多元函数的极值定理：
若可导函数$f\left(x_1,x_2,\cdots x_{\mathrm{m}}\right)$在定义区间内点$\left(x_1^0,x_2^0,\cdots x_{\mathrm{m}}^0\right)$取得极值，则在该点必有：$\frac{\partial f\left(x_1^0,x_2^0,\cdots x_{\mathrm{m}}^0\right)}{\partial x_{\mathrm{k}}}=0,k=1,2,\cdots ,m$

1.2 含参变量的积分

设函数$f\left(x,y\right)$是矩形域$D\left[a⩽x⩽b,c⩽y⩽d\right]$上的有界函数，对于$\left[c,d\right]$上任何固定的$y_0$，函数$f\left(x,y_0\right)$就是$x$的函数，若这个函数在$\left[a,b\right]$上可积，则${\int }_a^{b}f\left(x,y_0\right)dx$就唯一地确定一个数，这个数与$y_0$有关，当$y_0$在$\left[c,d\right]$上变动时，所得到的积分值一般来说是不同的，可表示为：
$$\phi \left(y\right)={\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx$$
它是$y$的函数，定义域为$\left[c,d\right]$，通常称$y$为参数，它在积分过程中被看做常量，并且积分${\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx$称为含参变量积分——讨论含参变量积分的连续性、可导性、可积性

1.2.1 连续性

设函数$f\left(x,y\right)$在闭区域$D\left[a,b;c,d\right]$上连续，则函数$\phi \left(y\right)={\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx$在闭区域$\left[c,d\right]$上连续，上述性质可改写为：
$$\underset{y\to y_0}{\lim }{\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx={\int }_a^b\underset{y\to y_0}{\lim }f\left(x,y\right)dx$$
即：极限与积分的运算次序可交换——积分号下求极限

证明：（待补充）

1.2.2 积分顺序的可交换性

若函数$f\left(x,y\right)$在闭区域$D\left[a,b;c,d\right]$上连续，则有：
$${\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dy$$
即：积分顺序可以交换——积分号下求积分

证明：（待补充）

1.2.3 求导与积分顺序的可交换性

若函数$f\left(x,y\right)$与$\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}$在矩形域$D\left[a⩽x⩽b,c⩽y⩽d\right]$上连续，则积分$\phi \left(y\right)={\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx$在闭区域$\left[c,d\right]$上可导，且有：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{\int }_a^{b}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x={\int }_a^b\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}\mathrm{d}x$$
即：积分与求导次序可以交换——积分号下求微商

证明：（待补充）

1.2.4 莱布尼茨公式

若函数$f\left(x,y\right)$与$\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}$在矩形域$D\left[a⩽x⩽b,c⩽y⩽d\right]$上连续，又有函数$\alpha \left(y\right),\beta \left(y\right)$在闭区域$\left[c,d\right]$上可导，且当$c⩽y⩽d$时，有$a⩽\alpha \left(y\right)⩽b,a⩽\beta \left(y\right)⩽b$，则有函数：
$$\phi \left(y\right)={\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}f\left(x,y\right)dx$$
在区间$\left[c,d\right]$上可导，且有：
$$\frac{\mathrm{d}\phi \left(y\right)}{\mathrm{d}y}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}f\left(x,y\right)dx={\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}dx+f\left(\beta \left(y\right),y\right)\frac{\mathrm{d}\beta \left(y\right)}{\mathrm{d}y}-f\left(\alpha \left(y\right),y\right)\frac{\mathrm{d}\alpha \left(y\right)}{\mathrm{d}y}$$

证明：
对于$\left[c,d\right]$内任何$y$，当$y$有改变量$\Delta y$时，$\alpha \left(y\right),\beta \left(y\right)$分别有改变量：$\Delta \alpha =\alpha \left(y+\Delta y\right)-\alpha \left(y\right),\Delta \beta =\beta \left(y+\Delta y\right)-\beta \left(y\right)$，而$\phi \left(y\right)={\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}f\left(x,y\right)dx$有改变量：
$$\begin{gathered} \Delta \phi \left(y\right)=\phi \left(y+\Delta y\right)-\phi \left(y\right)={\int }_{\alpha \left(y\right)+\Delta \alpha }^{\beta \left(y\right)+\Delta \beta }f\left(x,y+\Delta y\right)dx-{\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}f\left(x,y\right)dx \\ ={\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}f\left(x,y+\Delta y\right)dx+{\int }_{\beta \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)+\Delta \beta }f\left(x,y+\Delta y\right)dx-{\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\alpha \left(y\right)+\Delta \alpha }f\left(x,y+\Delta y\right)dx-{\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}f\left(x,y\right)dx \\ ={\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}\left[f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right]dx+{\int }_{\beta \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)+\Delta \beta }f\left(x,y+\Delta y\right)dx-{\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\alpha \left(y\right)+\Delta \alpha }f\left(x,y+\Delta y\right)dx \end{gathered}$$
进而推导出（中值定理）：
$$\frac{\Delta \phi \left(y\right)}{\Delta y}={\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}\frac{\left[f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right]}{\Delta y}dx+f\left(\bar{\beta }\left(y\right),y+\Delta y\right)\frac{\Delta \beta \left(y\right)}{\Delta y}-f\left(\bar{\alpha }\left(y\right),y+\Delta y\right)\frac{\Delta \alpha \left(y\right)}{\Delta y}$$
根据上述连续性与可导性，得：
$$\begin{gathered} \underset{\Delta y\to 0}{\lim }f\left(\bar{\beta }\left(y\right),y+\Delta y\right)\frac{\Delta \beta \left(y\right)}{\Delta y}=f\left(\beta \left(y\right),y\right)\frac{\mathrm{d}\beta \left(y\right)}{\mathrm{d}y} \\ \underset{\Delta y\to 0}{\lim }f\left(\bar{\alpha }\left(y\right),y+\Delta y\right)\frac{\Delta \alpha \left(y\right)}{\Delta y}=f\left(\alpha \left(y\right),y\right)\frac{\mathrm{d}\alpha \left(y\right)}{\mathrm{d}y} \end{gathered}$$
且有：$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }{\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}\frac{\left[f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right]}{\Delta y}\mathrm{d}x={\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}\mathrm{d}x$
因此求得：
$$\frac{\mathrm{d}\phi \left(y\right)}{\mathrm{d}y}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}f\left(x,y\right)dx={\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}dx+f\left(\beta \left(y\right),y\right)\frac{\mathrm{d}\beta \left(y\right)}{\mathrm{d}y}-f\left(\alpha \left(y\right),y\right)\frac{\mathrm{d}\alpha \left(y\right)}{\mathrm{d}y}$$

1.3 场论基础

场是现实世界中的物理量与空间和时间关系的一种表现形式，它是物质存在的一种形态。如果在空间中某个区域内的每一点，都对应着某物理量的一个确定的值，则在此空间区域内称为存在着该物理量的场。

某物理量在场内的分布可表示为空间位置的函数，这样的函数称为该物理量的点函数。当然物理量在场内还可能随时间变化而变化，因而点函数还可以与时间有关。

• 如果一个物理量具有数量的性质，那么这个物理量所形成的场就称为数量场或标量场。
• 如果一个物理量具有向量的性质，那么这个物理量所形成的场就称为向量场或矢量场。
• 如果一个物理量具有张量的性质，那么这个物理量所形成的场就称为张量场。

在物理量的场中，取值为数量的函数称为数量函数或标量函数，取值为向量的函数称为向量函数或矢量函数，取值为张量的函数称为张量函数。点函数、数量函数、向量函数和张量函数都可简称函数。

1.3.1 方向导数与梯度

具有大小和方向的量称为向量或矢量。向量大小的数值称为向量的长度或向量的模。向量$\vec{a}$的模用$\left|\vec{a}\right|$来表示。模等于1的向量称为单位向量或单位矢(量)。模等于零的向量称为零向量或零矢量，记作$\vec{0}$。

函数$\phi =\phi \left(M\right)=\phi \left(x,y,z\right)$的一阶偏导数$\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z}$分别表示它在点$M$沿$x,y,z$轴三个特殊方向上的变化率。然而，在许多问题中，函数$\phi =\phi \left(x,y,z\right)$ 沿其他方向的变化率也是有实际意义的，因此有必要研究它在其他方向的导数。

设$M_0$是函数$\phi \left(M\right)$中一个确定的点，过此点引一条直线$L$,在此直线上取与$M_0$相邻的一动点$M$,点$M_0$到点$M$的距离为$\overline{M_{0}M}$,当$M\to M_0$时，若比$\frac{\phi \left(M\right)-\phi \left(M_0\right)}{\overline{M_{0}M}}$的极限存在，则它称为函数$\phi \left(M\right)$在点$M_0$沿着$L$方向的方向导数，并且记作:
$$\frac{\partial \phi \left(M_0\right)}{\partial L}=\underset{\overline{M_{0}M}\to 0}{\lim }\frac{\phi \left(M\right)-\phi \left(M_0\right)}{\overline{M_{0}M}}$$

由此可见，方向导数是函数$\phi \left(M\right)$在某个给定点沿某方向对距离的变化率。当$\frac{\partial \phi }{\partial L}>0$时，函数$\phi$ 沿$L$方向增加；当$\frac{\partial \phi }{\partial L}<0$时，函数$\phi$沿$L$方向减少；当$\frac{\partial \phi }{\partial L}=0$,函数$\phi$ 沿$L$方向无变化。

过点$M_0$可取无穷多个方向，每个方向都有与之对应的方向导数。在直角坐标系中，可按下面定理给出的公式计算方向导数。

定理: 若数量场$\phi =\phi \left(x,y,z\right)$ 在点$M_0\left(x_0,y_0,z_0\right)$处可微，$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为$L$方向的方向余弦，则$\phi$ 在点$M_0$处沿$L$方向的方向导数必存在，且由下面公式给出：
$$\frac{\partial \phi }{\partial L}=\frac{\partial \phi }{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial \phi }{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial \phi }{\partial z}\cos \gamma$$
式中：$\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z}$为数$\phi$在点$M_0$处的各偏导数。
证明：（待补充）

上式同时可以表示为两个向量的数量积，即：
$$\frac{\partial \phi }{\partial L}=\left(\frac{\partial \phi }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial \phi }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial \phi }{\partial z}\vec{k}\right)\cdot \left(\cos \alpha \vec{i}+\cos \beta \vec{j}+\cos \gamma \vec{k}\right)$$
令$L_0$为$L$的单位向量，与函数$\phi$无关：${\vec{L}}_0=\cos \alpha \vec{i}+\cos \beta \vec{j}+\cos \gamma \vec{k}$
令向量$G$为给定点的固定向量，只与函数$\phi$有关：$\vec{G}=\frac{\partial \phi }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial \phi }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial \phi }{\partial z}\vec{k}$

进而将上式表示为：
$$\frac{\partial \phi }{\partial L}=\vec{G}\cdot {\vec{L}}_0=\left|\vec{G}\right|\cos \left(\vec{G},{\vec{L}}_0\right)$$

可知：向量$\vec{G}$在${\vec{L}}_0$方向的投影等于函数$\phi$在该方向的方向导数。更为重要的是，当选择${\vec{L}}_0$的方向与$\vec{G}$方向一致时，即$\cos \left(\vec{G},{\vec{L}}_0\right)=1$时，方向导数取得最大值$\left|\vec{G}\right|$,因此$\vec{G}$方向就是函数$\phi \left(M\right)$ 变化率最大的方向。向量$\vec{G}$称为函数$\phi \left(M\right)$在给定点$M$处的梯度，记作$\mathrm{grad}\phi =\vec{G}$或$\nabla \phi =\vec{G}$，grad是英文gradient的缩写，意为梯度，记号▽形如古希伯莱的一种乐器纳布拉(nabla),称为哈密顿算子、纳布拉算子或 $\nabla$算子 (读作nabla算子),有时也称为 Del算子。在直角坐标系中它可表示为：
$$\nabla =\vec{i}\frac{\partial }{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial }{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial }{\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k}$$
或：
$$\nabla ={\vec{e}}_1\frac{\partial }{\partial x_1}+{\vec{e}}_2\frac{\partial }{\partial x_2}+{\vec{e}}_3\frac{\partial }{\partial x_3}$$
式中：${\vec{e}}_1=\vec{i},{\vec{e}}_2=\vec{j},{\vec{e}}_3=\vec{k},x_1=x,x_2=y,x_3=z$；$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$或${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3$称为沿着直角坐标(系)的单位基向量或单位基矢量，简称单位向量或单位矢量。

$\nabla$既是一个微分算子，又可以看作一个向量，具有向量和微分的双重性质，故它称为向量微分算子或矢量微分算子。于是，梯度可表示为：
$$\mathrm{grad}\phi =\nabla \phi =\vec{G}=\frac{\partial \phi }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial \phi }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial \phi }{\partial z}\vec{k}$$
可见：一个标量函数$\phi$的梯度是一个向量函数。

梯度的模为：
$$\left|\mathrm{grad}\phi \right|=\left|\nabla \phi \right|=\left|\vec{G}\right|=\sqrt{{\left(\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}^2}$$

梯度的运算性质：
设$c$为常数，$\phi \text{、}\psi \text{、}f\left(\phi \right)\text{、}f\left(\psi \right)$都是点$M$的标量函数，$\vec{r}$是任意矢径，$r$是$\vec{r}$的模，${\vec{r}}_0$是$\vec{r}$的单位向量，则梯度运算基本公式如下：
$$\begin{gathered} \nabla c=0 \\ \nabla \left(\phi \pm \psi \right)=\nabla \phi \pm \nabla \psi \\ \nabla \left(c\phi \right)=c\nabla \phi \\ \nabla \left(\phi \psi \right)=\psi \nabla \phi +\phi \nabla \psi \\ \nabla \left(\frac{\phi }{\psi }\right)=\frac{\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi }{{\psi }^2} \\ \nabla f\left(\phi \right)=f\prime \left(\phi \right)\nabla \phi \\ \nabla f\left(r\right)=f\prime \left(r\right)\nabla r=f\prime \left(r\right)\frac{\vec{r}}{r}=f\prime \left(r\right){\vec{r}}_0 \end{gathered}$$
证明：（待补充）

进一步可知：
$$\begin{gathered} \nabla f^{\left(n\right)}\left(r\right)=f^{\left(n+1\right)}\left(r\right)\nabla r \\ \frac{\partial \phi }{\partial L}=\mathrm{grad}\phi \cdot {\vec{L}}_0=\nabla \phi \cdot {\vec{L}}_0 \end{gathered}$$
上式表明，函数$\phi$沿$L$方向的导数等于φ的梯度与L方向的单位向量${\vec{L}}_0$的数量积。

若函数$\phi \left(x,y,z\right)=C$,则该式称为等值面方程，它表示一族曲面，与常数$C$对应的每个值都表示一个曲面。在每个曲面上的各点，虽然坐标值不同，但函数值却相等，这些曲面称为函数$\phi$的等值面。同理，若函数$\psi \left(x,y\right)=C$,则该式称为等值线方程，它表示一族曲线，与常数$C$对应的每个值都表示一条曲线，这些曲线称为函数$\psi$的等值线。因为函数$\phi$沿其等值面保持不变，所以当向量${\vec{L}}_0$在函数$\phi$的等值面上时，或者说向量${\vec{L}}_0$是等值面的切线时，有：
$$\frac{\partial \phi }{\partial L}=\mathrm{grad}\phi \cdot {\vec{L}}_0=0$$
即在切线方向上函数$\phi$的方向导数为零，这表明梯度向量$\mathrm{grad}\phi$与等值面的法线重合。由于函数$\phi$沿着梯度向量的方向增加得最快，故可知梯度向量指向函数$\phi$增加的方向，即函数$\phi$的等值面的法线方向，用$\vec{N}$表示法线方向。法线方向上的单位向量称为单位法线向量或单位法向量，通常用$\vec{n}$来表示单位法向量。因为任意一个向量都可以表示为该向量的模乘以与该向量方向相同的单位向量，所以,函数$\phi$的等值面的单位法向量$\vec{n}$可表示为：
$$\vec{n}=\frac{\vec{G}}{\left|\vec{G}\right|}=\frac{\mathrm{grad}\phi }{\left|\mathrm{grad}\phi \right|}=\frac{\nabla \phi }{\left|\nabla \phi \right|}$$
函数$\phi$的等值面的单位法向量$\vec{n}$还可表示为：
$$\begin{gathered} \vec{n}=\cos \left(\vec{N},\vec{i}\right)\vec{i}+\cos \left(\vec{N},\vec{j}\right)\vec{j}++\cos \left(\vec{N},\vec{k}\right)\vec{k} \\ =\cos \alpha \vec{i}+\cos \beta \vec{j}+\cos \gamma \vec{k}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3 \\ =n_x\vec{i}+n_{\mathrm{y}}\vec{j}+n_{\mathrm{z}}\vec{k}=n_x{\vec{e}}_1+n_{\mathrm{y}},{\vec{e}}_2+n_{\mathrm{z}}{\vec{e}}_3 \end{gathered}$$

式中：$\alpha ,\beta ,\gamma$为$\phi$的等值面的法向向量与三个坐标轴的夹角——$l=n_1=n_x=\cos \alpha \text{、}m=n_2=n_y=\cos \beta \text{、}n=n_3=n_z=\cos \gamma$分别为单位法向量$\vec{n}$的三个方向余弦；

单位法向量$\vec{n}$的模可表示为：$\left|\vec{n}\right|=\sqrt{{\cos }^2\left(\vec{N},x\right)+{\cos }^2\left(\vec{N},y\right)+{\cos }^2\left(\vec{N},z\right)}$

如果用不用的形式来表示，则函数$\phi$沿 $\vec{N}$方向的导数可写成下面诸形式：
$$\begin{gathered} \frac{\partial \phi }{\partial \vec{N}}=\vec{G}\cdot \vec{n}=\left|\vec{G}\right|\cos \left(\vec{G},\vec{n}\right)=\left|\vec{G}\right|=\mathrm{grad}\phi \cdot \vec{n}=\nabla \phi \cdot \vec{n} \\ =\left|\mathrm{grad}\phi \right|\vec{n}\cdot \vec{n}=\frac{\mathrm{grad}\phi \cdot \mathrm{grad}\phi }{\left|\mathrm{grad}\phi \right|}=\frac{\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{\left|\nabla \phi \right|}=\left|\mathrm{grad}\phi \right|=\nabla \phi \end{gathered}$$

函数$\phi$沿梯度方向的方向导数恒大于等于零，即梯度总是指向函数$\phi$增大的方向。显然有$\cos \left(\vec{G},\vec{n}\right)=\cos 0=1$,即$\phi$的梯度方向与$\phi$的等值面的法向方向相同。在直角坐标系中，函数$\phi$沿$\vec{N}$方向的方向导数还可写成如下形式：
$$\frac{\partial \phi }{\partial \vec{N}}=\nabla \phi \cdot \vec{n}=\frac{\partial \phi }{\partial x}{n}_{\mathrm{x}}+\frac{\partial \phi }{\partial y}{n}_{\mathrm{y}}+\frac{\partial \phi }{\partial z}{n}_{\mathrm{z}}=\left|\nabla \phi \right|=\sqrt{{\left(\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}^2}$$
进而可得：$\mathrm{grad}\phi =\nabla \phi =\frac{\partial \phi }{\partial \vec{N}}\vec{n}$，且有：$\frac{\partial }{\partial \vec{N}}=\vec{n}\cdot \nabla =l\frac{\partial }{\partial x}+m\frac{\partial }{\partial y}+n\frac{\partial }{\partial z}=n_{\mathrm{x}}\frac{\partial }{\partial x}+n_{\mathrm{y}}\frac{\partial }{\partial y}+n_{\mathrm{z}}\frac{\partial }{\partial z}$
其中：$\frac{\partial }{\partial \vec{N}}$称为微分算子

• 把数量场中每一点的梯度与该数量场中的各点对应起来，就得到一个向量场，这个向量场称为由该数量场产生的梯度场。

设有向量场$\vec{a}$,若存在单值函数$\phi$ 满足$\vec{a}=\nabla \phi$ ,则向量场$\vec{a}$称为有势场。$\phi$称为有势场$\vec{a}$的标量位势，简称标(量)势。若函数$\psi =-\phi$ ,则$\psi$ 称为有势场$\vec{a}$的势函数或位函数，可见，有势场$\vec{a}$与势函数$\psi$的关系为：$\vec{a}=-\nabla \psi$

• 有势场是一个梯度场，它有无穷多个势函数，这些势函数之间只差一个常数。