【马蹄集】第二十三周——进位制专题

进位制专题

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MT2186 二进制？不同！

难度：黄金    时间限制：1秒    占用内存：128M

题目描述

小码哥是一个对数很敏感的人，即使给他很多个很像的数串，他都能找出没有出现过的数串。
或许是有些无聊，小码哥给你一个字符串数组 nums，里面包含 $n$ 个二进制字符串（长度都为 $n$ )，现请你找出不在数组中的二进制字符串。若有多解，返回对应十进制最小的一个。

格式

输入格式：一行二进制字符串数组，字符串之间以空格分割；
输出格式：一个不在数组中的二进制字符串。

样例 1

输入：01 10

输出：00

备注

其中：$1\le n\le 16$，nums中所有字符互不相同。

相关知识点：进位制

题解

本题要求找出尚未在输入数据中出现的最小值（所有数据的最小取值为 0）。但是题目给出的数据为二进制字符串（合法的），因此为了找出最小未出现的数，我们需要先将所有输入的二进制字符串转换为十进制数，并将这些数存放进一个集合 nums 中。接下来，从 0 开始逐步向后枚举整数，一旦存在某个数不在集合 nums 中，就说明这个数是尚未在输入数据中出现的最小数。注意：我们还需对这个数进行格式转换！即将这个数由十进制再转换为二进制字符串（长度需要和输入数据的长度一致）。

下面直接给出求解此题的完整代码（已 AC）：

/*MT2186 二进制？不同！ 测试数据：001 100 000  
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;set<int> nums;// 该函数将（合法的）二进制数字串转换为十进制数字 
int getDecFromBin(string str)
{int sum = 0, base = 1;for(int i=str.size()-1; i>=0; i--){sum += base*(str[i]-'0');base *= 2;}return sum;
} // 将一个十进制数转换为指定长度的二进制字符串
string toBinary(int n, int len)
{string str = "";while(len--){if(n&1) str = "1"+str;else str = "0"+str;n >>= 1;}return str;
} int main( )
{// 输入数据string str;while(cin>>str)nums.insert(getDecFromBin(str));// 记录当前输入二进制字符串的长度int binStrlen = str.length();// 寻找最小值，并在进行格式转换后输出 for(int i=0; ; i++){// 找到一个尚未在集合中出现的最小数值if(nums.find(i) == nums.end()){cout<<toBinary(i, binStrlen)<<endl;break;}}return 0;
}

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MT2187 excel的烦恼

难度：钻石    时间限制：2秒    占用内存：128M

题目描述

你用过 Excel 么?
在 excel 中，第一列被标为 A，第二列为 B，以此类推，第 26 列为 Z。接下来为由两个字母构成的列号：第 27 列为 AA，第 28 列为 AB……在标为 ZZ 的列之后则由三个字母构成列号，如此类推。
行号为从 1 开始的整数。
单元格的坐标由列号和行号连接而成。比如，BC23 表示位于第 55 列 23 行的单元格。
有时也会采用被称为 RXCY 的坐标系统，其中 X 与 Y 为整数，坐标 (X, Y) 直接描述了对应单元格的位置。比如，R23C55 即为前面所述的单元格。
小码哥请你编写一个程序，将所给的单元格坐标转换为另一种坐标系统下面的形式。

格式

输入格式：第一行一个整数 T(1≤T≤10^5) 表示将有 T 次询问；
     接下来 T 行，每行一个坐标。
输出格式：输出 T 行，每行一个被转换的坐标。

样例 1

输入：3
   R12C3
   AE32
   BB11

输出：C12
   R32C31
   R11C54

备注

每个坐标都是正确的。保证输入输出数据均在int范围内。输入输出数据字母部分均为大写。

相关知识点： 进位制

题解

这道题表面是在对两种坐标形式进行转换，但实际上也是在考察进制转换。例如，对于 excel 形式的坐标，其列号 BC 对应在十进制中为 55（$2\times 26^1+3\times 26^0=55$），所以题中将 BC23 解析为第 55 行第 23 列的单元格。因此，这里的进制转换问题实际上是十进制与以 $A-Z$ 表达的二十六进制数之间的互相转换。

对于本题，由于输入数据并没有说明其具体是哪一种形式的坐标表达，因此我们需要做的第一件事是识别坐标格式。观察两种形式的坐标不难发现，excel 形式的坐标是 “字母+数字”，而 RXCY 形式的坐标是 “字母+数字+字母+数字”，这两种形式的本质区别在于：RXCY 的格式中，会在数字的后面出现字母；而 excel 形式下，数字后面不可能出现字母。因此可以根据这一本质区别进行格式识别，并在后续进行格式转换。

当完成了对输入坐标字符串的格式检测后，便能分别进行格式转换了。具体的转换过程并不难（详细细节可看这之后的例题：MT2189 三进制计算机1、MT2190 三进制计算机2），下面直接给出求解本题的完整代码（已 AC）：

/*MT2187 excel的烦恼 
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;string str;
int T;
char apt[] = " ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ";// 检测当前的坐标字符串属于那种格式：
// 0 EXCEL 格式 
// 1 RXCY  格式
bool getFormat(string str)
{bool flag = 0;int strlen = str.length();for(int i=0; i<strlen; i++) {// 数字出现标记 if(isdigit(str[i]))flag = true;// 检测是否为 RXCY 模式if(flag && str[i]=='C')return true;}return false;
} // 格式转换 
void transform(string str)
{// 格式识别bool mode =  getFormat(str);// 格式转换 int row = 0, col = 0, len = str.length();if(mode){ // mode 1：RXCY 转 ECXCEL 格式 // 定位 R 与 C 所在位置 int R = str.find("R"), C = str.find("C");// 取出行号和列号 for(int i=R+1; i<C; i++) row = row*10+str[i]-'0';for(int i=C+1; i<len; i++)col = col*10+str[i]-'0';// 将十进制数转换为以 A-Z 表达的二十六进制数 int tmp;string ans;while(col > 0){tmp = col%26;if(tmp == 0){tmp = 26;col -= 26;}ans += apt[tmp];col /= 26;} reverse(ans.begin(), ans.end());// 格式化输出 cout<<ans<<row<<endl;}else{	// mode 0：ECXCEL 转 RXCY 格式 // 将二十六进制数转换为十进制数 for(int i=0; i<len; i++)if(!isdigit(str[i]))col = col*26+str[i]-'A'+1;elserow = row*10+str[i]-'0';// 格式化输出 cout<<"R"<<row<<"C"<<col<<endl;}
}int main( )
{// 输入数据cin>>T;for(int i=1; i<=T; i++){cin>>str;// 将当前的坐标表达式转换为另一种格式 transform(str);}return 0;
}

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MT2188 单条件和

难度：黄金    时间限制：1秒    占用内存：128M

题目描述

“单条件” 是数理逻辑中的5种常用连接词之一，记作 “→”。它是二元运算。相当于 “如果…那么…. ”、“因为……所以……”、“只要…就.….” 等。也可称为 “蕴涵”。“p→q” 读作 “如果p，那么q”，其中 p 称为前件，q 称为后件。

其真值表如下：

如 “异或和” 为 $a_1⨁a_2⨁\dots ⨁a_n$ ，我们现在要求 “单条件和”，即 $a_1\to a_2\to \cdots \to a_n$，对 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 做位意义上的单条件运算求和。
请按 unsigned int 类型进行运算。

格式

输入格式：第一行一个整数 $n$，表示有 $n$ 个需要求单条件和的整数；
     第二行输入 $n$ 个需要求单条件和的整数。
输出格式：输出一个 unsigned int 型的整数。

样例 1

输入：10
   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

输出：4294967290

备注

对于100%的数据：$1\le n\le 5e6$。

相关知识点：位运算

题解

观察题目给出的真值表不难发现：“p→q” 其实等价于执行位运算 “~p|q”（非 p 或 q）。在理解这一点后，我们便能直接写出以下代码：

/*MT2188 单条件和 用 scanf 接受输入才能得满分 
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;int main( )
{// 输入数据int n;unsigned ans, tmp;cin>>n>>ans;// 执行运算for(int i=1; i<n; i++) {scanf("%u",&tmp);ans = ~ans | tmp;}// 输出 cout<<ans<<endl; return 0;
}

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MT2189 三进制计算机1

难度：黄金    时间限制：1秒    占用内存：128M

题目描述

三进制计算机，是以三进法数字系统为基础而发展的计算机。在光子计算机研究领域也有涉及。
三进制代码的一个特点是对称，即相反数的一致性，因此它和二进制代码不同，不存在无符号数的概念。这样，三进制计算机的架构也要简单、稳定、经济得多。其指令系统也更便于阅读，而且非常高效。
在一般情况下，命题不一定为真或假，还可能为未知。在三进制逻辑学中，符号 1 代表真；符号 -1 代表假；符号 0 代表未知。这种逻辑表达方式更符合计算机在人工智能方面的发展趋势，它为计算机的模糊运算和自主学习提供了可能。
在本题中，请你将输入的对称三进制数转换为对应的十进制数。对称三进制数不是用 0/1/2 表示，比较特殊，是用 1/0/-1 表示，故名对称。本题中 -1 用符号 - 表示，而 1 和 0 直接表示即可。

格式

输入格式：第一输入一个整数 $n$ ，表示数据组数；
     接下来 $n$ 行，每行输入一个对称三进制整数。
输出格式：对于第 2~n+1 行输入的每一个对称三进制整数，分别输出其十进制形式。

样例 1

输入：8
   -0
   -1
   -
   0
   1
   1-
   10
   1–

输出：-3
   -2
   -1
   0
   1
   2
   3
   5

备注

样例中 $2=3-1，3=3+0\times 1，5=9-3-1$。
对于100%的数据：$1\le n\le 1e6$，输入的对称三进制数对应的整数在 int 类型范围内
。

相关知识点：平衡三进制

题解

这道题实际上考察的是进制转换，即平衡三进制转换为十进制数。

首先我们要知道，任意 $k$ 进制数（设为 $A_k=a_1{a}_2\cdots a_n$）转换为十进制都遵循下式：

$$n=\sum _{i=1}^n{a}_i{k}^{n-i}$$

其中，$a_i$ 表示该 $k$ 进制数在第 $i$ 位上的取数，$n$ 表示其长度。

例如，二进制数 1010 转换为十进制数为：

$$n=a_1{k}^{4-1}+a_2{k}^{4-2}+a_3{k}^{4-3}+a_4{k}^{4-4}=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0=10$$

十六进制数 AE86 转换为十进制数为：

$$n=a_1{k}^{4-1}+a_2{k}^{4-2}+a_3{k}^{4-3}+a_4{k}^{4-4}=10\times 16^3+14\times 16^2+8\times 16^1+6\times 16^0=44678$$

同样地，三进制数也满足该式。但是本题比较特殊，因为平衡三进制数中的 2 会用 -1 来表示，但这并不影响通式给出的计算方法。例如，对于题目给出的平衡三进制数：1--，其转换过程如下：

$$n=a_1{k}^{3-1}+a_2{k}^{3-2}+a_3{k}^{3-3}=1\times 3^2+(-1)\times 3^1+(-1)\times 3^0=9-3-1=5$$

根据这样的思路，可写出求解本题的完整代码：

下面给出基于以上思路写出的完整代码（已 AC）：

/*MT2189 三进制计算机1  输出转换结果时不能用 endl ，否则会超时 
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;const int N = 105;
int w[N], n, ans, len;
char s[N];int main( )
{// 取消cin与stdin的同步（加速文件读取速度） ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);// 输入数据cin>>n; // 构建乘位 w[0] = 1;for(int i=1; i<=100; i++)w[i] = w[i-1]*3;// 进制转换与输出 while(n--){cin>>s;ans = 0;len = strlen(s);// 进制转换 for(int i=len-1; i>=0; i--){if(s[i] == '1') ans += w[len-1-i];if(s[i] == '-') ans -= w[len-1-i];}// 输出转换结果cout<<ans<<"\n";}return 0;
}

此外，对本题而言还需要特别注意两点：

1. 必须取消 cin 与 stdin 的同步以加速文件读取速度，否则会超时（原理请见：C++中输入和输出的一些问题）；
2. 输出换行时必须用 “\n” 替代 “endl”，否则会超时。

当然，你也可以用 C 的方式进行数据输入输出（即用scanf和printf替代cin和cout），这样就不必担心上面的这些问题。

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MT2190 三进制计算机2

难度：钻石    时间限制：1秒    占用内存：128M

题目描述

三进制计算机，是以三进法数字系统为基础而发展的计算机。在光子计算机研究领域也有涉及。
三进制代码的一个特点是对称，即相反数的一致性，因此它和二进制代码不同，不存在无符号数的概念。这样，三进制计算机的架构也要简单、稳定、经济得多。其指令系统也更便于阅读，而且非常高效。
在一般情况下，命题不一定为真或假，还可能为未知。在三进制逻辑学中，符号 1 代表真；符号 -1 代表假；符号 0 代表未知。这种逻辑表达方式更符合计算机在人工智能方面的发展趋势，它为计算机的模糊运算和自主学习提供了可能。
在本题中，请你将输入的对称三进制数转换为对应的十进制数。对称三进制数不是用 0/1/2 表示，比较特殊，是用 1/0/-1 表示，故名对称。本题中 -1 用符号 - 表示，而 1 和 0 直接表示即可。

格式

输入格式：第一输入一个整数 $n$ ，表示数据组数；
     接下来 $n$ 行，每行输入一个十进制整数。
输出格式：对于第 2~n+1 行输入的每一个十进制整数，分别输出其对称三进制形式。

样例 1

输入：8
   -3
   -2
   -1
   0
   1
   2
   3
   5

输出：-3
   -0
   -1
   -
   0
   1
   1-
   10
   1–

备注

样例中 $2=3-1，3=3+0\times 1，5=9-3-1$。
对于100%的数据：$1\le n\le 1e6$，输入的对称三进制数对应的整数在 int 类型范围内
。

相关知识点：平衡三进制

题解

这道题与前一题的要求刚好相反，即要求将输入的每个十进制数转换为对称三进制数并输出。
首先我们要知道，任意十进制数 $n$ 转换为 $k$ 进制都遵循一个过程：

1. 当前位取数为：n%k；
2. 为继续向后取数（即得到更高位的数），更新数 $n=\frac{n}{k}$。
3. 若 n = 0 ，则转换结束。

例如，将十进制数 10 转换为二进制数的过程如下：

• 第1位：$n\%2=10\%2=0$，更新 $n=\frac{n}{2}=\frac{10}{2}=5$；
• 第2位：$n\%2=5\%2=1$，更新 $n=\frac{n}{2}=\frac{5}{2}=2$；
• 第3位：$n\%2=2\%2=0$，更新 $n=\frac{n}{2}=\frac{2}{2}=1$；
• 第4位：$n\%2=1\%2=1$，更新 $n=\frac{n}{2}=\frac{1}{2}=0$，转换结束。

于是得到十进制数 10 对应的二进制数为 1010。

同样地，将十进制数转换为三进制数也遵循该算法，例如，将十进制数 11 转换为三进制数的过程如下：

• 第1位：$n\%3=11\%3=2$，更新 $n=\frac{n}{3}=\frac{11}{3}=3$；
• 第2位：$n\%3=3\%3=0$，更新 $n=\frac{n}{3}=\frac{3}{3}=1$；
• 第3位：$n\%3=1\%3=1$，更新 $n=\frac{n}{3}=\frac{1}{3}=0$，转换结束。

于是得到十进制数 11 对应的三进制数为 102。

而本题要求转换的 “平衡三进制” 中，所有的 “2” 都要求用 “-1” 来替代。这一替换实际上相当于将指定位上的值减少了 1（从这个数的整体来看，实际上减少了 $1\times k^p$），为了保证这个数在整体上的值不变，就必须向前一位借位，即将这个位前的那个值加 1。例如，由十进制数 11 得到的三进制数为 102，我们从该数的低位向高位扫描：首先，末尾存在一个 “2”，于是将这个数替换为 “-”，并将较高位的 “0” 替换为 “1”（即得到 11-）；接继续向后扫描，发现整个序列中的数均合法，于是得到由十进制数 11 转换的平衡三进制数为 11-。我们可以进行验证：

$$n=a_1{k}^{3-1}+a_2{k}^{3-2}+a_3{k}^{3-3}=1\times 3^2+1\times 3^1+(-1)\times 3^0=9+3-1=11$$

考虑一种情况，三进制数 122。当将末位的 “2” 借位后，中间位的 “2” 将变成数字 “3”，即此时为 13-；对中间位而言，“3” 已经达到了这个进制下的最大值，因此要进位，于是此时该数将变为 20-；继续向高位扫描，发现最高位为 “2”，因此需要将其转换为 “-”，并向较高位借位，故最终得到 1-0-。我们可以进行验算：

$$122：n=1\times 3^2+2\times 3^1+2\times 3^0=9+6+2=17$$
$$1-0-：n=1\times 3^3+(-1)\times 3^2+0\times 3^1+(-1)\times 3^0=17$$

可以看出，他们最终转换为十进制均为 17。

最后还需要注意一点：平衡三进制的负数与正数之间的转换关系。实际上，题目也给出了他们之间关系的一些提示：“三进制代码的一个特点是对称，即相反数的一致性”。对于平衡三进制的数而言，它的相反数与其本身的关系如下：所有非 0 数据互相相反。例如，平衡三进制数 1-01，它对应的负数则为 -10-：

$$1-01：n=1\times 3^3+(-1)\times 3^2+0\times 3^1+1\times 3^0=27-9+0+1=19$$
$$-10-：n=(-1)\times 3^3+1\times 3^2+0\times 3^1+(-1)\times 3^0=-27+9+0-1=-19$$

根据上面的分析，可以将求解本题的思路整理如下：

1. 将输入的十进制数转换为对应的三进制数（为便于处理，这一阶段将统一使用该数的正数）；
2. 将三进制数转换为平衡三进制数，转换规则如下（假设当前的三进制数字符串为num）：
   • 若 num[i] = 2，则令 num[i] = -, num[i+1]++（数字串的索引大小与数的低位到高位对应）；
   • 若 num[i] = 3，则令 num[i] = 0, num[i+1]++。
3. 根据输入十进制数的正负性，对得到的平衡三进制数进行相应处理。

下面给出基于以上思路得到的完整代码（已 AC）：

/*MT2190 三进制计算机2  思路：先将数从十进制转换至正常的三进制，然后再转换为平衡三进制 
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;const int N = 55;
int num[N], n, x, flag, cnt;int main( )
{// 取消cin与stdin的同步（加速文件读取速度） ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);// 输入数据cin>>n; while(n--){cin>>x;memset(num, 0, sizeof(num));flag = 1, cnt = 0;// 程序将统一处理正数，因此定义标记来记录原始输入数据的正负性 if(x<0){flag = -1;x = -x;}if(x == 0){cout<<x<<"\n";continue;} // 将十进制数转换为三进制数 while(x){num[cnt++] = x%3;x /= 3;}// 将三进制数转换为平衡三进制数 for(int i=0; i<cnt; i++){if(num[i] == 2){// 借位 num[i] = -1;num[i+1]++;}else if(num[i] == 3){// 进位 num[i] = 0;num[i+1]++; }}// 判断原始三进制数转换为平衡三进制数后是否出现了位增情况 if(num[cnt]) cnt++;// 如果原始输入的十进制数为负数，则需要对已经算出的平衡三进制数进行反号 if(flag == -1) for(int i=cnt-1; i>=0; i--)num[i] = -num[i];// 输出转换后的平衡三进制数，需要进行格式控制：所有的-1都输出- for(int i=cnt-1; i>=0; i--)if(num[i] == -1) cout<<"-";else cout<<num[i];cout<<"\n";}return 0;
}

END

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