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文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频，本篇文章提供了一些基础知识点，比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。

文章全部链接：
基础知识点
Part1：三角函数系的正交性
Part2：T=2π的周期函数的傅里叶级数展开
Part3：周期为T=2L的函数展开
Part4：傅里叶级数的复数形式
Part5：从傅里叶级数推导傅里叶变换
总结

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Part2：$T=2\pi$的周期函数的傅里叶级数展开

假设周期$T=2\pi$，将一个周期函数展开为傅里叶级数如下：
$$\begin{array}{rlr}f(x)& =\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx\right)& \end{array}$$

计算函数中的相关系数$a_0$、$a_n$、$b_n$。

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第一步，求解$a_0$，对$f(x)$在$[-\pi ,\pi ]$之间计算积分${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$，即为：
$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinnxdx& \end{array}$$
计算上式第2项
$$\begin{array}{rlr}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _1^{\infty }{a}_{n}cosnxdx& ={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{1}cosxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{2}cos2xdx+...+{\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{n}cosnxdx+...& \\ & =a_1{\int }_{-\pi }^{\pi }cosxdx+a_2{\int }_{-\pi }^{\pi }cos2xdx+...+a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxdx+...& \end{array}$$
根据三角函数的正交性，${\int }_{-\pi }^{\pi }{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnxdx=0$

计算第3项

$$\begin{array}{rlr}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _1^{\infty }{b}_{n}sinnxdx& ={\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_{1}sinxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_{2}sin2xdx+...+{\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_{n}sinnxdx+...& \\ & =b_1{\int }_{-\pi }^{\pi }sinxdx+b_2{\int }_{-\pi }^{\pi }sin2xdx+...+b_n{\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxdx+...& \end{array}$$
根据三角函数正交性， ${\int }_{-\pi }^{\pi }{\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinnxdx=0$

那么${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx=\frac{a_0}{2}x{|}_{-\pi }^{\pi }=\frac{a_0}{2}2\pi =\pi a_0$，计算求得：

$$\begin{array}{rlr}& a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx& \end{array}$$

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第二步，计算$a_n$，等号两边同时乘以$cosmx$，然后在$[-\pi ,\pi ]$区间内求积分。如下：

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosmxdx=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }cosmxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnxcosmxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinnxcosmxdx& \end{array}$$

计算第一项结果为0

$$\begin{array}{rlr}& \frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }cosmxdx=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }cos0xcosmxdx=0& \end{array}$$

计算第二项

$$\begin{array}{rlr}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnxcosmxdx& ={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{1}cosxcosmxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{2}cos2xcosmxdx+...+{\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{n}cosnxcosmxdx+...& \\ & =a_1{\int }_{-\pi }^{\pi }cosxcosmxdx+a_2{\int }_{-\pi }^{\pi }cos2xcosmxdx+...+a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxcosmxdx+...& \end{array}$$

当$m\ne n$时

$$\begin{array}{rlr}& a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxcosmxdx=0& \end{array}$$

当$m=n$时，根据三角函数平方公式可得${\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxcosnxdx=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx+{\int }_{-\pi }^{\pi }cos2nxdx\right]=\pi$，该项只会保留当$m=n$时的结果，即：

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnxcosmxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{n}cosnxcosnxdx=\pi a_n& \end{array}$$

计算第三项

$$\begin{array}{rlr}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinnxcosmxdx& ={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{1}sinxcosmxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{2}sin2xcosmxdx+...+{\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{n}sinnxcosmxdx+...& \\ & =a_1{\int }_{-\pi }^{\pi }sinxcosmxdx+a_2{\int }_{-\pi }^{\pi }sin2xcosmxdx+...+a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxcosmxdx+...& \end{array}$$

由正交性可得第三项为0：

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinnxcosmxdx=0& \end{array}$$

那么就有：

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnxcosmxdx=\pi a_n& \\ & \Rightarrow & \\ & a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx& \end{array}$$

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第三步，计算$b_n$，等式两边乘以$sinmx$，然后在区间$[-\pi ,\pi ]$之间计算积分，如下：

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinmxdx=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }sinmxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnxsinmxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinnxsinmxdx& \end{array}$$

计算第一项为0：

$$\begin{array}{rlr}& \frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }sinmxdx=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }cos0xsinmxdx=0& \end{array}$$

计算第二项为0：

$$\begin{array}{rlr}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnxsinmxdx& ={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{1}cosxsinmxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{2}cos2xsinmxdx+...+{\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{n}cosnxsinmxdx+...& \\ & =a_1{\int }_{-\pi }^{\pi }cosxsinmxdx+a_2{\int }_{-\pi }^{\pi }cos2xsinmxdx+...+a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxsinmxdx+...& \\ & =0& \end{array}$$

计算第三项

$$\begin{array}{rlr}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinnxsinmxdx& ={\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_{1}sinxsinmxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_{2}sin2xsinmxdx+...+{\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_{n}sinnxsinmxdx+...& \\ & =b_1{\int }_{-\pi }^{\pi }sinxsinmxdx+b_2{\int }_{-\pi }^{\pi }sin2xsinmxdx+...+b_n{\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxsinmxdx+...& \end{array}$$

当$m\ne n$时

$$\begin{array}{rlr}& b_n{\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxsinmxdx=0& \end{array}$$

当$m=n$时，根据三角函数平方公式可得${\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxsinnxdx=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx-{\int }_{-\pi }^{\pi }cos2nxdx\right]=\pi$，该项只会保留当$m=n$时的结果，即：

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinnxsinmxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_{n}sin(nx)sin(nx)dx=\pi b_n& \end{array}$$

那么就有：

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinnxsinmxdx=\pi b_n& \\ & \Rightarrow & \\ & b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx& \end{array}$$

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综上，可以得出，对于一个周期$T=2\pi$的周期函数，其傅里叶级数为：

$$\begin{array}{rlr}& f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx\right)& \\ & 其中,& \\ & a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx& \\ & a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx& \\ & b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx& \end{array}$$

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Part3：周期为$2L$的函数展开

对于一个$T=2L$的周期函数$f(t)=f(t+2L)$ ，展开傅里叶级数。

换元法令$x=\frac{\pi }{L}t$，那么$t=\frac{L}{\pi }x$，代入到$f(t)$

$$\begin{array}{rlr}& f(t)=f(\frac{L}{\pi }x)& \end{array}$$

令$g(x)=f(t)=f(\frac{L}{\pi }x)$。

有$x$与$t$、$f(t)=g(x)$的换算关系可以得到：

$(t=-L\iff x=-\pi )\Rightarrow f(-L)=g(-\pi )$

$(t=L\iff x=\pi )\Rightarrow f(L)=g(\pi )$

$(t=3L\iff x=3\pi )\Rightarrow f(3L)=g(3\pi )$

$...$

因为$f(t)$是一个周期为$2L$函数，有$f(-L)=f(L)=f(3L)...$，那么就有$g(-\pi )=g(\pi )=g(3\pi )...$，可以看出$g(x)$是一个周期为$2\pi$的周期函数。

展开$g(x)$傅里叶级数为：

$$\begin{array}{rlr}& g(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx\right)& \\ & 其中,& \\ & a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }g(x)dx& \\ & a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }g(x)cosnxdx& \\ & b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }g(x)sinnxdx& \end{array}$$

将$x=\frac{\pi }{L}t$代入，有：

$$\begin{array}{rl}cosnx& =cos\frac{n\pi }{L}t\\ sinnx& =sin\frac{n\pi }{L}t\\ g(x)& =f(t)\\ {\int }_{-\pi }^{\pi }dx& ={\int }_{-L}^{L}d\frac{\pi }{L}t=\frac{\pi }{L}{\int }_{-L}^{L}dt\\ \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }dx& =\frac{1}{\pi }{\int }_{-L}^{L}d\frac{\pi }{L}t=\frac{1}{\pi }\frac{\pi }{L}{\int }_{-L}^{L}dt=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}dt\\ & \end{array}$$

代入展开函数有：

$$\begin{array}{rlr}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos\frac{n\pi }{L}t+b_{n}sin\frac{n\pi }{L}t\right)& \\ & 其中,& \\ a_0& =\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)dx& \\ a_n& =\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)cos\frac{n\pi }{L}tdx& \\ b_n& =\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)sin\frac{n\pi }{L}tdx& \end{array}$$

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在工程中，$t$从$0$开始，周期$T=2L$，令$\omega =\frac{\pi }{L}=\frac{2\pi }{T}$，有$L=\frac{\pi }{\omega }$

对于周期函数

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-L}^{L}dt={\int }_0^{2L}dt={\int }_0^{T}dt& \end{array}$$

代入上面的展开函数就得到，对于$T=2L$的周期函数，其傅里叶级数展开如下：

$$\begin{array}{rlr}& f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cosn\omega t+b_{n}sinn\omega t\right)& \\ & 其中,& \\ & a_0=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)dx& \\ & a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)cosn\omega tdx& \\ & b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)sinn\omega tdx& \end{array}$$

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原视频博主提供了一个示例，计算如下图所示的周期函数的傅里叶展开。

解：

由上图知道周期$T=2L=20$，令$\omega =\frac{\pi }{L}=\frac{\pi }{10}$。根据上面得到的结论，上图的傅里叶级数展开函数为：
$$\begin{array}{rlr}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cosn\omega t+b_{n}sinn\omega t\right)& ，其中L=10\\ a_0& =\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)dx& \\ a_n& =\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)cosn\omega tdx& \\ b_n& =\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)sinn\omega tdx& \end{array}$$
代入图示函数计算：
$$\begin{array}{rl}{a}_0& =\frac{1}{10}\left[{\int }_0^{10}7dx+{\int }_0^{10}3dx\right]\\ & =\frac{1}{10}\left[7\cdot (10-0)+3\cdot (20-10)\right]\\ & =10\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{10}\left[{\int }_0^{10}7cosn\omega tdx+{\int }_{10}^{20}3cosn\omega tdx\right]\\ & =\frac{1}{10}\left[\frac{7}{n\omega }sinn\omega t{|}_0^{10}+\frac{3}{n\omega }sinn\omega t{|}_{10}^{20}\right]\\ & =\frac{1}{n\pi }\left[7(sinn\pi -sin0)+3(sin2n\pi -sinn\pi )\right]\\ & =0\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{b}_n& =\frac{1}{10}\left[{\int }_0^{10}7sinn\omega tdx+{\int }_{10}^{20}3sinn\omega tdx\right]\\ & =\frac{1}{10}\left[-\frac{7}{n\omega }cosn\omega t{|}_0^{10}-\frac{3}{n\omega }cosn\omega t{|}_{10}^{20}\right]\\ & =-\frac{1}{n\pi }\left[7(cosn\pi -cos0)+3(cos2n\pi -cosn\pi )\right]\\ & =\frac{4}{n\pi }\left[1-cosn\pi \right]\end{array}$$

当$n$是奇数时，$cosn\pi =-1$，此时$b_n=\frac{8}{n\pi }$；

当$n$是偶数时，$cosn\pi =1$，此时$b_n=0$；

最后，图示函数的傅里叶级数展开为：
$$\begin{array}{r}F(t)=\{\begin{array}{cc}5+{\sum }_{n=1}^{\infty }(\frac{8}{n\pi }sin\frac{n\pi }{10}t)，& n=2k+1,k\in z\\ 5,& n=2k,k\in z\end{array}\end{array}$$
从展开函数中可以发现，当$n$越大时，$\frac{8}{n\pi }$越小，$\frac{n\pi }{10}$越大即频率越高。现在取$n=1,3,5$，得到每个频率分量分别为：
$$\begin{array}{r}n=1时为\frac{8}{\pi }sin\frac{\pi }{10}t；\\ n=3时为\frac{8}{3\pi }sin\frac{3\pi }{10}t；\\ n=5时为\frac{8}{5\pi }sin\frac{5\pi }{10}t；\end{array}$$
这三个频率以及它们叠加后的图示如下，可以发现，频率越大，其振幅越小，叠加后的变化大致与给定示意图一致。