线性代数的学习和整理5： 矩阵的加减乘除及其几何意义

目录

1 矩阵加法

1.1 矩阵加法的定义

1.2 加法的属性

1.2.1 只有同类型，相同n*m的矩阵才可以相加

1.2.1 矩阵加法的可交换律：

1.2.2 矩阵加法的可结合律：

1.3矩阵加法的几何意义

2  矩阵的减法

2.1 矩阵减法定义和原理基本同 矩阵的加法

2.2 矩阵减法的几何意义

3 矩阵标量乘法/ 也称 数乘

3.1 数乘的定义

3.2 矩阵的标量乘法的性质

3.3 几何意义：就是 正向/反向的伸缩

4 左乘 & 右乘 （很简单概念，但是需要界定语言的严谨性）

4.1 搞清楚主体：谁的左乘？右乘？

4.2 搞清楚方向：什么是左乘和右乘 

4.3 一般的线性代数公式  AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A

5 矩阵的点乘：得到的点积/内积

5.1 详细的矩阵乘法规则

5.1.1 计算规则是：只有形如 n*m矩阵* m*k的矩阵的矩阵才可以相乘

5.1.2  矩阵的乘法不符合交换性，不能交换次序，左乘 ≠ 右乘，A*B ≠B*A

5.2  矩阵点乘法：得到的内积/点积的几何意义

6 矩阵的叉乘：得到的外积/叉积

6.1 定义

6.2 几何意义

7 矩阵求逆(逆矩阵)

7.1 逆矩阵定义

7.2 求逆矩阵的方法

7.3 求逆矩阵的规则

7.3.1 并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵

7.4 逆矩阵的函数意义

7.5 逆矩阵的几何意义

8  带引号的“矩阵除法”

8.1 一般没有矩阵除法的说法，但可以这么理解

8.2 矩阵除法的几何意义（？）

---

1 矩阵加法

1.1 矩阵加法的定义

• 矩阵加法一般是指两个矩阵把其相对应元素加在一起的运算。 

1.2 加法的属性

可结合律和可交换律

1.2.1 只有同类型，相同n*m的矩阵才可以相加

• （1,2）+(1,2,3) 无法计算
• 如何合法可加，生成的结果也是一个向量

1.2.1 矩阵加法的可交换律：

• A+B=B+A
• 看坐标系，表示从上面走先走b，再走a到达C，和从下面先走a,再走b到达C是一样的。

1.2.2 矩阵加法的可结合律：

• (A+B)+C=A+(B+C)
• 看坐标系，表示3个矩阵相加，先计算A+B,再计算A+B+C 和先计算B+C 结果是一样的。

1.3矩阵加法的几何意义

• 看下图，实际是向量的相加，是有方向性的，不是简单的相加
• 而无论2个，还是3个向量相加，都可以用三角形发展继续相加，生成的新向量就是矩阵相加的和----一个新向量

 

 

2  矩阵的减法

2.1 矩阵减法定义和原理基本同 矩阵的加法

• 虽然一般不说矩阵减法，但原理上OK，EXCEL里计算也OK

2.2 矩阵减法的几何意义

• 矩阵的减法和加法其实是类似的，但是几何意义不同
• 加法是2个向量，首尾相接，形成新的向量--和向量
• 减法是1个减数向量，开始指向另1个被减数的向量，形成的新向量：差向量。如可以可以挪到原点，从原点出发，
• 可以看出如下图，和从原点出发，而数字为减法后得数的终点作为坐标的向量，是相同的。
• 为什么一定要挪回到原点看，因为向量空间里要求所有的向量都是从原点出发，终点坐标代表其坐标的向量。

 

3 矩阵标量乘法/ 也称 数乘

3.1 数乘的定义

• λ*(A+B) =λ*A+λ*B
• 就是  标量*矩阵对应位置元素，类整数的乘法

3.2 矩阵的标量乘法的性质

• 可结合性：a*X={ax1,ax2,ax3.....axn]
• 可交换性：  a*X=X*a

3.3 几何意义：就是 正向/反向的伸缩

• 如果乘以正数，就是正向伸缩
• 如果乘以负数，就是反向伸缩
• 如果乘以a>1，就是伸长，
• 如果a=0.5 就是缩短

4 左乘 & 右乘 （很简单概念，但是需要界定语言的严谨性）

4.1 搞清楚主体：谁的左乘？右乘？

• 比如 Ax=y
• 主体：变量?   那变量 x 左乘矩阵A
• 主题，矩阵？ 那矩阵A 右乘变量x

4.2 搞清楚方向：什么是左乘和右乘 

• A*B ≠ B*A
• A*B 是A右乘B， 是A的右边乘以B
• B*A  是A左乘B，是A的左边乘以B

4.3 一般的线性代数公式  AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A

• 一般的线性代数公式  AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A

5 矩阵的点乘：得到的点积/内积

• 在EXCEL里，使用函数 mmult()+ 选择好生成矩阵的长宽区域+数组公式
• 注意要提前计算好 目标矩阵的大小，比如 n*m矩阵* m*k的矩阵，结果是 m*k的矩阵

5.1 详细的矩阵乘法规则

5.1.1 计算规则是：只有形如 n*m矩阵* m*k的矩阵的矩阵才可以相乘

并不是任意2个矩阵都可以相乘

• 只有形如 n*m矩阵* m*k的矩阵的矩阵才可以相乘，也就是前者的列数=后者的行数
• aij= 矩阵1的第i行* 矩阵2的第j列的结果

本质规则

• 是两个矩阵元素的投射形成的新矩阵

5.1.2  矩阵的乘法不符合交换性，不能交换次序，左乘 ≠ 右乘，A*B ≠B*A

• 矩阵乘法要详细考虑次序，不能交换
• A*B ≠ B*A
• 矩阵乘法的具体公式：需要考虑展开，后面详细再说

5.2  矩阵点乘法：得到的内积/点积的几何意义

• 矩阵的内积得到的是一个标量，也就是具体的数，而不是矩阵。
• 下图是网上找的
• 向量的内,外积及其几何含义讲解_两向量外积的几何意义-腾讯云开发者社区-腾讯云概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：https://cloud.tencent.com/developer/article/2157496

 

6 矩阵的叉乘/向量乘法：得到的外积/叉积

6.1 定义

• 没学过，还不太清楚，下面是转载的外积的内容
• 有点像把矩阵的每个元素，当成一个分块矩阵，分别与另外一个矩阵相乘
• 得到的结果是一个矩阵

 

6.2 几何意义

• 据说，2个向量的外积表现为这2个向量所构成的平行六面体的体积！

7 矩阵求逆(逆矩阵)

7.1 逆矩阵定义

• 矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。A*B=I/E
• 若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。
• 逆矩阵比然唯一

7.2 求逆矩阵的方法

• 主要是利用 A*A-=I 标准矩阵

7.3 求逆矩阵的规则

7.3.1 并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵

• 并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵
• 特殊条件是：

1. 方阵
2. 满秩的
3. 双射矩阵

满足这些条件的矩阵才可以求逆

7.3.2 比较方便的快速判断方法，判断标准如下

1. 如果矩阵的行列式值是否为0，若不为0，则可逆；
2. 看这个矩阵的秩是否为n，若为n，则矩阵可逆；如果小于n，不可逆。
3. 若存在一个矩阵B，使矩阵A使得AB=BA=E，则矩阵A可逆；
4. 对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆；
5. 对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆。

7.4 逆矩阵的函数意义

• 如果把矩阵看成函数
• 那么函数，只有当定义域到值域是单射，且值域都是满射时，也就是定义域到值域是双射时才会有反函数
• 同理，也只有这时，矩阵才会有逆矩阵。

7.5 逆矩阵的几何意义

• 常见矩阵乘法 Ax=y，可以认为是把x从自然基底（正交的一组特殊基底）变换为斜的新坐标系。
• 那么，逆矩阵就是反过来，把斜坐标系再给转换为正交的自然基底。

百度安全验证https://baijiahao.baidu.com/s?id=1731151185141060114&wfr=spider&for=pc

8  带引号的“矩阵除法”

8.1 一般没有矩阵除法的说法，但可以这么理解

• ​这个除法实际只是一个类比，并不是真正的 矩阵除法！

这个题目的意思是：

如果知道 ，A矩阵*B矩阵=C矩阵

但是A矩阵已知，C矩阵也已知，如何求B矩阵？

A矩阵*B？矩阵=C矩阵

A*B？=C  那么B？=？    其实B=A-*C  而不是C*A-

• 一定注意矩阵的次序，很重要！！
• 正确的，B=A~*C，而且B !=C*A-
• 错误的，B =C*A-
• 因为如下推导

1. A*B= A*A-*C   =I*C=C
2. A*B= A*C*A-  !=C
    

8.2 矩阵除法的几何意义（？）

• 这个应该就是函数变换吧，暂时不知道其几何意义是什么
• A*B= A*A-*C   =I*C=C
• B=A-*C