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2个向量组间的表示关系

向量组的相互表出

• 设有两个同维向量组$A:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$,$B:{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_t$

• 若${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_t$都可以被$A$线性表示,则称向量组$B$可以由$A$线性表示

向量组用另一个向量组表示👺

• 若$B$可以由$A$线性表示,则对$B$的每个向量${\beta }_j(j=1,2,\cdots ,t)$存在$s$维向量$K_j=(k_{1j},k_{2j},\cdots ,k_{sj}{)}^T$使得:
  • ${\beta }_j$=$\sum _{i=1}^s{k}_{ij}{\alpha }_i$=$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)(k_{1j},k_{2j},\cdots ,k_{sj}{)}^T$;$(j=1,2,\cdots ,t)$
  • 这种表出关系中涉及两个向量组$A,B$,分别是表示向量组和被表示向量组

线性表示的系数矩阵

• 根据分块矩阵乘法$(A{B}_1,A{B}_2,\cdots ,A{B}_s)$=$A(B_1,B_2,\cdots ,B_s)$有:

  • $$({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_t)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)\left(\begin{array}{cccc}{k}_{11}& k_{12}& \cdots & k_{1t}\\ k_{21}& k_{22}& \cdots & k_{st}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k_{s1}& k_{s2}& \cdots & k_{st}\end{array}\right)$$

  • 其中矩阵$K_{s\times t}=(k_{ij})$称为$A$线性表示$B$的系数矩阵

矩阵乘法与线性表出

• 若$C_{m\times n}$=$A_{m\times l}{B}_{l\times n}$,则

列向量组线性表示

• $C$的列向量组能够由矩阵$A$的列向量组线性表示,且$B$为这一表示的系数矩阵:

  • $$({\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2,\cdots ,{\mathbf{c}}_n)=({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_l)\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{l1}& b_{l2}& \cdots & b_{ln}\end{array}\right)$$

行向量组线性表示

• 同时$C$的行向量组能由$B$的行向量组线性表示,且$A$为这一表示的系数矩阵

  • $$\left(\begin{array}{c}{\gamma }_1^T\\ {\gamma }_2^T\\ ⋮\\ {\gamma }_m^T\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1l}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2l}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{ml}& a_{m2}& \cdots & a_{ml}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta }_1^T\\ {\beta }_2^T\\ ⋮\\ {\beta }_l^T\end{array}\right)$$

    • ${\gamma }_i^T$=${\sum }_{k=1}^l{a}_{ik}{\beta }_k^T$,$i=1,2\cdots ,m$

向量组等价👺

• 若两个向量组$A$和$B$可以相互线性表示,则称$A,B$两个向量组等价记为$A\cong B$
  • 若两个向量组$B$可通过$A$中的向量调整顺序得到,则显然地$A,B$可以相互线性表出(表出系数为全1向量),同时有$B\cong A$
  • 若$B$是$A$的一个部分组,则$B$显然可以被$A$线性表示,表出系数为仅包含$0,1$的向量

向量组等价的性质

• 反身性:每个向量组和自身等价$A\cong A$
• 对称性:$A\cong B\Rightarrow B\cong A$
• 传递性:$A\cong B,B\cong C\Rightarrow A\cong C$

推论

• 若$A=B$,则

等价矩阵与向量组等价的关系

行等价矩阵的行向量组等价

• 设矩阵$A\stackrel{r}{\sim }B$,即矩阵$A$经过初等行变换可以变成矩阵$B$,即存在可逆矩阵$P$使得$B=PA$;
• 由矩阵乘法和线性表示的关系,$B$的行向量组可以被$A$的行向量组线性,且表示系数矩阵$P$
• 反之$P^{-1}B=A$,所以$A$的行向量组可以被$B$的行向量组线性表示,且表示系数矩阵为$P^{-1}$
• 可见$A,B$可以相互表示,从而$A,B$;两个向量组等价$(A\cong B)$

列等价矩阵的列向量组

• 类似的,若$A\stackrel{c}{\sim }B$,则$A\cong B$

小结

• 若$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$,则$A\cong B$
• 但是逆命题不成立,因为对于$C=BA$,$A,B$不一定是可逆矩阵

向量组等价和矩阵等价的比较🎈

• 向量组等价在于相互表示
• 矩阵等价在于可以通过初等变换相互转换

概念迁移:线性方程组之间的等价

• 向量组的**"线性组合**,线性表示以及等价"等概念可以迁移到线性方程组上

方程组的线性组合

• 线性方程组中的线性方程对应于一个行向量
• 对方程组$A$的各个方程作线性运算得到的新方程称为"方程组$A$的一个线性组合"

方程组被另一个方程组线性表示

• 若方程组$B$的每个方程都是方程组$A$的线性组合,则称方程组$B$能由方程组$A$线性表示

方程组等价

• 若方程组$A,B$能相互线性表示,则$A,B$可以互推,可互推的线性方程组相也称它们等价

线性方程组同解问题

• 方程组$A$的解一定是方程组$B$的解,反之则不一定成立(方程组$B$的部分解和方程组$A$的解重合)
  • $A$是$B$的充分条件,$B$是$A$的必要条件,这也说明,$A$的解一定满足$B$,但是$B$的解可能仅满足$A$的部分条件
• 可互推的线性线性方程组一定是同解的

向量组可被另一个向量组线性表示判定定理👺

分析

• 以列向量组为例讨论;行向量组类似有相同的结论
• 向量组$B:{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_l$能由向量组$A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$线性表示,其含义是存在矩阵$K_{m\times l}$,使得$({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_l)$=$({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m)K$成立
• 也是矩阵方程$({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m)\mathbf{X}$=$({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_l)$有解,$X$就是$B$线性表示$A$的表示系数矩阵
  • 记$\mathbf{A}$=$({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m)$;$\mathbf{B}=({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_l)$,矩阵方程作$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$
  • 则$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$是方程有解的充要条件

定理👺

• 向量组$B:{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_l$能由向量组$A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$线性表示的充要条件是矩阵$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$
  • 对于行向量组,相当于判定$B=XA$是否有解,这个问题可以转换为列向量组,即利用转置运算转换为$B^T=A^T{X}^T$,而判定条件$R({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}})=R({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}},{\mathbf{B}}^{\mathbf{T}})$,等价于$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$

推论:两向量组等价的充要条件

• 由上述定理:
  • 向量组$A$能由$B$线性表示,则$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$
  • 向量组$B$能由$A$线性表示,则$R(\mathbf{B})=R(\mathbf{B},\mathbf{A})$
• 此外由初等列变换中的列交换有$(\mathbf{A},\mathbf{B})\stackrel{c}{\sim }(\mathbf{B},\mathbf{A})$,所以$R(\mathbf{A},\mathbf{B})$=$R(\mathbf{B},\mathbf{A})$
• 两向量组$A,B$等价的充要条件是$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$

向量组的矩阵秩间关系👺

• 设向量组$B$能由向量组$A$线性表示,则$R(\mathbf{B})⩽R(\mathbf{A})$
• 证明:
  • 由于$B$能被$A$线性表示,则$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$
  • 又由分块矩阵秩的性质:$R(\mathbf{B})⩽R(\mathbf{A},\mathbf{B})$
  • 所以$R(\mathbf{B})⩽R(\mathbf{A})$
• 结论表明,被表示向量组的矩阵的秩小等于表示向量组的矩阵的秩
• 形象的理解该结论$:B$能够被$A$表示(代替掉),说明$B$的内涵(秩)不超过$A$

矩阵方法

• 用矩阵来表述问题,并通过矩阵的运算结局问题的方法通常叫做矩阵方法,是线性代数的基本方法
• 例如,将向量组的问题表述称矩阵形式,通过矩阵的运算来得出结果,在把矩阵形式的结果翻译成几何语言问题的结论
• 以下三种表述是对应等价的
  • 向量组$B$能由向量组$A$线性表示(几何语言)
  • 存在矩阵$\mathbf{K}$,使得$\mathbf{B}=\mathbf{AK}$(矩阵语言)
  • 方程$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$有解(矩阵语言)

n维单位坐标向量

• $n$阶单位矩阵${\mathbf{E}}_n$=$({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n)$的列向量称为**$n$维单位坐标向量**
• 设$n$维向量组$A:{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{m}}$构成$n\times m$矩阵$\mathbf{A}$;易知$R(\mathbf{A})⩽n$
• 结论:$n$维单位坐标向量$E_n:{\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$都能由向量组$A$线性表示的充要条件是$R(\mathbf{A})=n$(几何语言描述,描述中不直接涉及矩阵运算)
• 证明:$E_n$能被$A$线性表示,则$\mathbf{E}=\mathbf{AX}$有解
  • 等价于:$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{E})$;
  • 而$R(\mathbf{A},\mathbf{E})⩾R(\mathbf{E})=n$,$(\mathbf{A},\mathbf{E})$仅有$n$行,即$R(\mathbf{A},\mathbf{E})⩽n$;综上$R(\mathbf{A},\mathbf{E})=n$,
  • 所以:$R(\mathbf{A})$=$n$
• 结论用矩阵语言描述(描述中包含矩阵运算):对矩阵${\mathbf{A}}_{n\times m}$,存在矩阵${\mathbf{K}}_{m\times n}$,使得$\mathbf{AK}={\mathbf{E}}_n$的充要条件是$R(\mathbf{A})=n$
  • 或$\mathbf{AX}={\mathbf{E}}_n$有解的充要条件是$R(\mathbf{A})=n$