【位运算进阶之----左移(<<)】
今天我们来谈谈左移这件事。
❤️简单来说,对一个数左移就是在其的二进制表达末尾
添0。左移一位添一个0,结果就是乘以2
;左移两位添两个0,结果就乘以2 ^ 2
;左移n位添n个0,结果就是乘以2 ^ n
,小心溢出😄!
下面就让我们来详细看看吧!
文章目录
- 一、基础知识:
- :one: 左移的二进制表示:
- :two: 左移的执行结果:
- :three: 对负数左移:
- :four: 左移负数位:
- :five:左移时溢出!
- (1)位溢出(移位/mod的角度):
- (2) 值溢出(值的角度):
- 二、拓展应用:
- 1. 取模和位运算的转换:
- 2. 生成标记码:
- (1. 标记位置1:
- (2. 标记位置0:
- (3. 标记位取反:
- 3. 生成掩码:
一、基础知识:
✨左移操作是一种位操作,用来将一个数的二进制表达的所有位向左移动指定的位数,并在右侧用0填充空位。
1️⃣ 左移的二进制表示:
✨x<<y 表示将x向左移动y位。(其中x和y都是整数
)
如:1001 << 2 ----> 100100
2️⃣ 左移的执行结果:
✨左移操作相当于将一个数乘以2的n次方。
x<<y <=> x * (2 ^ y)
如:
#include<stdio.h>int main(void)
{int x = 3, y = 2;printf("%d", x << y);//3*(2^2)return 0;
}
执行结果如下:
如上图可见,3<<2 = 3 * (2^2)= 3*4 = 12;
- 可能聪明的你已经想到了左移的强大之处,即
对1左移时,得到的都是2的幂
,这是一个非常重要的知识点❗️
1左移n位 | 值 | 2的幂 |
---|---|---|
1<<1 | 2 | 2^1 |
1<<2 | 4 | 2^2 |
1<<3 | 8 | 2^3 |
… | … | … |
1<<n | 2^n | 2^n |
- 上面我们讨论的左移都是对正整数来说的,那如果对负数呢?对负数左移会发生什么?左移负数位又是如何?阁下莫急,且听我慢慢道来……
3️⃣ 对负数左移:
如:-3<<2 是多少呢?相信你心中已经有答案了,请看下图!
#include<stdio.h>int main(void)
{int x = -3, y = 2;printf("%d", x << y);return 0;
}
执行结果如下:
✨(-x)<<y <=>-(x<<y) :即对负数左移y位等于对正数左移y位后再取负。
这其实也可以用补码来解释:
- -(3<<2):
- 3的补码:00000000 00000000 00000000 00000011
- 3的补码左移两位:00000000 00000000 00000000 00001100=12 ,再取负得12。
- -3<<2:
- -3的补码:11111111 11111111 11111111 11111101
- -3的补码左移两位:11111111 11111111 11111111 11110100
- 转换成原码:10000000 00000000 00000000 00001011+1 = 10000000 00000000 00000000 00001100 = -12。
4️⃣ 左移负数位:
那么,3<<(-2)又是多少呢?😢 放过我吧!💢💢💢
#include<stdio.h>int main(void)
{printf("%d", 32<< (-1));return 0;
}
- 可能有朋友就要类比了,加上-1就是减去1,那么左移-1位是不是右移一位呢?让我们继续往下看:
- 咦,怎么有条波浪线?这是什么?输出怎么会是0?按道理来说r如果是右移那么结果是31/2=16啊!!!
为什么会有警告?难道我想错了?
- 让我们寻着警告去看看到底问题出在哪儿了!
警告1 (点我👈)
警告2(点我👈)
😄看来左移负数位是未定义的行为啊,所以我们最好不要这样写,可能会带来不必要的麻烦,如果想要右移的话就乖乖使用右移操作。
5️⃣左移时溢出!
✨(非溢出)移位可以分为逻辑移位和算术移位。
- 无符号整数:逻辑移位,左、右添0;
- 有符号整数:算术移位,符号位不变,分正负;
✨溢出可以分为位溢出和值溢出(此为博主自己分的,可能不合理,但博主自己觉得合理),而我们又知道,整数分为无符号整数和有符号整数。所以通过组合我们大概了解到,此处的溢出一共有4种情况。
(1)位溢出(移位/mod的角度):
✨对于位溢出来说,我们在上面已经讨论过了,int 类型一共32位,移位大于等于32位或小于0位即为位溢出。
注:在不同的编程语言中,对于超出操作数位数的移位操作,可能会有不同的行为。一些语言会将超出的位数进行取模操作
,即将移位的位数先对操作数的位数取模,然后再进行相应的位移
,比如C语言❗️❗️❗️
(2) 值溢出(值的角度):
✨当变量的值超过了其所能表达的值的范围时,产生值溢出。但溢出的值并不会消失,而是以另一种形式存在着。
下面我们举例来说明:
❤️有符号整数:
#include<stdio.h>int main(void)
{int a = 9;printf("%d\n", a << 31);printf("%d\n", a << 32);//等价于a<<0;printf("%d", a<<33);//等价于a<<1;return 0;
}
执行结果如下:
如上面的代码所示,a原本是9,其二进制表达为:00000000 00000000 00000000 00001001,现在对其进行左移操作:
1️⃣左移31位:(31<32)未溢出
- 1.从移位的角度来看:
- 第一步,左移31位:10000000 00000000 00000000 00000000(负)
- 第二步,再求出其原码:01111111 11111111 11111111 1111111+1=10000000 00000000 00000000 00000000(先记下符号位,然后各位取反,末位加一,再回归符号位)
- 第三步,可以看出这是最小的数:也即-2^31=-2147483648
- 2.从值的角度来看:
因为9<<31=9 * (2 ^ 31) ,下面我们结合下图来看👇
注:0 和 -2 ^ 31 相对
☝️如上图所示,对于int 类型(有符号整数)的x来说,其范围为:-2 ^ 31 ~ 2 ^ 31-1
,当x=2 ^ 31 -1
时,x+1
将会变为-2 ^ 31
,从而我们可以看出越界的本质就是转圈圈。此处1圈是2 ^ 32个数
,半圈是2 ^ 31 个数
。所以9<<31=9* (2 ^ 31)=4.5* 2 ^ 32=4.5圈,去除整圈,得到0.5圈,从而结果是-2 ^ 31。怎么样,是不是很神奇?
👏当然,也可以通过取模来理解(其实补码的本质就是模运算),将原值与2 ^ 32
取模(因为1圈是2 ^ 32
个数),得到2 ^ 31
, 但有符号整数上界为2 ^ 31-1
,再加一个数将会过渡到最小数 - (2 ^ 31)
.(此处是有向增加的)
2️⃣左移32位:
- 1.从移位的角度来看:
- 第一步,左移32位:00000000 00000000 00000000 00000000(正)
- 第二步,求出其原码:11111111 11111111 11111111 11111111+1=00000000 00000000 00000000 00000000❗️咦❓怎么是0啊❓上面的结果明明是9啊❗️怎么回事❓
👉这就要考虑到位溢出
了!我们上面说过了,C语言会将超出的位数进行取模操作,即将移位的位数对操作数的位数取模,然后进行相应的位移。因为如果直接移位的话,当移位长度大于31时必定是0;因为32>=32,所以32=0(mod(32)),从而原式的值等于00000000 00000000 00000000 00001001左移0位,也就是9本身。
mod可以理解为%运算;
- 2.从值的角度来看:
✨对于上面的9<<32,我们不能仅仅通过表面的移位去观察,而更应该计算一番。
👉因为9<<32=9*(2^32) ,所以原式就等于9圈,刚好是0。😄
3️⃣左移33位与左移32位类似,先对32取模再进行移位。此处不再赘述。
❤️无符号整数:
如上图,☝️
- 无符号整数
unsigned int
范围为0~(2 ^ 32)-1
,总共也是2 ^ 32
个数,但都是非负数
。
(2 ^ 32 -1) +1 = 0
,即结果要对2 ^ 32
取模。
#include<stdio.h>int main(void)
{int a = 9;unsigned int b = a ;printf("%d\n", a << 31);printf("%u\n", b<<31);printf("%d\n", a << 32);printf("%u\n", b << 32); return 0;
}
执行结果如下:
注:无符号十进制整数用%u输出;
计算方法根据上图转圈圈就好,此处不再赘述。
二、拓展应用:
1. 取模和位运算的转换:
✨x mod (2 ^ y) = x &((1<<y)-1)
即取x二进制表达后y位。(对于位与的操作可以参考前面的博文)
2. 生成标记码:
✨现将1<<k
作为第k
个标记位的标记码。(此处取从0开始)
(1. 标记位置1:
✨对于二进制数x,将它的第k位置为1
.(从低位开始计位,即从右往左)
置1—>位或:x|(1<<k)
(2. 标记位置0:
✨对于二进制数x,将它的第k位置为0
.(从低位开始计位,即从右往左)
置0—>位与:x&(1<<k) ,哦,不不不,不是这样的,应该是x&(~(1<<k))
(3. 标记位取反:
✨对于二进制数x,将它的第k位取反
.(从低位开始计位,即从右往左)
取反—>异或:x^(1<<k)
3. 生成掩码:
✨我们可以通过左移来生成一个掩码,从而实现对一个数二进制表达的末k位执行一些操作。
1<<k
表示100…00(1加上k个0)(1<<k)-1
表示011111(0加上k个1)
从而可以进行以下操作:
🌟将末k位变为1:x|((1<<k)-1)
🌟将末k位变为0:x&(1<<k)
或 x&(~((1<<k)-1))
🌟将末k位都取反:x^((1<<k)-1)
😵好了,今天的讲解就到这里了,相信你也是收获满满吧!
这真的我是肝的最久的一篇文章了,没有之一,从早上肝到了晚上,,,😭😭😭
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