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【位运算进阶之----左移(<<)】

今天我们来谈谈左移这件事。

❤️简单来说,对一个数左移就是在其的二进制表达末尾添0。左移一位添一个0,结果就是乘以2;左移两位添两个0,结果就乘以2 ^ 2左移n位添n个0,结果就是乘以2 ^ n,小心溢出😄!

下面就让我们来详细看看吧!
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文章目录

  • 一、基础知识:
    • :one: 左移的二进制表示:
    • :two: 左移的执行结果:
    • :three: 对负数左移:
    • :four: 左移负数位:
    • :five:左移时溢出!
      • (1)位溢出(移位/mod的角度):
      • (2) 值溢出(值的角度):
  • 二、拓展应用:
    • 1. 取模和位运算的转换:
    • 2. 生成标记码:
      • (1. 标记位置1:
      • (2. 标记位置0:
      • (3. 标记位取反:
    • 3. 生成掩码:


一、基础知识:

✨左移操作是一种位操作,用来将一个数的二进制表达的所有位向左移动指定的位数,并在右侧用0填充空位。

1️⃣ 左移的二进制表示:

✨x<<y 表示将x向左移动y位。(其中x和y都是整数
如:1001 << 2 ----> 100100


2️⃣ 左移的执行结果:

✨左移操作相当于将一个数乘以2的n次方。
x<<y <=> x * (2 ^ y)
如:

#include<stdio.h>int main(void)
{int x = 3, y = 2;printf("%d", x << y);//3*(2^2)return 0;
}

执行结果如下:
在这里插入图片描述
如上图可见,3<<2 = 3 * (2^2)= 3*4 = 12;

  • 可能聪明的你已经想到了左移的强大之处,即对1左移时,得到的都是2的幂,这是一个非常重要的知识点❗️
1左移n位2的幂
1<<122^1
1<<242^2
1<<382^3
1<<n2^n2^n
  • 上面我们讨论的左移都是对正整数来说的,那如果对负数呢?对负数左移会发生什么?左移负数位又是如何?阁下莫急,且听我慢慢道来……

3️⃣ 对负数左移:

如:-3<<2 是多少呢?相信你心中已经有答案了,请看下图!

#include<stdio.h>int main(void)
{int x = -3, y = 2;printf("%d", x << y);return 0;
}

执行结果如下:
在这里插入图片描述
✨(-x)<<y <=>-(x<<y) :即对负数左移y位等于对正数左移y位后再取负。

这其实也可以用补码来解释:

  • -(3<<2):
    • 3的补码:00000000 00000000 00000000 00000011
    • 3的补码左移两位:00000000 00000000 00000000 00001100=12 ,再取负得12。
  • -3<<2:
    • -3的补码:11111111 11111111 11111111 11111101
    • -3的补码左移两位:11111111 11111111 11111111 11110100
    • 转换成原码:10000000 00000000 00000000 00001011+1 = 10000000 00000000 00000000 00001100 = -12。

4️⃣ 左移负数位:

那么,3<<(-2)又是多少呢?😢 放过我吧!💢💢💢

#include<stdio.h>int main(void)
{printf("%d", 32<< (-1));return 0;
}
  • 可能有朋友就要类比了,加上-1就是减去1,那么左移-1位是不是右移一位呢?让我们继续往下看:

在这里插入图片描述

  • 咦,怎么有条波浪线?这是什么?输出怎么会是0?按道理来说r如果是右移那么结果是31/2=16啊!!!

在这里插入图片描述
为什么会有警告?难道我想错了?在这里插入图片描述

  • 让我们寻着警告去看看到底问题出在哪儿了!

警告1 (点我👈)
在这里插入图片描述

警告2(点我👈)
在这里插入图片描述
😄看来左移负数位是未定义的行为啊,所以我们最好不要这样写,可能会带来不必要的麻烦,如果想要右移的话就乖乖使用右移操作。


5️⃣左移时溢出!

✨(非溢出)移位可以分为逻辑移位和算术移位。

  • 无符号整数:逻辑移位,左、右添0;
  • 有符号整数:算术移位,符号位不变,分正负;

✨溢出可以分为位溢出和值溢出(此为博主自己分的,可能不合理,但博主自己觉得合理),而我们又知道,整数分为无符号整数和有符号整数。所以通过组合我们大概了解到,此处的溢出一共有4种情况。

(1)位溢出(移位/mod的角度):

✨对于位溢出来说,我们在上面已经讨论过了,int 类型一共32位,移位大于等于32位或小于0位即为位溢出。

注:在不同的编程语言中,对于超出操作数位数的移位操作,可能会有不同的行为。一些语言会将超出的位数进行取模操作即将移位的位数先对操作数的位数取模,然后再进行相应的位移,比如C语言❗️❗️❗️

(2) 值溢出(值的角度):

✨当变量的值超过了其所能表达的值的范围时,产生值溢出。但溢出的值并不会消失,而是以另一种形式存在着。

下面我们举例来说明:

❤️有符号整数:

#include<stdio.h>int main(void)
{int a = 9;printf("%d\n", a << 31);printf("%d\n", a << 32);//等价于a<<0;printf("%d", a<<33);//等价于a<<1;return 0;
}

执行结果如下:
在这里插入图片描述
如上面的代码所示,a原本是9,其二进制表达为:00000000 00000000 00000000 00001001,现在对其进行左移操作

1️⃣左移31位:(31<32)未溢出

  • 1.从移位的角度来看
    • 第一步,左移31位:10000000 00000000 00000000 00000000(负)
    • 第二步,再求出其原码:01111111 11111111 11111111 1111111+1=10000000 00000000 00000000 00000000(先记下符号位,然后各位取反,末位加一,再回归符号位)
    • 第三步,可以看出这是最小的数:也即-2^31=-2147483648
  • 2.从值的角度来看:
    因为9<<31=9 * (2 ^ 31) ,下面我们结合下图来看👇
    在这里插入图片描述

注:0 和 -2 ^ 31 相对

☝️如上图所示,对于int 类型(有符号整数)的x来说,其范围为:-2 ^ 31 ~ 2 ^ 31-1,当x=2 ^ 31 -1时,x+1将会变为-2 ^ 31,从而我们可以看出越界的本质就是转圈圈。此处1圈是2 ^ 32个数半圈是2 ^ 31 个数。所以9<<31=9* (2 ^ 31)=4.5* 2 ^ 32=4.5圈,去除整圈,得到0.5圈,从而结果是-2 ^ 31。怎么样,是不是很神奇?
👏当然,也可以通过取模来理解(其实补码的本质就是模运算),将原值与2 ^ 32 取模(因为1圈是2 ^ 32个数),得到2 ^ 31, 但有符号整数上界为2 ^ 31-1,再加一个数将会过渡到最小数 - (2 ^ 31).(此处是有向增加的)

2️⃣左移32位:

  • 1.从移位的角度来看
    • 第一步,左移32位:00000000 00000000 00000000 00000000(正)
    • 第二步,求出其原码:11111111 11111111 11111111 11111111+1=00000000 00000000 00000000 00000000❗️咦❓怎么是0啊❓上面的结果明明是9啊❗️怎么回事❓
      在这里插入图片描述

👉这就要考虑到位溢出了!我们上面说过了,C语言会将超出的位数进行取模操作,即将移位的位数对操作数的位数取模,然后进行相应的位移。因为如果直接移位的话,当移位长度大于31时必定是0;因为32>=32,所以32=0(mod(32)),从而原式的值等于00000000 00000000 00000000 00001001左移0位,也就是9本身。

mod可以理解为%运算;

  • 2.从值的角度来看

✨对于上面的9<<32,我们不能仅仅通过表面的移位去观察,而更应该计算一番。
👉因为9<<32=9*(2^32) ,所以原式就等于9圈,刚好是0。😄

3️⃣左移33位与左移32位类似,先对32取模再进行移位。此处不再赘述。


❤️无符号整数:

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如上图,☝️

  • 无符号整数unsigned int 范围为 0~(2 ^ 32)-1,总共也是2 ^ 32个数,但都是非负数

(2 ^ 32 -1) +1 = 0 ,即结果要对2 ^ 32取模。

#include<stdio.h>int main(void)
{int a = 9;unsigned int b = a ;printf("%d\n", a << 31);printf("%u\n", b<<31);printf("%d\n", a << 32);printf("%u\n", b << 32);	return 0;
}

执行结果如下:
在这里插入图片描述

注:无符号十进制整数用%u输出;
计算方法根据上图转圈圈就好,此处不再赘述。


二、拓展应用:

1. 取模和位运算的转换:

x mod (2 ^ y) = x &((1<<y)-1) 即取x二进制表达后y位。(对于位与的操作可以参考前面的博文)

2. 生成标记码:

✨现将1<<k作为第k个标记位的标记码。(此处取从0开始)

(1. 标记位置1:

对于二进制数x,将它的第k位置为1.(从低位开始计位,即从右往左)

置1—>位或:x|(1<<k)

(2. 标记位置0:

对于二进制数x,将它的第k位置为0.(从低位开始计位,即从右往左)

置0—>位与:x&(1<<k) ,哦,不不不,不是这样的,应该是x&(~(1<<k))

(3. 标记位取反:

对于二进制数x,将它的第k位取反.(从低位开始计位,即从右往左)
取反—>异或:x^(1<<k)

3. 生成掩码:

✨我们可以通过左移来生成一个掩码,从而实现对一个数二进制表达的末k位执行一些操作。

  • 1<<k表示100…00(1加上k个0)
  • (1<<k)-1表示011111(0加上k个1)

从而可以进行以下操作:
🌟将末k位变为1:x|((1<<k)-1)
🌟将末k位变为0:x&(1<<k) x&(~((1<<k)-1))
🌟将末k位都取反:x^((1<<k)-1)


😵好了,今天的讲解就到这里了,相信你也是收获满满吧!

这真的我是肝的最久的一篇文章了,没有之一,从早上肝到了晚上,,,😭😭😭


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