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【数据结构】AVL树的插入与验证

文章目录

  • 一、基本概念
    • 1.发展背景
    • 2.性质
  • 二、实现原理
    • ①插入操作
      • 1.平衡因子
        • 1.1平衡因子的更新
          • 1.1.1树的高度变化
          • 1.1.2树的高度不变
      • 2. 旋转
        • 2.1左旋
        • 2.2右旋
        • 2.3右左双旋
        • 2.4 左右双旋
    • ②验证
      • 1.求二叉树高度
      • 2. 判断是否为AVL树
  • 源码
  • 总结

一、基本概念

1.发展背景

  • 普通的二叉搜索树在极端情况下会退化成类似链表的形状,从而使查找的效率降低至O(N)

  • 在此基础上,苏联与以色列数学家Adelson-Velskii 与 苏联数学家Landis,发明出了 AVL树或者说平衡二叉搜索树。

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

注:第一张——Adelson-Velskii(1922-2014) ,第二张——Landis(1921——1997)

2.性质

  • 左右子树的高度差的绝对值不大于1
  • 每个子树都是AVL树。

说明:这样做的目的就是为了严格控制平衡,以便于提高查找效率,但是控制高度差一直为0是不可能的,至于为什么不能控制成0,假设只有两个结点必然存在1的高度差。

二、实现原理

①插入操作

1.平衡因子

英文名:balance factor

  • 目的:保证左右子树的高度差的绝对值不大于1
  • 大多数的实现方式:存放的是右子树与左子树的高度差

1.1平衡因子的更新

1.1.1树的高度变化

① 左边新增结点
在这里插入图片描述

② 右边新增结点

在这里插入图片描述

  • 总结
  1. 左边新增,根节点的平衡因子减1
  2. 右边新增,根节点的平衡因子加1
  3. 平衡因子从0变为1或者-1

继续分析:
 两种情况树的高度增加1,也就是平衡因子从0变为1或者-1,既然高度变化了,可能会导致上面的树不平衡。
如:
在这里插入图片描述

此时我们需要向上更新平衡因子,再根据右边高度变化与左边高度变化,决定根的平衡因子加1还是减1。

  • 推论:由于可能会向上更新平衡因子,那么AVL树是三叉链的结构。

如图:
在这里插入图片描述

1.1.2树的高度不变

① 左边新增结点

在这里插入图片描述
② 右边新增结点

在这里插入图片描述

  • 同理
  1. 左边新增,根节点的平衡因子减1
  2. 右边新增,根节点的平衡因子加1
  3. 平衡因子由1或者-1变为0

继续分析,这里的根节点的所在树的高度即——左右子树高度的最大值 + 1(根节点的高度)

左右子树的高度的最大值不变,即这颗树高度不变,即不用往上继续更新且达到平衡。

2. 旋转

  • 说明:旋转就是让不平衡的树再次平衡的手段

  • 条件:平衡因子为2或者-2,即高度差的绝对值为2。

  • 补充:若平衡因子大于等于3,说明当前树就不是AVL树,需要检验之前的代码。

但是我们又得对情况进行分类讨论,因为不同情况让树再次平衡的旋转方式不同。

2.1左旋

  • 说明:也就是右边高度高,需要旋转来降低右边的高度,进而达到平衡。

一步一步分析,先来个最简单的:

在这里插入图片描述
此时,旋转过后平衡因子全变为0,且当前树达到平衡。注意此时3结点的左结点为空!(细节)

再举一个例子:

在这里插入图片描述

此时,旋转过后平衡因子1和3的平衡因子变为0,且当前树达到平衡,此时我们是不用管其它子树的,因为子树必然是AVL树,要不然更不到根节点就停止了

最后来一个稍微复杂的例子:
在这里插入图片描述
此时,旋转过后平衡因子-5和0的平衡因子变为0,且当前树达到平衡。

这是具体的图便于辅助理解,然后我们再画出所有情况的抽象图:
在这里插入图片描述

  • 总结
  1. 只能在c部分上插入结点才可能会引发根节点左单旋,也就是说parent的右边为cur且新增结点在cur的右边
  2. 旋转过后cur与parent的平衡因子变为0
  • 细节
  1. b的父节点连接parent时,需要判断b部分是否为空。
  2. parent的父节点连接cur时,需要保存一下parent的父节点。
  3. 根据parent的父节点判断是否需要修改根节点,若为空则修改,若不为空,则将cur链接到parent的父节点,同时更新parent父节点的指向。
  • 实现代码
	void RotateL(Node* parent){//画图分析://操作的结点有cur,cur_left,ppnodeNode* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//将parent的右节点改为cur_leftparent->_right = cur_left;//改变cur_left父节点的转向//cur_left可能为空if (cur_left != nullptr){cur_left->_parent = parent;}//将parent链接在cur的左边//为了更新cur的parent需要保存parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_left = parent;parent->_parent = cur;//ppnode可能为空if (ppnode == nullptr){//需要修改根节点_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{//改变ppnode的指向if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}

2.2右旋

说明:也就是左边高度高,需要旋转来降低右边的高度,进而达到平衡。

跟左旋的分析方式一样。

先来个简单的感受一下:

在这里插入图片描述

此时,旋转过后平衡因子parent和cur的平衡因子变为0,且当前树达到平衡。

再举一个例子:
在这里插入图片描述
最后来一个稍微复杂的例子:
在这里插入图片描述

画出所有情况的抽象图:

在这里插入图片描述

  • 总结
  1. 只能在a部分上插入结点才可能会引发根节点右单旋,也就是说parent与cur与高度变化的c树的根节点在同一个方向且在parent的左
  2. 旋转过后cur与parent的平衡因子变为0

  • 细节——同左旋
  1. b的父节点连接parent时,需要判断b部分是否为空。
  2. parent的父节点连接cur时,需要保存一下parent的父节点。
  3. 根据parent的父节点判断是否需要修改根节点,若为空则修改,若不为空,则将cur链接到parent的父节点,同时更新parent父节点的指向。
  • 实现代码:
		void RotateR(Node* parent){//操作的结点Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;//第一步:将cur_right链接到parent的leftparent->_left = cur_right;//更改cur_right的父节点//注意:cur_right可能为空if (cur_right != nullptr){cur_right->_parent = parent;}//第二步:将parent链接到cur的右结点。//先保存一下parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_right = parent;parent->_parent = cur;//ppnode为空说明需要修改根节点if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}

2.3右左双旋

  • 可以简单理解为,需要进行处理的左旋。

说明:单旋无法解决问题,原因是发生了拐弯,需要用右旋讲折线变为直线,再进行左旋

因为情况有点多我们就来个简单的,直接化抽象图,看结论比较容易理解。

先来个简单的:
在这里插入图片描述
先右旋之后折线变成了直线,变成了左旋的形状,再进行左旋,最后的cur与cur_left与parent的平衡因子变成了0,最终cur_left变成了根节点。

再化抽象图:

初始状态
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
还是一样,不过得分两种情况进行讨论:

  1. 新增结点在c树上,会导致parent的平衡因子变为-1,cur的平衡因子变为0。
  2. 新增结点在b树上,会导致parent的平衡因子变为0,cur的平衡因子变为1
  3. 不管新增结点在谁上,cur_left的平衡因子都为0。
  • 看图分析,其实不看新增结点在谁身上,两种最终的旋转的结果是一样的,那我们其实只需先不看新增结点再画图,根据最终的结果再把新增结点添上,其实会更加直观。

  • 总结

  1. 新增结点在c树上,会导致parent的平衡因子变为-1,cur的平衡因子变为0。
  2. 新增结点在b树上,会导致parent的平衡因子变为0,cur的平衡因子变为1。
  3. cur_left为新增结点,parent与cur的结点全为0。
  • 实现代码:
	void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//CL——CurLeftint CL_bf = cur_left->_bf;RotateR(cur);RotateL(parent);//更新平衡因子if (CL_bf == 0){cur->_bf = parent->_bf = cur_left->_bf = 0;//虽然没必要,但是起到了解耦的作用。}else if (CL_bf == 1){parent->_bf = -1;cur->_bf = cur_left->_bf = 0;}else if(CL_bf == -1){cur->_bf = 1;parent->_bf = cur_left->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}}

2.4 左右双旋

  • 可以理解为,需要进行处理的右旋。

说明:单旋无法解决问题,原因是发生了拐弯,需要用左旋讲折线变为直线,再进行右旋。

分析方法跟右左双旋一样。

先来个简单的:

在这里插入图片描述
先左旋之后折线变成了直线,变成了右旋的形状,再进行右旋,最后的cur与cur_left与parent的平衡因子变成了0,最终cur_left变成了根节点。

再来个抽象的:
在这里插入图片描述
还是一样,不过得分两种情况进行讨论:

  1. 新增结点在c树上,会导致cur的平衡因子变为-1,parent的平衡因子变为0。
  2. 新增结点在b树上,会导致cur的平衡因子变为0,parent的平衡因子变为1
  3. 不管新增结点在谁上,cur_right的平衡因子都为0。

  • 总结
  1. cur_right平衡因子为1,说明新增结点在b树上,会导致cur的平衡因子变为0,parent的平衡因子变为1。
  2. cur_right的平衡因子为-1,新增结点在c树上,会导致cur的平衡因子变为-1,parent的平衡因子变为0。
  3. cur_right的平衡因子为0,cur与parent的平衡因子都变为0。
  4. 不管新增结点在谁上,cur_right的平衡因子都为0。
  • 代码实现
		void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;int CR_bf = cur_right->_bf;RotateL(cur);RotateR(parent);if (CR_bf == 0){parent->_bf = cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if(CR_bf == 1){cur->_bf = -1;parent->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if (CR_bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}} 

②验证

说明:

  1. 根据定义验证每颗子树的高度差
  2. 需要判断当前的右子树的高度差是否等于平衡因子

直接根据平衡因子进行判断,有点监守自盗的感觉,你能保证自己更新的平衡因子就是正确的么?我都不敢保证。

1.求二叉树高度

  • 后序遍历
	size_t Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int LHeight = Height(root->_left);int RHeight = Height(root->_right);return max(LHeight, RHeight) + 1;}

2. 判断是否为AVL树

	bool _IsAVLTree(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int RHeight = Height(root->_right);int LHeight = Height(root->_left);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){return false;}return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);}

优化一下:

	bool IsAVLTree(){bool is_AVL = true;_IsAVLTree(_root, is_AVL);return is_AVL;}int _IsAVLTree(Node* root,bool& is_AVL){if (root == nullptr){return 0;}int RHeight = _IsAVLTree(root->_right, is_AVL);int LHeight = _IsAVLTree(root->_left, is_AVL);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){is_AVL = false;}return max(RHeight, LHeight) + 1;}

源码

#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
namespace MY_STL
{template<class Key,class Val>struct  AVLTreeNode{typedef AVLTreeNode<Key, Val> Node;AVLTreeNode(const pair<Key,Val>& key = pair<Key,Val>()):_key(key.first),_val(key.second),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}Key _key;Val _val;//三叉链的结构Node* _left;Node* _right;Node* _parent;int _bf;};template<class Key, class Val>class AVLTree{typedef AVLTreeNode<Key, Val> Node;public:AVLTree(){}bool insert(const pair<Key,Val>& val){//第一步:插入操作//如果根节点为空if (_root == nullptr){_root = new Node(val);return true;}else{Node* cur = _root,*parent = _root;while (cur){if (cur->_key > val.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if(cur->_key < val.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(val);if (parent->_key > val.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}//更新新增结点的_parentcur->_parent = parent;//第二步:更新平衡因子//平衡因子://1. 定义为右子树的高度减去左子树的高度//2. 合法范围为{-1,0,1}//3. 新增结点在左,父节点的平衡因子减1//4. 新增结点在右,父节点的平衡因子加1//5. 当父节点的平衡因子变为0——由-1变0或者1变0时,此时AVL树的高度不变//6. 当父节点的平衡因子变为1或者-1,AVL子树的高度变化,继续向上变化。//7. 当父节点的平衡因子变为2或者-2时,此时需要旋转,进行平衡//8. 当父节点为根节点时,此时需要结束循环。while (cur != _root){//更新平衡因子if (parent->_left == cur){//左减1(parent->_bf)--;}else{//右加1(parent->_bf)++;}//判断平衡因子if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//对旋转进行分类讨论//if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//{//	//左单旋//	RotateL(parent);//}//else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf = -1)//{//	//右单旋//	RotateR(parent);//}//else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//{//	RotateRL(parent);//}//else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//{//	RotateLR(parent);//}if (parent->_bf == 2){//左单旋if (cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else{RotateRL(parent);}}else{//右单旋if (cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else{RotateLR(parent);}}//旋转完成,树达到平衡break;}}return true;}}//根据定义进行判断bool IsAVLTree(){bool is_AVL = true;_IsAVLTree(_root, is_AVL);return is_AVL;//return _IsAVLTree(_root);}void Print(){_InOrder(_root);cout << endl;}//根据平衡因子进行判断//bool IsAVLTree()//{//	return _IsAVLTree(_root);//}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}//bool _IsAVLTree(Node* root)//{//	if (root == nullptr)//		return true;//	if (root->_bf >= 2 || root->_bf <= -2)//	{//		return false;//	}//	else//	{//		return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);//	}//}//bool IsAVLTree()//{//	bool is_AVL = true;//	_IsAVLTree(_root, is_AVL);//	return is_AVL;//}size_t Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int LHeight = Height(root->_left);int RHeight = Height(root->_right);return max(LHeight, RHeight) + 1;}int _IsAVLTree(Node* root,bool& is_AVL){if (root == nullptr){return 0;}int RHeight = _IsAVLTree(root->_right, is_AVL);int LHeight = _IsAVLTree(root->_left, is_AVL);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){is_AVL = false;}return max(RHeight, LHeight) + 1;}bool _IsAVLTree(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int RHeight = Height(root->_right);int LHeight = Height(root->_left);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){return false;}return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);}void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;int CR_bf = cur_right->_bf;RotateL(cur);RotateR(parent);if (CR_bf == 0){parent->_bf = cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if(CR_bf == 1){cur->_bf = -1;parent->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if (CR_bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}}void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//CL——CurLeftint CL_bf = cur_left->_bf;RotateR(cur);RotateL(parent);if (CL_bf == 0){cur->_bf = parent->_bf = cur_left->_bf = 0;}else if (CL_bf == 1){parent->_bf = -1;cur->_bf = cur_left->_bf = 0;}else if(CL_bf == -1){cur->_bf = 1;parent->_bf = cur_left->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}}void RotateL(Node* parent){//画图分析://操作的结点有cur,cur_left,ppnodeNode* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//将parent的右节点改为cur_leftparent->_right = cur_left;//改变cur_left父节点的转向//cur_left可能为空if (cur_left != nullptr){cur_left->_parent = parent;}//将parent链接在cur的左边//为了更新cur的parent需要保存parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_left = parent;parent->_parent = cur;//ppnode可能为空if (ppnode == nullptr){//需要修改根节点_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{//改变ppnode的指向if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){//操作的结点Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;//第一步:将cur_right链接到parent的leftparent->_left = cur_right;//更改cur_right的父节点//注意:cur_right可能为空if (cur_right != nullptr){cur_right->_parent = parent;}//第二步:将parent链接到cur的右结点。//先保存一下parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_right = parent;parent->_parent = cur;//ppnode为空说明需要修改根节点if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}Node* _root = nullptr;};
};

总结

 AVL树还有删除操作,等博主有空再补充,对于AVL树一般来说只需要弄懂一种单旋,一种双旋,再加一些细写处理,代码是不难的,难就难在了分类讨论+画图上今天的分享就到这里了,如果感觉有所帮助,不妨点个赞鼓励一下吧!

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Playwright 简介:声明内容来自网络&#xff0c;将内容拼接整理出来的文档 Playwright 是微软开发的自动化测试工具&#xff0c;支持 Chrome、Firefox、Safari 等主流浏览器&#xff0c;提供多语言 API&#xff08;Python、JavaScript、Java、.NET&#xff09;。它的特点包括&a…...

Vue2 第一节_Vue2上手_插值表达式{{}}_访问数据和修改数据_Vue开发者工具

文章目录 1.Vue2上手-如何创建一个Vue实例,进行初始化渲染2. 插值表达式{{}}3. 访问数据和修改数据4. vue响应式5. Vue开发者工具--方便调试 1.Vue2上手-如何创建一个Vue实例,进行初始化渲染 准备容器引包创建Vue实例 new Vue()指定配置项 ->渲染数据 准备一个容器,例如: …...

【python异步多线程】异步多线程爬虫代码示例

claude生成的python多线程、异步代码示例&#xff0c;模拟20个网页的爬取&#xff0c;每个网页假设要0.5-2秒完成。 代码 Python多线程爬虫教程 核心概念 多线程&#xff1a;允许程序同时执行多个任务&#xff0c;提高IO密集型任务&#xff08;如网络请求&#xff09;的效率…...

Java入门学习详细版(一)

大家好&#xff0c;Java 学习是一个系统学习的过程&#xff0c;核心原则就是“理论 实践 坚持”&#xff0c;并且需循序渐进&#xff0c;不可过于着急&#xff0c;本篇文章推出的这份详细入门学习资料将带大家从零基础开始&#xff0c;逐步掌握 Java 的核心概念和编程技能。 …...

Go 语言并发编程基础:无缓冲与有缓冲通道

在上一章节中&#xff0c;我们了解了 Channel 的基本用法。本章将重点分析 Go 中通道的两种类型 —— 无缓冲通道与有缓冲通道&#xff0c;它们在并发编程中各具特点和应用场景。 一、通道的基本分类 类型定义形式特点无缓冲通道make(chan T)发送和接收都必须准备好&#xff0…...

Rust 开发环境搭建

环境搭建 1、开发工具RustRover 或者vs code 2、Cygwin64 安装 https://cygwin.com/install.html 在工具终端执行&#xff1a; rustup toolchain install stable-x86_64-pc-windows-gnu rustup default stable-x86_64-pc-windows-gnu ​ 2、Hello World fn main() { println…...

LangFlow技术架构分析

&#x1f527; LangFlow 的可视化技术栈 前端节点编辑器 底层框架&#xff1a;基于 &#xff08;一个现代化的 React 节点绘图库&#xff09; 功能&#xff1a; 拖拽式构建 LangGraph 状态机 实时连线定义节点依赖关系 可视化调试循环和分支逻辑 与 LangGraph 的深…...