【考研数学】概率论与数理统计 —— 第三章 | 二维随机变量及其分布(2,常见的二维随机变量及二维变量的条件分布和独立性)
文章目录
- 引言
- 四、常见的二维随机变量
- 4.1 二维均匀分布
- 4.2 二维正态分布
- 五、二维随机变量的条件分布
- 5.1 二维离散型随机变量的条件分布律
- 5.2 二维连续型随机变量的条件分布
- 六、随机变量的独立性
- 6.1 基本概念
- 6.2 随机变量独立的等价条件
- 写在最后
引言
有了上文关于二维随机变量的基本概念与性质后,我们可以往后继续学习更加深入的内容。
四、常见的二维随机变量
4.1 二维均匀分布
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量, D D D 为 x O y xOy xOy 平面的有限区域,其面积为 A A A ,若 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合密度函数为 f ( x , y ) = { 1 A , ( x , y ) ∈ D 0 , ( x , y ) ∉ D , f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{A} ,&(x,y)\in D \\ 0,&(x,y) \notin D \end{cases}, f(x,y)={A1,0,(x,y)∈D(x,y)∈/D, 称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为区域 D D D 上的服从均匀分布。
可以回想一下一维的均匀分布,它是长度的倒数。
4.2 二维正态分布
这个我就不手敲了,太长啦,根本记不住。
其中, ρ \rho ρ 为两个随机变量的相关系数。
若 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 2 , σ 2 2 ; ρ ) (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho) (X,Y)∼N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ) ,则 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) . X \sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y \sim N(\mu_2,\sigma_2^2). X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22). 当 a 2 + b 2 ≠ 0 a^2+b^2 \ne 0 a2+b2=0 时,有 a X + b Y aX+bY aX+bY 服从一维正态分布。随机变量 X X X 和 Y Y Y 独立的充要条件是两个变量不相关,即 ρ ≠ 0 \rho \ne 0 ρ=0 。
五、二维随机变量的条件分布
5.1 二维离散型随机变量的条件分布律
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维离散型随机变量,其联合分布律为 P { X = x i , Y = y j } = p i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n ) . P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n). P{X=xi,Y=yj}=pij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n). (1)对某个固定的 i i i ,若 P { X = x i } > 0 P\{X=x_i\}>0 P{X=xi}>0 ,则称 P { Y = y j ∣ X = x i } = P { X = x i , Y = y j } P { X = x i } = p i j p i ⋅ ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) P\{Y=y_j | X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}(j=1,2,\cdots,n) P{Y=yj∣X=xi}=P{X=xi}P{X=xi,Y=yj}=pi⋅pij(j=1,2,⋯,n) 为在 X = x i X=x_i X=xi 条件下随机变量 Y Y Y 的条件分布律。
(2)对某个固定的 j j j ,若 P { Y = y j } > 0 P\{Y=y_j\}>0 P{Y=yj}>0 ,则称 P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } = p i j p ⋅ j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ) P\{X=x_i | Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}(i=1,2,\cdots,m) P{X=xi∣Y=yj}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj}=p⋅jpij(i=1,2,⋯,m) 为在 Y = y i Y=y_i Y=yi 条件下随机变量 X X X 的条件分布律。
5.2 二维连续型随机变量的条件分布
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维连续型随机变量,联合密度函数为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ,变量 X , Y X,Y X,Y 的边缘密度函数分别为 f X ( x ) , f Y ( y ) . f_X(x),f_Y(y). fX(x),fY(y).
对固定的 X = x X=x X=x ,若 f X ( x ) > 0 f_X(x)>0 fX(x)>0 ,称 P { Y ≤ y ∣ X = x } = ∫ − ∞ y f ( x , y ) f X ( x ) d y P\{Y\leq y | X=x\}=\int_{-\infty}^y\frac{f(x,y)}{f_X(x)}dy P{Y≤y∣X=x}=∫−∞yfX(x)f(x,y)dy 为在 X = x X=x X=x 条件下 Y Y Y 的条件分布函数, f ( x , y ) f X ( x ) \frac{f(x,y)}{f_X(x)} fX(x)f(x,y) 为条件密度函数。对于固定的 Y = y Y=y Y=y ,可同理得到类似结论。
我看老汤也没给证明,自己也没想明白为什么,就上网搜了下,发现是做了近似处理。
六、随机变量的独立性
6.1 基本概念
设 A , B A,B A,B 为两个随机事件,若 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) ,称事件 A , B A,B A,B 独立;设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量,令 { X ≤ x } = A , { Y ≤ y } = B \{X\leq x\}=A,\{Y\leq y\}=B {X≤x}=A,{Y≤y}=B ,则 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) 等价于 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } P { Y ≤ y } = F X ( x ) F Y ( y ) . F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\}=F_X(x)F_Y(y). F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}=FX(x)FY(y). 于是有如下定义:
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量, F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 为其联合分布函数, F X ( x ) , F Y ( y ) F_X(x),F_Y(y) FX(x),FY(y) 分别为 X , Y X,Y X,Y 的边缘分布函数,若 F ( x , y ) = F X ( x ) = F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)=F_Y(y) F(x,y)=FX(x)=FY(y) ,称变量 X , Y X,Y X,Y 相互独立。同理可扩展到 n n n 维。
6.2 随机变量独立的等价条件
设 ( X 1 , X 2 . ⋯ , X m ) (X_1,X_2.\cdots,X_m) (X1,X2.⋯,Xm) 与 ( Y 1 , Y 2 , ⋯ , Y n ) (Y_1,Y_2,\cdots,Y_n) (Y1,Y2,⋯,Yn) 相互独立,则由 ( X 1 , X 2 . ⋯ , X m ) (X_1,X_2.\cdots,X_m) (X1,X2.⋯,Xm) 构成的函数 φ ( X 1 , X 2 . ⋯ , X m ) \varphi(X_1,X_2.\cdots,X_m) φ(X1,X2.⋯,Xm) 与 ( Y 1 , Y 2 , ⋯ , Y n ) (Y_1,Y_2,\cdots,Y_n) (Y1,Y2,⋯,Yn) 构成的函数 φ ( Y 1 , Y 2 , ⋯ , Y n ) \varphi(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n) φ(Y1,Y2,⋯,Yn) 相互独立。
写在最后
其实如果一维的能掌握好一些,二维的可以类比来学,下一篇来说说二维随机变量的最后一个内容 —— 二维随机变量函数的分布。
相关文章:
【考研数学】概率论与数理统计 —— 第三章 | 二维随机变量及其分布(2,常见的二维随机变量及二维变量的条件分布和独立性)
文章目录 引言四、常见的二维随机变量4.1 二维均匀分布4.2 二维正态分布 五、二维随机变量的条件分布5.1 二维离散型随机变量的条件分布律5.2 二维连续型随机变量的条件分布 六、随机变量的独立性6.1 基本概念6.2 随机变量独立的等价条件 写在最后 引言 有了上文关于二维随机变…...
力扣 -- 10. 正则表达式匹配
解题步骤: 参考代码: class Solution { public:bool isMatch(string s, string p) {int ms.size();int np.size();//处理后续映射关系s s;//处理后续映射关系p p;vector<vector<bool>> dp(m1,vector<bool>(n1));//初始化dp[0][0]true…...
Spring源码分析(四) Aop全流程
一、Spring AOP基础概念 1、基础概念 连接点(Join point):能够被拦截的地方,Spring AOP 是基于动态代理的,所以是方法拦截的,每个成员方法都可以称之为连接点;切点(Poincut):每个方法都可以称之为连接点&…...
定义现代化实时数据仓库,SelectDB 全新产品形态全面发布
导读:9 月 25 日,2023 飞轮科技产品发布会在线上正式召开,本次产品发布会以 “新内核、新图景” 为主题,飞轮科技 CEO 马如悦全面解析了现代化数据仓库的演进趋势,宣布立足于多云之上的 SelectDB Cloud 云服务全面开放…...
Linux系统编程(七):线程同步
参考引用 UNIX 环境高级编程 (第3版)黑马程序员-Linux 系统编程 1. 同步概念 所谓同步,即同时起步、协调一致。不同的对象,对 “同步” 的理解方式略有不同 设备同步,是指在两个设备之间规定一个共同的时间参考数据库同步,是指让…...
Arcgis克里金插值报错:ERROR 999999: 执行函数时出错。 表名无效。 空间参考不存在。 ERROR 010429: GRID IO 中存在错误
ERROR 999999: 执行函数时出错。 问题描述 表名无效。 空间参考不存在。 ERROR 010429: GRID IO 中存在错误: WindowSetLyr: Window cell size does not match layer cell size. name: c:\users\lenovo\appdata\local\temp\arc2f89\t_t164, adepth: 32, type: 1, iomode: 6, …...
【网络协议】ARP协议
为什么网络需要同时借助MAC地址这种物理地址和IP地址这种逻辑地址进行通信? 尽管目前MAC地址可以通过逻辑的方式进行修改,但它最初是被设计为不可人为更改的硬件地址。虽然MAC地址也可以满足唯一性的要求,但由于它不可由管理员根据需求通过逻…...
安防视频/集中云存储平台EasyCVR(V3.3)部分通道显示离线该如何解决?
安防视频监控/视频集中存储/云存储/磁盘阵列EasyCVR平台可拓展性强、视频能力灵活、部署轻快,可支持的主流标准协议有国标GB28181、RTSP/Onvif、RTMP等,以及支持厂家私有协议与SDK接入,包括海康Ehome、海大宇等设备的SDK等。平台既具备传统安…...
软件测试经典面试题:如何进行支付功能的测试?
非现金支付时代,非现金支付已经成为了生活不可或缺的一部分,我们只需要一台手机便可走遍全国各地(前提是支付宝,微信有钱<00>),那么作为测试人员,支付测试也是非常重要的一环,那么下面我就…...
SolidWorks 入门笔记03:生成工程图和一键标注
默认情况下,SOLIDWORKS系统在工程图和零件或装配体三维模型之间提供全相关的功能,全相关意味着无论什么时候修改零件或装配体的三维模型,所有相关的工程视图将自动更新,以反映零件或装配体的形状和尺寸变化;反之&#…...
【Java】对象内存图多个对象同一内存地址
目录 学生类 单个对象内存图 多个对象指向同一个内存地址 学生类 Student.java如下: package com.面向对象;public class Student {String name;int age;public void work() {System.out.println("开始敲代码...");} }StudentDemo.java如下ÿ…...
Python 笔记05(装饰器的使用)
一 装饰器的使用 (property) property 是 Python 中用于创建属性的装饰器。它的作用是将一个类方法转换为类属性,从而可以像 访问属性一样访问该方法,而不需要使用函数调用的语法。使用 property 主要有以下好处: 封装性和隐藏实现细节&…...
记忆化搜索,901. 滑雪
901. 滑雪 - AcWing题库 给定一个 R 行 C 列的矩阵,表示一个矩形网格滑雪场。 矩阵中第 i行第 j 列的点表示滑雪场的第 i 行第 j列区域的高度。 一个人从滑雪场中的某个区域内出发,每次可以向上下左右任意一个方向滑动一个单位距离。 当然࿰…...
计算机网络:连接世界的纽带
计算机网络的基础概念 计算机网络是一组相互连接的计算机,它们通过通信链路和协议进行数据交换和资源共享。以下是一些关键概念: 1. 节点和主机 网络中的计算机设备称为节点,通常是主机或服务器。主机是普通用户或终端设备,而服…...
SpringMVC 学习(三)注解开发
4. 注解开发 4.1 环境搭建 (1) 新建 maven 模块 springmvc-03-annotation (2) 确认依赖 确认方法同 3(2),手动导入发布依赖见3(11) <!--资源过滤--> <build><resources><resource><directory>src/main/java</directory>&…...
0x84加密数据传输服务
为了在安全模式下实现一些诊断服务,在服务端和客户端应用程序之间添加了Security sub-layer。在客户端与服务端之间进行诊断服务数据传输有两种方法: 1、非安全模式下数据传输 应用程序使用诊断服务(diagnostic Services)和应用层服务原语(Applicati…...
Vue.js快速入门:构建现代Web应用
Vue Vue.js是一款流行的JavaScript框架,用于构建现代的、交互式的Web应用程序。它具有简单易学的特点,同时也非常强大,能够帮助开发者构建高效、可维护的前端应用。本篇博客将带你快速入门Vue.js,并演示如何构建一个简单的Vue应用…...
Scala第五章节
Scala第五章节 scala总目录 章节目标 掌握方法的格式和用法掌握函数的格式和用法掌握九九乘法表案例 1. 方法 1.1 概述 实际开发中, 我们需要编写大量的逻辑代码, 这就势必会涉及到重复的需求. 例如: 求10和20的最大值, 求11和22的最大值, 像这样的需求, 用来进行比较的逻…...
erlang练习题(三)
题目一 查询列表A是否为列表B的前缀 解答 isPrefix([], List2) -> io:format("A is prefix of B ~n");isPrefix([H1 | ListA], [H2 | ListB]) ->case H1 H2 oftrue -> isPrefix(ListA, ListB);false -> io:format("A is not prefix of B ~n&quo…...
What Is A DNS Amplification DDoS Attack?
什么是 DNS 放大攻击? 域名系统 (DNS) 是用于在网站的机器可读地址(例如 191.168.0.1:80)和人类可读名称(例如 radware.com)之间进行解析的目录在 DNS 放大攻击中,攻击者…...
jvm笔记
好处: 跨平台 内存管理机制,垃圾回收功能 数组下标越界检查 多态 名词解释: jvm java虚拟机,是java程序的运行环境 jre jvm基础类库 jdk jre编译工具 javase jdkide工具 javaee javase应用服务器 jvm的内存结构: 程序…...
WPF中的控件
内容控件:label、border Window控件 Label控件 Border控件 内容控件 Button控件 点击取消按钮关闭程序;点击登录按钮打开BorderWindow窗口。 TextBox控件 PasswordBox控件 TextBlock控件 加载窗口时显示TextBlock中的内容 RadioButton控件 CheckBox控件…...
Java下对象的序列化和反序列化(写出和读入)
代码如下: public class MyWork {public static void main(String[] args) throws IOException, ClassNotFoundException {//序列化File f new File("testFile/testObject.txt");ObjectOutputStream oos new ObjectOutputStream(new FileOutputStream(…...
基于springboot的洗衣店订单管理系统
目录 前言 一、技术栈 二、系统功能介绍 顾客信息管理 店家信息管理 店铺信息管理 洗衣信息管理 预约功能 洗衣信息 交流区 三、核心代码 1、登录模块 2、文件上传模块 3、代码封装 前言 随着信息互联网信息的飞速发展,无纸化作业变成了一种趋势&#x…...
Llama2部署踩坑
1、权重是.bin,但是报错找不到.safetensors 明明权重文件是.bin,但是却提示我缺少.safetensors。最后发现好像是 llama2-7b这个模型文件不行,必须要llama2-7b-chat这个模型才能读取的通,具体原因还暂不明确。...
Adams齿轮副
1.运动副 添加旋转副的时候,必须先物体后公共part(即此处的ground),最后再选择质心点 2.啮合点 啮合点marker的z轴必须是齿轮分度圆的切线方向 3.啮合点 两齿轮的旋转副,和啮合点,即cv marker ,必须属…...
Elasticsearch keyword 中的 ignore_above配置项
1. ignore_above 关于es mapping的keyword ignore_above配置项的解释如下: Do not index any string longer than this value. Defaults to 2147483647 so that all values would be accepted. 不会索引大于ignore_above配置值的数据,默认值2147483647字…...
RabbitMQ原理(一):基础知识
文章目录 1.初识MQ1.1.同步调用1.2.异步调用1.3.技术选型2.RabbitMQ2.1.安装2.2.收发消息2.2.1.交换机2.2.2.队列2.2.3.绑定关系2.2.4.发送消息2.3.数据隔离2.3.1.用户管理2.3.2.virtual host微服务一旦拆分,必然涉及到服务之间的相互调用,目前我们服务之间调用采用的都是基于…...
[Linux]Git
文章摘于GitHub博主geeeeeeeeek 文章目录 1.1 Git 简易指南创建新仓库工作流添加与提交推送改动 1.2 创建代码仓库git init用法讨论裸仓库 例子 git clone用法讨论仓库间协作 例子用法讨论栗子 1.3 保存你的更改git add用法讨论缓存区 栗子 git commit用法讨论记录快照…...
ChatGPT终于可以进行网络搜索 内容不再限于2021年9月前
微软和谷歌已经让旗下聊天机器人进行网上搜索,并提供原始材料的链接,以提高信息共享的可信度和范围。但是,ChatGPT迄今为止只接受了有时间限制的训练数据,这些数据仅限于从互联网上收集的2021年9月之前的信息。在周三的一系列推文…...
新版wordpress增加备案/百度推广代理商利润
注意:禁止回退更新,例如:你是V1.5版本的、然后下载了个V1.2版本的,这样更新是会出问题的! 注意:禁止跨版本更新,例如:你是V1.0版本,不要下载V1.2的更新包,会…...
wordpress漏洞webshell/登封网站建设公司
网友解答:大家好我是大明 今天就WIN7开机慢的这一问题给大家做一分享 小编总结了两种处理这问题的方法。方法一:开始-运行输入msconfig命令选择启动关闭无用的加载项如下图所示:之后确定重启就OK啦!方法二:通过开始-运行 输入&…...
网站建设书籍附光盘/国际新闻网
hbase的部署相对于java来说就比较简单啦,主要过程如下:1.下载hbase最新的稳定版2.拷贝到相应的目录3.修改conf目录下的hbase-env.sh,设置java 和不适用内置的zookeeperexport JAVA_HOME/usr/java/jdk1.7.0_21/ export HBASE_MANAGES_ZKfalse4.修改hbase-…...
vr模式的网站建设公司/上海关键词排名优化怎样
本文章是❤️力扣 (LeetCode)❤️的内容,该专栏还有多篇优质内容在等待你观看,现在点击右上角点击这个————🚀订阅专栏🚀 🔆坚持刷算法 💎每天进步一点点 🚀冲冲冲冲冲冲冲冲冲冲 Ǵ…...
网站推广官方平台/西安网站seo工作室
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> ●线上查询及帮助命令(1 个) help 如:mkdir --help ●文件和目录操作命令(12 个) ls tree pwd mkdir rmdir cd touch cp mv rm ln find ●查看文件及内容处理命…...
淘宝网站怎么做视频/如何在百度推广自己
/*****************************************************/ 功 能: 用于读取18B20温度传感器的ROM,16位ID 时 间:2019-09-25 作 者: 零点工作室(RMLS) /*************************************************…...