5.Vectors Transformation Rules

在上节，有个问题：向量分量的转换方式 与 新旧基底的转换方式相反

用例子来感受一下，

空间中一向量V，即该空间的一个基底：e1、e2

v = e1 + e2

现把基底 e1 、 e2 放大两倍。变成 

基向量放大了两倍， 但对于向量v  ，其向量组件缩小了两倍。
它们两个 做了相反的事， 基向量放大，  某向量的向量组件缩小。  但V是不变的。

当使用新的基向量测量V时，V看起来更小，因为基向量变大了两倍

另一个例子：
旧基底：e1 、 e2 ； 新基底：。 

向量V

V 由大约相等的部分 e1 、e2组成， 且V与e1、e2的夹角大致相等。 意味着每个方向上的组件大致相同；

现顺时针选择这对基底， 使得V与的夹角  大于 V与的夹角。   V不变

但V现在与相比，V更接近 ，  这时，组件做了相反的事，V = x +y

x肯定是 < y 的

回到上节最后那部分的内容，

当向量分量的行为方式  与 基向量的行为  相反 时，当基变大时，这是 完全有意义的。

意义：当基变大时，分量会缩小； 当基底向一个方向旋转时，组件 会向另一个方向旋转。

无论基底做什么，组件都会做 相反 的事。

通过这两个例子， 就能对2D中会发生这种相反的行为有了一定直觉。

那是否是在任何维度都如此呢？

证明 ：（当然也是针对向量，旧基、新基的行为，组件的行为）

利用这个，以及之前的前向变换和后向变换。

代入，化简

以上就证明了，为从 旧组件 转移到 新组件， 我们实际上是 使用了  后向转换(Backward)

类似的，从新组件 转移到旧组件， 使用 向前转换（Forward）

现在因为向量分量的行为  与  基向量相反，

我们说 向量分量 是 Contra-variant

（向量是 逆变张量  vectors are contravariant tensors）

规定：

 上述形式，改为：

这里向量V 已经被我们用 新基的线性组合或者旧基的线性组合写出，

但这些向量组件，因为它们是 CONTRA-variant。

我们将在编写方式上做点  改变，

把组件()的索引i写到字母v右上方，即  

通过写在右上角，提醒 我们 组件是逆变的。

注意哦，把系数的i放到右上角， 其仍然是索引值，表示第 i 个，而不是 指数

基向量的索引是在右下角， 向量组件的索引在右上角，在某种程度上提醒了它们的行为方式相反