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图源：文心一言

本文是我学习高等数学几何、物理应用的一些笔记和心得，希望可以与考研路上的小伙伴一起努力上岸~~🥝🥝

第1版：查资料、画导图~🧩🧩

参考资料：《高等数学基础篇》武忠祥

📇目录

🦮思维导图

🐳向量代数

🐋数量积【数字】

🐋向量积【向量】

🐋混合积【数字】

🐳空间解析几何

🐋平面空间与直线

🐋曲面与空间曲线

🐳积分学的几何应用

🐋单积分、二重积分

🐋三重积分

🐋曲线积分

🐋曲面积分

🐋多元积分应用

🐳场论初步

🔚结语

🦮思维导图

🌸思维导图为整理武老师基础教材所列内容，时间关系有些仓促，请多包涵~
🌸博文后面会以大纲的形式复述一遍，面向复习，不会写得很详细，且可能有误；较为重要的内容有从网络找相关配图并给出大佬博文链接~

🐳向量代数
- 🐋数量积【数字】
  - 几何表示： $a\cdot b=|a||b|cos\theta$
  - 代数表示： $a\cdot b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$
  - 几何应用
    - 求夹角
    - 判定垂直
  图源：线性代数~数量积 - 知乎
- 🐋向量积【向量】
  - 几何表示
    - 模： $|a\times b|=|a||b|sin\theta$
    - 方向：右手法则
  - 代数表示：矩阵【首行基坐标，次行向量a的分量，尾行向量b的分量】
  图源：向量外积的坐标形式_向量外积的坐标表示-CSDN博客
  - 运算规律： $a\times b = -b\times a$ 【模不变，方向相反】
  - 几何应用
    - 求同时垂直于 a 和 b 的向量
    - 判定平行
    - 求以a和b为邻边的平行四边形的面积
  图源：向量的数量积与向量积 - 童趣PBL
- 🐋混合积【数字】
  - 几何表示： $(a bc)=(a\times b)\cdot c$
  - 代数表示：矩阵【首行向量a的分量，次行向量b的分量，尾行向量c的分量】
  图源：1272.　如何计算混合积?-高等数学-专业词典
  - 运算规律
    - 轮换对称性： $(abc)=(bca)=(cab)$
    - 交换变号： $(abc)=-(acb)$
    - 原理：矩阵交换1次行列变正负号
  - 几何应用
    - 求以a、b、c为邻边的平行六边体的面积
    - 求向量共面：(abc)=0【等式中任意两个向量平行，则3个向量必共面】
  图源：混合积的几何意义
🐳空间解析几何
- 🐋平面空间与直线
  - 概要
    - 平面方程
      一般式：
      $Ax+By+Cz+D=0$
      点法式：平面上1点(x0,y0,z0)和法线向量(A,B,C)表示直线
      $A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0$
      截距式：经过坐标轴的3个交点表示平面
      $x/a+y/b+z/c=1$
      
      图源：平面方程_百度百科 (baidu.com)
    - 直线方程
      一般式：2个平面的交线表示直线
      $\left\{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}\right.$
      对称式：直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线
      $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$
      参数式：直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线
      $\left\{\begin{matrix} x=x_0+mt \\ y=y_0+nt \\ z=z_0+pt \end{matrix}\right.$
      
      图源：不可不知的——直线的参数方程 (qq.com)
    - 点到平面的距离
      
      距离为M1M0在平面法向量的投影长度：
      
      代入点，M1与MO点乘为分子，M0满足平面方程化简，平面法向量的模为分母：
      
      图源：点到平面距离_百度百科 (baidu.com)
    - 点到直线的距离
      
      平行四边形满足等式：
      
      $S=|\vec{AB}\times\vec{S}|=d\cdot|\vec{S}|$
      
      代入方向向量S（l,m,n），B（x1,x2,x3）,A（x0,y0,z0），得
      
      $d=\frac{\vec{AB}\times\vec{S}}{|\vec{S}|}=\frac{(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\times(l,m,n)}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$
  - 题型
    - 求法向量、切线向量，建立平面与直线的方程
    - 求点到直线的距离
- 🐋曲面与空间曲线
  - 概要
    - 曲面方程
      $F(x,y,z) = 0$
      $z=f(x,y)$
    - 空间曲线
      参数式【螺线】
      
      图源：确实没找到...
      
      一般式：2个曲面的交线表示空间曲线
      $\left\{\begin{matrix} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{matrix}\right.$
    - 常见曲面
      - 旋转面：平面曲线绕平面直线旋转
      - 柱面：平行与定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹
        
        图源：抛物柱面函数 - 快懂百科
      - 二次曲面
        
        圆柱面
        
        圆锥面
        
        旋转抛物面
        
        椭球面
        
        图源：【高等数学】九种标准二次曲面 - 知乎 (zhihu.com)
      - 空间曲线投影
        
        投影柱面：曲线一般式联立消去z，得到的二元方程即为母线为z轴的投影柱面
        投影平面：在投影柱面方程的基础上，增加限制条件 z = 0，检查其它变量的取值范围，即为曲线在xoy面的投影
        
        图源：柱面坐标 - 搜狗百科 (sogou.com)
  - 题型
    - 曲面方程
      求柱面方程
      求旋转面方程
      求投影曲线方程
    - 解析几何
      曲面的切平面与法线，核心：求法向量
      曲线的切线与法平面，核心：求切向量

🐳积分学的几何应用
- 🐋单积分、二重积分
  - 概念
    - 平面图形的面积
      直角坐标
      $S=\int_{a}^{b}\mathrm{d}x\int_{f(x)}^{g(x)}\mathrm{d}y=\int_{a}^{b} f(x)-g(x) \mathrm{d}x$
      极坐标
      $S=\int_{\alpha}^{\beta}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{r(\theta)}r\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta) \mathrm{d}x$
    - 旋转体体积
      绕x轴旋转 $V_x=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x$ ，其中体积微元 $\mathrm{d}v$ = 底面积 $\pi f^2(x)$ x 高 $\mathrm{d}x$
      
      图源：单变量微积分-第十六讲-积分的应用（一） - 知乎
      
      绕y轴旋转 $V_y=2\pi\int_{a}^{b}xf(x)\mathrm{d}x$ ，其中体积微元 $\mathrm{d}v$ = 环状窄带周长 $2\pi x$ x 截面积 $f(x)\mathrm{d}x$
      
      图源：定积分的应用之柱壳法求旋转体体积_-CSDN博客
      
      绕直线旋转 $V=2\pi\int\int_{D_xy}r(x,y)\mathrm{d}\sigma$ ，其中体积微元 $\mathrm{d}v$ = = 环状窄带周长 $2\pi r(x,y)$ x 截面积 $\mathrm{d}\sigma$ ， $r(x,y)$ 表示点到直线距离
      
      图源：高等数学解题常用公式笔记总结
    - 曲线弧长：同对弧长的线积分
    - 旋转体侧面积
      绕x轴旋转 $S=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}s$ ，其中面积微元 $\mathrm{d}S$ = 环状窄带周长 $2\pi \mathrm{d}s$ x 高度 $f(x)$ ， $ds=\sqrt{1+y'^2(x)}$
      
      图源：求曲线绕x轴旋转一周的旋转体的侧面积_360问答
  - 题型
    - 几何应用：
      定积分求面积
      绕轴旋转体积
    - 物理应用
      - 容积 = 底面积 x 高
        
        球1底面积 $\pi\times x^2$ ，高度微元 $\mathrm{d}y$
        球1体积微元 $\mathrm{d}v=\pi\times x^2\mathrm{d}y$ ，积分域-1到1/2
        球1体积 $V=\pi\int_{-1}^{1/2} x^2\mathrm{d}y$ ，代入圆的公式 $x^2+y^2=1$ ，得 $V=\pi\int_{-1}^{1/2} 1-y^2\mathrm{d}y$
        球2与球1体积相等，球1体积×2即为所求
      - 做功 = 力 x 距离
        
        球1受力微元 $\rho g\mathrm{d}v=\rho g(\pi\times x^2\mathrm{d}y)$ ，距离 $2-y$ ；
        球1做功微元 $\mathrm{d}w=\rho g\pi\times (1-y^2)\mathrm(2-y){d}y$ ；
        以上，球1区域做功 $W=\rho g\pi\int_{-1}^{1/2} (1-y^2)\mathrm(2-y)\mathrm{d}y$ ；
        同理，球2区域做功 $W=\rho g\pi\int_{1/2}^{2} (2y-y^2)\mathrm(2-y)\mathrm{d}y$ ；
      - 压强 = 压力 x 面积
        
        区域1压力： $\rho gH=\rho g(h+1-y)$ ，区域1面积 $2 \times \mathrm{d}y$ ；
        区域1压强微元： $\mathrm{d}p=\rho g(h+1-y)\times2\mathrm{d}y$ ；
        区域1压强： $P=2\rho g\int_{1}^{h+1} (h+1-y)\mathrm{d}y$ ；
        区域2压力： $\rho gH=\rho g(h+1-y)$ ，区域2面积 $2x\mathrm{d}y$ ；
        区域2压强微元： $\mathrm{d}p=\rho g(h+1-y)\times2\sqrt{y}\mathrm{d}y$ ；
        区域2压强： $P=2\rho g\int_{0}^{1} (h+1-y)\sqrt{y}\mathrm{d}y$ ；
- 🐋三重积分
  - 简述：区域点的函数值 x 体积微元，累加求和
  - 性质
    - 奇偶性、轮换对称性
    - 不等式性质
    - 积分中值定理
  - 计算
    - 先一后二
      计算
      作垂直于z轴的直线，穿过封闭底面z1(x,y)与顶面z2(x,y)，即z的积分上下限是x，y的函数
      先计算有关z的积分，再转化为求x，y的二重积分
      适合坐标
      印象中比较万能...
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\iint_{x^2+y^2\le 1/2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}z\mathrm{d}z$
    - 先二后一
      计算
      作平行于z轴的截面，得到封闭曲线，即z的积分上下限是常数
      先计算有关x,y的二重积分，再转化为求z的单积分
      适合坐标
      被积函数： $f(x,y,z)=\phi(z)$ ，这一步可能需要借助奇偶性、对称性转换得到
      积分域： $D_z$ 面积较为规则，方便计算
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{1/\sqrt2}z\mathrm{d}z \iint_{x^2+y^2\le z^2} \mathrm{d}x\mathrm{d} y+\int_{1/\sqrt2}^{1}z\mathrm{d}z \iint_{x^2+y^2\le 1-z^2} \mathrm{d}x\mathrm{d} y$
    - 柱坐标
      与直角坐标的关系
      坐标
      $x=rcos\theta$
      $y = rsin\theta$
      $z=z$
      体积微元
      $dv = rdr d\phi dz$
      适合坐标
      被积函数： $f(x,y,z)=\phi(z)g(\sqrt{x^2+y^2})$
      积分域：柱面、锥面
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{1/\sqrt2} \mathrm{d}r\int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} zr\mathrm{d} r$
    - 球坐标
      与直角坐标的关系
      坐标
      $x=rsin\phi cos\theta$
      $y = rsin\phi sin\theta$
      $z=rcos\phi$
      体积微元
      $dv = r^2sin\phi dr d\phi d\theta$
      适合坐标
      被积函数： $f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$
      积分域：球面、球壳、锥面
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi/4} \mathrm{d}\phi\int_{0}^{1} r\cos\phi r^2\sin\phi\mathrm{d} r$
- 🐋曲线积分
  - 对弧长的线积分
    - 简述：函数值 x 弧长微元，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      体积微元
      参数方程： $ds=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}$
      直角坐标： $ds=\sqrt{1+y'^2(x)}$
      极坐标： $ds=\sqrt{r^2+r'^2}$
      积分域：从小到大【与方向无关，要求结果是正数】
      奇偶性【x轴、y轴】
      对称性【直线y=x】
    图源：【高等数学】定积分元素法及应用（待续） - 知乎
  - 对坐标的线积分
    - 简述：函数值 x 有向线段的投影，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      被积函数：代入直角坐标，或极坐标、参数方程
      积分域：从起点到终点【与方向有关，逆时针为正向】
      格林公式
      要求
      闭区域由分段光滑曲线围成
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      作用：平面坐标的线积分转化为二重积分
      
      图源：格林公式 - 搜狗百科
      
      斯托克斯公式
      要求
      闭区域由空间分段光滑曲线围成，方向符合右手法则
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      作用：空间坐标的线积分转化为二重积分
      
      图源：斯托克斯公式的意义? - 知乎
      
      图源：怎么记住斯托克斯公式（Stokes' theorem）？ - 知乎
    - 方法选择
      曲线L是否封闭？
      是：格林【平面】/ 斯托克斯【空间】
      否：是否与路径无关？
      是
      改换路径【一般选择平行坐标轴】
      寻找原函数【偏积分、凑微分】
      否
      直接法【注意方向】
      补线使用公式
  - 两类线积分的关系
    - 对弧长的线积分 x 曲线在切线方向的余弦 = 对坐标的线积分
    图源：多元微积分—— 知乎
- 🐋曲面积分
  - 对面积的面积分
    - 简述：函数值 x 面积微元，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      体积微元： $ds=\sqrt{1+(z_x')^2+(z_y')^2}$
      积分域：从小到大【与方向无关，要求结果是正数】
      奇偶性【x轴、y轴】
      轮换对称性
  - 对坐标的面积分
    - 简述：函数值 x 有向投影域面积，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      被积函数：代入直角坐标 $y=f(x)$ ，或极坐标、参数方程
      积分域：从起点到终点【与方向有关，上、前、右侧为正向】
      高斯公式
      要求
      闭区域由分段光滑曲线围成
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      作用：空间坐标的面积分转化为三重积分
      
      图源：高斯公式 - Bing
    - 方法选择
      曲面是否封闭且不存在奇点？
      是：高斯公式
      否
      直接法【注意方向】
      补面【不封闭】或作辅助面【存在奇点】使用公式
  - 两类面积分的关系
    - 对面积的面积分 x 曲面在切线方向的余弦 = 对坐标的面积分
- 🐋多元积分应用
  - 概要
    - 平板面【二重积分】
      面积
      被积函数：1
      质量
      被积函数： $\rho(x,y)$
      质心
      被积函数： $\frac{x\rho(x,y)}{\rho(x,y)}$
      转动惯量
      被积函数： $y^2\rho(x,y)$ 【对y轴】
    - 推广
      空间体【三重积分】
      曲线【一型线积分】
      曲面【一型面积分】
    - 变力做功【二型线积分】
    - 通量【二型面积分】
  - 题型
    - 形心
    - 质心
    - 变力做功

🐳场论初步
- 方向导数：函数在某点对指定方向求导的结果
- 梯度：函数在这点方向导数最大的方向
- 散度：向量场在某点吸收或散发通量的大小
- 旋度：向量场对某点微元造成的旋转程度
详见大佬博文【我实在是打不动公式了...🫠】微积分-13.场论初步 - 知乎 (zhihu.com)

🔚结语

😶‍🌫️博文到此结束，写得模糊或者有误之处，欢迎小伙伴留言讨论与批评，督促博主优化内容~

🌟博文若有帮助，欢迎小伙伴动动可爱的小手默默给个赞支持一下，博主肝文的动力++~

🌸博主可能会佛系更新思维导图，在这里：

高等数学_梅头脑_的博客-CSDN博客https://blog.csdn.net/weixin_42789937/category_12380893.html

高数笔记03：几何、物理应用

图源：文心一言本文是我学习高等数学几何、物理应用的一些笔记和心得，希望可以与考研路上的小伙伴一起努力上岸~~🥝🥝 第1版：查资料、画导图~🧩🧩 参考资料：《高等数学基础篇》武…...

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用 Three.js 创建一个酷炫且真实的地球

接下来我会分步骤讲解，在线示例在数字孪生平台。先添加一个球体我们用threejs中的SphereGeometry来创建球体，给他贴一张地球纹理。 let earthGeo new THREE.SphereGeometry(10, 64, 64) let earthMat new THREE.MeshStandardMaterial({map: albed…...

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【数据结构】线性表与顺序表

⭐ 作者：小胡_不糊涂 🌱 作者主页：小胡_不糊涂的个人主页 📀 收录专栏：浅谈Java 💖 持续更文，关注博主少走弯路，谢谢大家支持 💖 线性表与顺序表 1. 线性表2. 顺序表2.1 …...

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ChatGPT

chatgpt使用地址 https://mycaht.top/#/chat 申请内测免费key https://github.com/chatanywhere/GPT_API_free 设置接口地址设置改成 https://api.chatanywhere.com.cnAPI Key设置成申请出来的免费key 开始聊天...

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矿区井下智慧用电安全监测解决方案

一、背景矿区井下作业具有复杂的环境和较高的危险性，对于用电安全的要求尤为严格。传统的管理模式和监测方法往往无法实时、准确地掌握井下用电情况，对安全隐患的排查与预防存在一定局限性。因此，引入智慧用电安全监测解决方案&#xff…...

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一、抓包第一次请求 url aHR0cDovL2N5eHcuY24vQ29sdW1uLmFzcHg/Y29saWQ9MTA抓包，需要清理浏览器cookie，或者无痕模式打开网址，否则返回的包不全，依照下图中的第一个包进行requests请求第一次请求后返回 <!DOCTYPE html>…...

编程日记 2023/10/15 1:39:56

12.JVM

一.JVM类加载机制:把类从硬盘文件加载到内存中 1.java文件,编写时是一个.java文件,编译后现成一个.class的字节码文件,运行的时候,JVM就会读取.class文件,放到内存中,并且构造类对象. 2.类加载流程: a.加载:找到.class文件,打开文件,读取内容,尝试解析文件内容. b.验证:检查…...

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关于网络协议的若干问题(四)

1、QUIC 是一个精巧的协议，它有哪些特性？ 答：QUIC 还有其他特性，一个是快速建立连接。另一个是拥塞控制，QUIC 协议当前默认使用了 TCP 协议的 CUBIC（拥塞控制算法）。 CUBIC 进行了不同的设计&…...

编程日记 2023/10/15 1:37:54

opencv图像卷积操作和常用的图像滤波函数

文章目录 opencv图像卷积操作原理，opencv中常用的图像滤波函数一、图像卷积操作原理：1、卷积操作原理图： 二、opencv常用的图像滤波函数：这些函数的主要作用是对图像进行平滑处理或去除噪声(核心目的是减少图像中的噪声&#xff0…...

编程日记 2023/10/15 1:36:53

习题1. 31

话不多说先上代码 (defn product [ term a nxt b](defn iter [a result](if (> a b)1 (* (term a) (iter (nxt a) result))))(iter a 1)) 跟习题1.30比较起来，就是两个地方不同乘法不能乘0 必须是1。难度来讲，跟1.30难度是一样的。增加了迭代过…...

编程日记 2023/10/15 1:35:52

见微知著：从企业售后技术支持看云计算发展

作者：余凯售后业务中的细微变化作为阿里云企业容器技术支持的一员，每天会面对全球各地企业级客户提出的关于容器的各种问题，通过这几年的技术支持的经历，逐步发现容器问题客户的一些惯性，哪些是重度用户&#xff0…...

编程日记 2023/10/15 1:34:51

C++笔记之如何给 `const char*` 类型变量赋值

C笔记之如何给 const char* 类型变量赋值 code review! 文章目录 C笔记之如何给 const char* 类型变量赋值1.在C中，如果你要给一个 const char* 变量赋值，你通常有几种方法来做这件事，具体取决于你的需求。下面是一些常见的方法：…...

编程日记 2023/10/15 1:33:50

9.Linear Maps

线性映射线性映射是将向量作为输入并产生一些新向量作为输出的转换。从坐标定义开始(数组)，再到2，3，并展示它们是如何关联的线性映射的坐标表示最终是矩阵， 1.坐标定义（数组） 列向量是向量的坐标表示…...

编程日记 2023/10/15 1:32:49

大数据Doris（十）：添加BE步骤

文章目录添加BE步骤一、使用mysql连接二、添加be...

编程日记 2023/10/15 1:31:48

Vue2 +Element UI 表格行合并

如果相邻数据是一致的，则单元格的行合并,指定需要合并的列，下面我是指定合并了分类和类型这两列。先看效果 Element UI为我们的<el-table>提供了一个属性span-method：合并行或列的计算方法下面是一个示例: html部分 - 主要是在表上指…...

编程日记 2023/10/15 1:30:47

SuperEdge易学易用系列-一键搭建SuperEdge集群

条件说明： 系统公网IP 内网IP 服务器所在地 K8S版本 Centos7.9 114.116.101.254 192.168.0.245 北京 v1.22.6 Centos7.9 119.8.1.96 192.168.0.83 香港 v1.22.6 Ubuntu22 94.74.108.152 192.168.0.154 纽约 v1.22.6 1. 开始部署 1.1 两条指令从零搭建一个边缘集…...

编程日记 2023/10/15 1:29:46

农场养殖农产品商城小程序搭建

鸡鸭羊牛鱼养殖用户不少，其规模也有大有小，尤其对一些生态养殖企业，其产品需求度更高，同时他们也有实际的销售需求。由于具备较为稳定的货源，因此大规模多规格销售属性很足。通过【雨科】平台搭建农场养殖商城&…...

编程日记 2023/10/15 1:27:44

大语言模型之十七-QA-LoRA

由于基座模型通常需要海量的数据和算力内存，这一巨大的成本往往只有巨头公司会投入，所以一些优秀的大语言模型要么是大公司开源的，要么是背后有大公司身影公司开源的，如何从优秀的开源基座模型针对特定场景fine-tune模型具有广大的…...

编程日记 2023/10/15 1:25:41

UML组件图综合指南：设计清晰、可维护的软件系统

介绍： UML（Unified Modeling Language）组件图是软件系统设计中的重要工具，用于描绘系统的物理结构和组件之间的关系。在软件工程中，通过创建清晰的组件图，团队能够更好地理解系统的模块化结构和组织关系&a…...

编程日记 2023/10/15 1:24:40

深入浅出ThreadPoolExecutor(一)

文章目录线程池简诉ThreadPoolExecutor详解ThreadPoolExecutor参数详解创建线程池的工具类Executors 线程池简诉针对各种池子,比如连接池:用于管理和重复使用数据库连接，避免频繁创建和销毁数据库连接带来的性能开销。对象池：用于管理和重复使用对象…...

编程日记 2023/10/15 1:23:38

网站的常见攻击与防护方法

在互联网时代，几乎每个网站都存在着潜在的安全威胁。这些威胁可能来自人为失误，也可能源自网络犯罪团伙所发起的复杂攻击。无论攻击的本质如何，网络攻击者的主要动机通常是谋求经济利益。这意味着无论您经营的是电子商务项目还是小型商业网站…...

编程日记 2023/10/15 1:22:37

网络工程师知识点3

41、各个路由协议，在华为设备中的优先级？ 直连路由 0 OSPF 10 静态 60 42、OSPF：开放式最短路径优先路由协议，使用SPF算法发现和计算路由 OSPF的优点： 1、收敛速度快，无路由自环，适用于大型网络…...

编程日记 2023/10/15 1:21:36

mongoDB 性能优化

文章目录前言mongoDB 性能优化1. explain方法来查看查询的执行计划2. 查看mongoDB 集合的索引3. mongoDB 怎么添加索引4. 升序索引与降序索引是什么意思前言如果您觉得有用的话，记得给博主点个赞，评论，收藏一键三连啊，写作不易…...

编程日记 2023/10/15 1:20:35

10月13日，每日信息差

今天是2023年10月13日，以下是为您准备的13条信息差第一、欧盟投资4.5亿欧元在法国建设电池超级工厂。欧洲投资银行是欧盟的贷款机构，也是世界上最大的跨国银行之一第二、北京银行推出数字人民币智能合约平台数字人民币预付资金管理产品在商超场景…...

编程日记 2023/10/15 1:19:33

📇目录

🦮思维导图

🐳向量代数

🐋数量积【数字】

🐋向量积【向量】

🐋混合积【数字】

🐳空间解析几何

🐋平面空间与直线

🐋曲面与空间曲线

🐳积分学的几何应用

🐋单积分、二重积分

🐋三重积分

🐋曲线积分

🐋曲面积分

🐋多元积分应用

🐳场论初步

🔚结语

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