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• 微元法
• 定积分的应用平面图形面积@立体体积@曲线弧长

微元法

• 定积分(一重,二重,三重积分)应用的关键在于微元法
• 设所求的量$F$依赖于区间$[a,b]$以及在此区间上定义的某函数$f(x)$,且满足
  • 当$f(x)$为常数$C$时,$F=C\cdot (b-a)$
  • 当$[a,b]$分为一些小区间$\Delta x$之和时,量$F$也被分割为相应的一些$\Delta F$之和,即$F$具有可加性
• 将$f(x)$在小区间$[x,x+\Delta x]$上视为常量,于是由微分学有,近似
  • $\Delta F\approx f(x)\Delta x$(1),或更准确表示为:$\Delta F$=$f(x)\Delta x+o(\Delta x)$,$(\Delta x\to 0)$(2)
  • 从而$\mathrm{d}F$=$f(x)\mathrm{d}x$(3),两边做$[a,b]$上的积分,即$F={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$
• 式(1)或(2)称为取微元,式(3)称为**$F$的微元**
• 微元法的步骤为:划分,近似,求和,逼近

平面图形的面积

1. 曲线$y=y_2(x)$和$y=y_1(x)$,($y_2(x)⩾y_1(x)$)以及$x=a,x=b$围成的平面图形的面积$S={\int }_a^b(y_2(x)-y_1(x))\mathrm{d}x$
2. 曲线$x=x_2(y)$和$x=x_1(y)$,($x_2(y)⩾x_1(y)$)以及$y=c,y=d$围成的平面图形面积为$S={\int }_c^d(x_2(y)-x_1(y))\mathrm{d}y$
3. 极坐标曲线$r=r(\theta )$介于两射线$\theta =\alpha$与$\theta =\beta$,$(0<\beta -\alpha ⩽2\pi )$之间的曲边扇形的面积为$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )\mathrm{d}\theta$
4. 由参数方程:$x=x(t)$,$y=y(t)$,$(\alpha ⩽t⩽\beta )$所围成平面图形的面积为$S={\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)x^{\prime }(t)|\mathrm{d}t$或$S={\int }_{\alpha }^{\beta }|x(t)y^{\prime }(t)|\mathrm{d}t$
   • 某些曲线方程的显函数形式不易表示,可考虑使用参数方程表示,并利用换元积分法的方法对参数方程确定的曲线相关图形的面积进行定积分计算
   • 例如椭圆$x=a\cos t$,$y=b\sin t$的面积,即椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$在第一象限的面积,是整个椭圆面积$S$的$\frac{1}{4}$,$S=4{\int }_0^{a}y\mathrm{d}x$
     • 当$x$从$0\to a$时,即$a\cos t$从$0\to a$,即$\cos t$从而$0\to 1$,所以$t$从$\frac{\pi }{2}\to 0$可作为换元后的积分限
     • =$4{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}b\sin t\cdot (-a)\sin t\mathrm{d}t$=$4ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}t\mathrm{d}t$ 对调积分限
     • =$4ab(\frac{1}{2}(t-\frac{1}{2}\sin 2t)){|}_0^{\frac{\pi }{2}}$=$\pi ab$

极坐标上图形面积

曲边扇形面积

• 曲边扇形:普通扇形(或称为圆弧扇形或圆扇形)的圆弧改为一般曲线弧后的图形

  • 一般默认扇形指的是圆扇形

• 对于极坐标曲线方程$r=r(\theta )$,自变量为极角$\theta$,因变量为$r$

• 假设$r(\theta )$在区间$[\alpha ,\beta ]$上连续,$r(\theta )⩾0$,求两射线$\theta =\alpha$与$\theta =\beta$,$(0<\beta -\alpha ⩽2\pi )$以及$r=r(\theta )$所围成的曲边扇形的面积$S$

• 这个问题的计算公式可以通过定积分的定义推导

  • 设区间$[\alpha ,\beta ]$分为$n$个部分区间,并构成$n$个区间的$n+1$个分点为$\alpha ={\theta }_0<{\theta }_1<\cdots <{\theta }_n=\beta$
  • 记$\Delta {\theta }_i$=${\theta }_i-{\theta }_{i-1}$,$(i=1,2,\cdots ,n)$;取 λ = max ⁡ 1 ⩽ i ⩽ n { Δ θ i } \lambda=\max\limits_{1\leqslant{i}\leqslant{n}}\set{\Delta\theta_{i}} λ=1⩽i⩽nmax​{Δθi​}
  • 在每个部分区间内,任取一点${\xi }_i$,(或记为${\overline{\theta }}_i$)
  • 那么以${\xi }_i$为半径,以射线$\theta ={\theta }_{i-1}$和$\theta ={\theta }_i$为两个边作圆扇形$OAB$
  • 将这些小扇形的面积相加,的和式:$S_1$=${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{2}[r({\xi }_i){]}^2\Delta {\theta }_i$=${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{2}{r}^2({\xi }_i)\Delta {\theta }_i$,其正好是$f(\theta )=\frac{1}{2}[r(\theta ){]}^2$=$\frac{1}{2}{r}^2(\theta )$在$[\alpha ,\beta ]$上的积分和数
  • $\lambda$越小,$S_1$就越接近$S$,由于$f(\theta )$在$[\alpha ,\beta ]$上连续,从而$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{2}{r}^2({\xi }_i)\Delta {\theta }_i$=${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\theta )\mathrm{d}\theta$=$\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )\mathrm{d}\theta$
  • 从而的公式$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )\mathrm{d}\theta$,就是曲边扇形的面积

• 进一步地,若要求出曲扇环,(这里指扇环的两条圆弧改为一般曲线弧后的图形)

  • 结合曲边扇形的描述,用极坐标描述这个图形为:两个直边重合的曲边扇形面积之差
  • 即,由射线$\theta =\alpha ,\theta =\beta$,曲线$r=r_1(\theta )$,$r=r_2(\theta )$,$(r_2(\theta )⩽r_1(\theta ))$所围成的图形面积为$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}_1^2(\theta )\mathrm{d}\theta$-$\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}_2^2(\theta )\mathrm{d}\theta$=$\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }[r_1^2(\theta )-r_2^2(\theta )]\mathrm{d}\theta$

平行截面面积为已知的立体体积

• 考虑夹在垂直于$x$轴的两个(立体空间)平面$x=a$和$x=b$,$(a<b)$之间的立体$V$的体积(其体积也不妨记为$V$)
• 假定$[a,b]$内任何一点处作垂直于$x$轴的平面截立体V的面积为$A(x)$,且$A(x)$是一个连续函数(为可以执行定积分计算作铺垫)
• 推导体积$V$的过程也是采用微分法,利用定积分的定义推导公式
• 将$x$轴上的$[a,b]$区间划分为$n$分,并设分点为$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$
  • 第$i$个小区间宽度为$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$,$(i=1,2,\cdots ,n)$
• 并令 λ = max ⁡ 1 ⩽ i ⩽ n { Δ x i } \lambda=\max\limits_{1\leqslant{i}\leqslant{n}}\set{\Delta{x_{i}}} λ=1⩽i⩽nmax​{Δxi​};过$x_i$作垂直于$x$轴的平面$x=x_i$,$i=1,2,\cdots ,n$,它们分别截立体V得到$n$个小部分$V_i$,任取${\xi }_i\in (x_{i-1},x_i)$,即用底面积为$A({\xi }_i)$,厚度为$\Delta x_i$的薄片(体积为$A({\xi }_i)\Delta x_i$)的体积之和${\sum }_{i=1}^{n}A({\xi }_i)\Delta x_i$估计(逼近)$V$;
• 即$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}A({\xi }_i)\Delta x_i$=${\int }_a^{b}A(x)\mathrm{d}x$,因此$V={\int }_a^{b}A(x)\mathrm{d}x$(1)

旋转体的体积

• 旋转面:设有一块由连续曲线$y=f(x)$,$(f(x)⩾0)$以及直线$x=a,x=b$,$(a<b)$与$x$轴围成的曲边梯形记为$A$

绕$x$轴旋转

• 图形$A$绕$x$轴旋转一周而生成的一个旋转体$V_x$,显然垂直于$x$轴的面截该立体得到的是圆盘,并且圆盘体积为$x$的函数$A(x)$=$\pi f^2(x)$(2)
• 此时问题转换为截面积已知的立体体积,将(2)式代入(1)式,得$V_x$=$\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$

绕$y$轴旋转

• 图形$A$绕$y$轴旋转一周而生成的一个旋转体$V_y$,可以考虑使用它套筒法取微元积分
• 即,用平行于$y$轴的圆柱面去截此旋转体,截面为周长为$2\pi x$,高度为$f(x)$的圆柱侧面,面积记为$A(x)$=$2\pi xf(x)$(3)
• 同样代入公式(1),的$V_y$=$2\pi {\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x$

另一类型旋转体积

• 若构造曲边梯形的曲线为$x=\varphi (y)$形曲线,与直线$y=c,y=d$,$(c<d)$以及$y$轴构成的曲边梯形$B$作为旋转面
• 绕$y$轴旋转1周得到的立体体积应用类似于$A$旋转面旋转的立体体积计算方法可得
  • $V_y=\pi {\int }_c^d{\varphi }^2(y)\mathrm{d}y$

曲线弧长

• 曲线弧长同样可以用微元法来求解
• 我们用曲线的内折线的长度来逼近被求曲线弧长
• 设平面上的曲线$l$以$A,B$为端点,在$l$上任意取$n+1$个点:$A=M_0,M_1,\cdots ,M_n=B$,链接$M_{i-1},M_i$,$i=1,2,\cdots ,n$这些线段构成$l$的内折线$l^{\prime }$
• 当$n$不断增大,$M_{i-1}{M}_i$不断接近于0时,若$l^{\prime }$的长度趋近于于一个极限值,则这个极限值就定义为$l$的长度;并且称此$l$是可求长的
• 定理:光滑曲线弧是可求长的

参数方程表示的曲线弧长

• 设曲线$l$弧由参数方程$x=\varphi (t)$,$y=\psi (t)$,$(t\in [\alpha ,\beta ])$给出
  • 其中$\varphi (t),\psi (t)$在$[\alpha ,\beta ]$上具有连续导数,${\varphi }^{\prime }(t),{\psi }^{\prime }(t)$不同时为0
  • 取参数$t$为积分变量其变化区间为$[\alpha ,\beta ]$,相应于$[\alpha ,\beta ]$上任意小区间$[t,t+\mathrm{d}t]$的小弧段的长度$\Delta s$近似等于对应的弦的长度$\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$,
  • 因为
    • $\Delta x=\varphi (t+\mathrm{d}t)-\varphi (t)\approx \mathrm{d}x$=${\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$
    • $\Delta y=\psi (t+\mathrm{d}t)-\psi (t)\approx \mathrm{d}y$=${\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$
  • $\Delta s$的近似值(弧微分),即弧长微元为$\mathrm{d}s$=$\sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2}$=$\sqrt{({\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t{)}^2+({\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t{)}^2}$=$\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$(0)
  • 所求弧长为$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$(1)

直角坐标方程表示的曲线弧长

• 设曲线弧由直角坐标方程$y=f(x)$,$(x\in [a,b])$给出
• 其中$f(x)$在$[a,b]$上具有一阶连续导数,此时曲线弧的参数方程表示为(2)$x=x$;$y=f(x)$,$(x\in [a,b])$,参数为$x$
• 从而问题转换为第一类问题,将方程组(2)代入(1),参数$t$替换为$x$;(积分变量$t$替换为$x)$,积分限替换为$[a,b]$,得$s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$(3)

极坐标方程表示得曲线弧长

• 可同样转换为参数方程类型
• 设曲线弧由极坐标$r=r(\theta )$,$\theta \in [\alpha ,\beta ]$给出,其中$r(\theta )$在$[\alpha ,\beta ]$上具有连续导数,则由直角坐标和极坐标转换公式可得该曲线弧的参数方程表示:(4)
  • $x=x(\theta )=r(\theta )\cos \theta$,$y=y(\theta )=r(\theta )\sin \theta$,$(\theta \in [\alpha ,\beta ])$
  • 这就是以极角$\theta$为参数的曲线弧的参数方程
• 于是弧长微元由公式(0),得$\mathrm{d}s$=$\sqrt{x^{\prime 2}(\theta )+y^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$=$\sqrt{[r^{\prime }(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta {]}^2-[r^{\prime }(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta {]}^2}\mathrm{d}\theta$=$\sqrt{r^{\prime 2}(\theta )+r^2(\theta )}\mathrm{d}\theta$(5)
• 从而所求弧长为$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^{\prime 2}(\theta )+r^2(\theta )}\mathrm{d}\theta$(6)

小结

• 参数方程表示曲线的能力最强,上述3种情形的后两种曲线形式都可以转换为参数方程形式,从而进一步推导出曲线不同表示方式下的曲线弧长公式