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1. 引言

关于有限域的基础知识，可参考：

• RISC Zero团队2022年11月视频 Intro to Finite Fields: RISC Zero Study Club
  

有限域几乎是密码学中所有数学的基础。
ZKP证明系统中的所有运算都是基于有限域的：

• 使用布尔运算的数字电路：如AND、OR、NOT。
• 使用有限域运算的算术电路：如addition、multiplication、negation。

但是，真实的计算机没有有限域电路装置，只有：

• ADD rax, rbx
• MUL rax
• SHR rax, CL
• 等等

因此，需基于以上运算来构建有限域运算。
有限域运算的速度很关键，原因在于：

• 影响ZKP可用性的最大障碍在于证明开销。
• 几乎所有的证明时间都用于有限域运算了。为提升ZKP证明速度：
  • 减少有限域运算次数（如，更高效的NTT或MSM算法）
  • 让有限域运算更高效（如，使用优化的有限域表示）

本文主要关注内容有：

• BigInts
• BigInts经典加法运算
• BigInts经典乘法运算
• Modular reduction（Barrett算法）：当无法更改数字表示时，最有用。
• Montgomery form
• Multiplication and reduction（Montgomery算法）：最常用算法。
• 其它multiplication算法

并对大整数乘法运算的经典算法、Barrett算法、Montgomery算法进行了对比：

2. 大整数及其加法和乘法运算

大整数，又名BigInt或Multiprecision Integers。
真实计算机的运算符是基于word的：

• 几乎所有的现代计算机都使用64-bit words
• 但32-bit words并未完全过时。比如在IoT世界。

对于更大（如256位）的域，会将其切分为words来表示：

• 如，通常以4个64-bit word来表示256-bit数字。
• 如十进制的8位数字，可 以4个2-digit word来表示。

如以100进制的digit来表示大整数27311837，对应为：
$(27311837{)}_{100}$。

2.1 大整数经典加法运算

对应的大整数加法运算，如$(27311837{)}_{100}+(88689789{)}_{100}$，计算规则为：

具体见Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography书本中的Algorithm 10.3算法：

2.2 大整数经典乘法运算

以$(5412{)}_{100}\ast (3629{)}_{100}$大整数乘法运算为例，具体见Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography书本中的Algorithm 10.8算法：

对应各个step的计算数据为：

3. Modular Reduction

需注意，以上加法和乘法运算结果均为更大的值，需将这些大的结果值reduce为相应的canonical表示，如：

常见的Modular Reduction算法有：

• 1）Barret reduction算法：当无法更改数字表示时，最有用。
• 2）Montgomery multiplication and reduction算法：最常用算法。

相关博客有：

• 基础算法优化——Fast Modular Multiplication
• GPU/CPU友好的模乘算法：Multi-Precision Fast Modular Multiplication
• Montgomery reduction——多精度模乘法运算算法

3.1 Barret reduction算法

做reduction最明显的方式是做除法，但除法运算昂贵，且可能不是constant time的。以single-word除法运算 $b=1，R=2^k$ 为例：

func reduce(a uint) uint {q:= a / n  // Division implicitly returns the floor of the result.return a - q * n
}

非constant time会存在timing attack攻击问题。
Barrett reduction为将$1/n$近似为$m/2^k$，因为$m/2^k$中的除法实际是右移运算，要便宜得多。【可近似计算$m$值为$m=\lfloor 2^k/n\rfloor$】

func reduce(a uint) uint {q := (a * m) >> k // ">> k" denotes bitshift by k.return a - q * n
}

不过这样reduce之后的结果在$[0,2n)$，而不是$[0,n)$，因此需进一步reduce：

func reduce(a uint) uint {q := (a * m) >> ka -= q * nif a >= n {a -= n}return a
}

Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography书本中的Algorithm 10.17算法，将其扩展为了multi-word Barrett Reduction算法，且在以上最后一步reduce之前的结果不再是$[0,2n)$而是可能更大的范围值，因此在Algorithm 10.17算法中第4步采用的是while：

3.2 Montgomery multiplication and reduction算法

Montgomery Form为另一种有限域表示，其支持快速combined multiplication and reduction算法。

之前将有限域元素表示为：
$x\in [0,N-1]$

而Montgomery Form表示定义为：
$[x]=(xR)\mathrm{mod}N$

Montgomery Reduction算法计算的是：
$REDC(u)=(u{R}^{-1})\mathrm{mod}N$
而不是之前Barrett Reduction计算的$u\mathrm{mod}N$。

$REDC$是一个非常多功能的公式：

• 1）将经典转换为Montgomery：$[x]=REDC((x{R}^2)\mathrm{mod}N)$
• 2）将Montgomery转换为经典：$REDC([x])=x$
• 3）对Montgomery Form表示的乘法运算：$((xR\mathrm{mod}p)\ast (yR\mathrm{mod}p)\ast R^{-1}\mathrm{mod}p)=(xyR)\mathrm{mod}p$，对应在Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography书本中的Algorithm 11.3算法中做了相应实现：
  

其中 Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography书本中的Algorithm 10.22算法中所实现的Montgomery reduction算法为：

4. 其它multiplication算法

Multiplication算法的演变过程为：

• multiplication算法曾被认为其runtime约为$O(n^2)$。
• Karatsuba发明了一种divide-and-conquer算法，其runtime为$O(n^{1.58})$。
• Toom-Cook乘法算法与Karatsuba算法类似，性能略好一点。
• Schönhage–Strassen 发明了一种NTT算法，其runtime为$O(n\cdot \log n\cdot \log \log n)$。
• 当对大整数做乘法运算时，其速度要更慢，如4096位RSA密钥。

参考资料

[1] RISC Zero团队2023年2月视频 Finite Field Implementations: Barrett & Montgomery【slide见Finite Field Implementations】
[2] 维基百科Barrett reduction

RISC Zero系列博客

• RISC0：Towards a Unified Compilation Framework for Zero Knowledge
• Risc Zero ZKVM：zk-STARKs + RISC-V
• 2023年 ZK Hack以及ZK Summit 亮点记
• RISC Zero zkVM 白皮书
• Risc0：使用Continunations来证明任意EVM交易
• Zeth：首个Type 0 zkEVM
• RISC Zero项目简介
• RISC Zero zkVM性能指标
• Continuations：扩展RISC Zero zkVM支持（无限）大计算
• A summary on the FRI low degree test前2页导读
• Reed-Solomon Codes及其与RISC Zero zkVM的关系
• RISC Zero zkVM架构
• RISC-V与RISC Zero zkVM的关系