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《数据库系统概论》学习笔记——第六章 关系数据理论

教材为数据库系统概论第五版(王珊)
这一章重点在于各种范式的概念和将低级范式转为高级范式。一定要看多值依赖和4NF(因为这个概念很绕又烦,但是期中期末都考了)。最后计算题就是一定要会:算闭包,求候选码,求最小函数依赖集,看本文的几题例题基本就会了。

6.1 问题的提出

关系数据库逻辑设计

  • 针对具体问题,如何构造一个适合于它的数据模式
  • 数据库逻辑设计的工具──关系数据库的规范化理论

一、概念回顾

  • 关系
  • 关系模式
  • 关系数据库
  • 关系数据库的模式

二、关系模式的形式化定义

关系模式由五部分组成,即它是一个五元组:

R(U, D, DOM, F)

  • R: 关系名
  • U: 组成该关系的属性名集合
  • D: 属性组U中属性所来自的域
  • DOM: 属性向域的映象集合
  • F: 属性间数据的依赖关系集合

三、什么是数据依赖

1. 完整性约束的表现形式

  • 限定属性取值范围:例如学生成绩必须在0-100之间
  • 定义属性间的相互关连(主要体现于值的相等与否),这就是数据依赖,它是数据库模式设计的关键

2. 数据依赖

  • 一个关系内部属性与属性之间的约束关系
  • 现实世界属性间相互联系的抽象
  • 数据内在的性质
  • 语义的体现

3. 数据依赖的类型

  • 函数依赖(Functional Dependency,简记为FD)
  • 多值依赖(Multivalued Dependency,简记为MVD)
  • 其他

四、关系模式的简化表示

关系模式R(U, D, DOM, F)简化为一个三元组:

  • R(U, F)

当且仅当U上的一个关系r满足F时,r称为关系模式 R(U, F)的一个关系

五、数据依赖对关系模式的影响

例:建立一个描述学校教务的数据库:学生的学号(Sno)、所在系(Sdept),系主任姓名(Mname)、课程名(Cname),成绩(Grade)

单一的关系模式 :Student <U、F>

U ={ Sno, Sdept, Mname, Cname, Grade }

属性组U上的一组函数依赖F:
F ={ Sno → Sdept, Sdept → Mname, (Sno, Cname) → Grade }

关系模式Student<U, F>中存在的问题

  • 数据冗余太大

    • 系主任姓名重复出现,浪费存储空间
  • 更新异常(Update Anomalies)

    • 更换系主任?更改系名?
  • 插入异常(Insertion Anomalies)

    • 一个系刚成立,尚无学生?
  • 删除异常(Deletion Anomalies)

    • 一个系的学生全部毕业了?

结论:

Student关系模式不是一个好的模式。

“好”的模式:不会发生插入异常、删除异常、更新异常,数据冗余应尽可能少

原因:由存在于模式中的某些数据依赖引起的

解决方法:通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖

6.2 规范化

规范化理论正是用来改造关系模式,通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖,以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。

6.2.1 函数依赖

一、函数依赖

设R(U)是一个属性集U上的关系模式,X和Y是U的子集。

若对于R(U)的任意一个可能的关系r,r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等, 而在Y上的属性值不等, 则称 “X函数确定Y” 或 “Y函数依赖于X”,记作X→Y

说明:

  1. 所有关系实例均要满足

  2. 语义范畴的概念

  3. 数据库设计者可以对现实世界作强制的规定

二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖

在关系模式R(U)中,对于U的子集X和Y,

  • 如果X→Y,但Y∉X,则称X→Y是非平凡的函数依赖
  • 若X→Y,但Y∈X, 则称X→Y是平凡的函数依赖

例:

在关系SC(Sno, Cno, Grade)中,
非平凡函数依赖: (Sno, Cno) → Grade
平凡函数依赖: (Sno, Cno) → Sno ,(Sno, Cno) → Cno

  • 若X→Y,则X称为这个函数依赖的决定属性组,也称为决定因素(Determinant)。
  • 若X→Y,Y→X,则记作X←→Y。
  • 若Y不函数依赖于X,则记作X↛\nrightarrowY。

三、完全函数依赖与部分函数依赖

在R(U)中,如果X→Y,并且对于X的任何一个真子集X’,都有X’$\nrightarrow Y,则称Y对X∗∗完全函数依赖∗∗,记作Y, 则称Y对X**完全函数依赖**,记作Y,则称YX完全函数依赖,记作X\overset{F}{\rightarrow}Y$

若X→Y,但Y不完全函数依赖于X,则称Y对X部分函数依赖,记作X→PYX\overset{P}{\rightarrow}YXPY

(Sno,Cno)→Grade是完全函数依赖,
(Sno,Cno)→Sdept是部分函数依赖,因为Sno →Sdept成立,且Sno是(Sno,Cno)的真子集

四、传递函数依赖

在R(U)中,如果X→Y,(Y∉X) ,Y$\nrightarrow XY→Z,则称Z对X∗∗传递函数依赖∗∗。记为:X Y→Z, 则称Z对X**传递函数依赖**。 记为:XYZ,则称ZX传递函数依赖。记为:X\overset{传递}{\rightarrow}Z$

注意:如果Y→X, 即X←→Y,则Z直接依赖于X。

在关系Std(Sno, Sdept, Mname)中,有:
Sno → Sdept,Sdept → Mname
则Mname传递函数依赖于Sno

6.2.2 码

候选码:

设K为R<U,F>中的属性或属性组合。若K→FUK\overset{F}{\rightarrow}UKFU, 则K称为R的侯选码(Candidate Key)。

若候选码多于一个,则选定其中的一个做为主码(Primary Key)

  • 主属性与非主属性
    • 包含在任何一个候选码中的属性称为主属性
    • 不包含在任何码中的属性称为非主属性非码属性

整个属性组是码,称为全码(All-key)

外码:

关系模式R中属性或属性组X并非R的码,但X是另一个关系模式的码,则称X是R的外部码(Foreign key)也称外码

  • 主码与外部码一起提供了表示关系间联系的手段

6.2.3 范式

  • 范式是符合某一种级别的关系模式的集合

  • 关系数据库中的关系必须满足一定的要求。满足不同程度要求的为不同范式

    范式的种类:

    • 第一范式(1NF)

    • 第二范式(2NF)

    • 第三范式(3NF)

    • BC范式(BCNF)

    • 第四范式(4NF)

    • 第五范式(5NF)

      各种范式之间存在联系:

      在这里插入图片描述

某一关系模式R为第n范式,可简记为R∈nNF

规范化

一个低一级范式的关系模式,通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合,这种过程就叫规范化

6.2.4 2NF

1NF:

如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项,则R∈1NF

  • 第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库
  • 但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个的关系模式

例:关系模式 S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade)
Sloc为学生住处,假设每个系的学生住在同一个地方

函数依赖包括:

(Sno, Cno) →F\overset{F}{\rightarrow}F Grade
Sno → Sdept
(Sno, Cno)→P\overset{P}{\rightarrow}PSdept
Sno → Sloc
(Sno, Cno)→P\overset{P}{\rightarrow}PSloc
Sdept → Sloc

  • S-L-C的码为(Sno, Cno)
  • S-L-C满足第一范式
  • 非主属性Sdept和Sloc部分函数依赖于码(Sno, Cno)

但S-L-C不是一个好的关系模式

  1. 插入异常。插入一个学生信息,但学生还没有选课?
  2. 删除异常。学生取消选课,如果所有选课都取消了?
  3. 修改复杂。学生转系?住处也要修改
  4. 数据冗余度大

原因:Sdept、Sloc部分函数依赖于码。

解决方法:S-L-C分解为两个关系模式,以消除这些部分函数依赖

  • SC(Sno, Cno, Grade)
  • S-L(Sno, Sdept, Sloc)

不存在非主属性对码的部分依赖

2NF:

若R∈1NF,且每一个非主属性完全函数依赖于码,则R∈2NF。

采用投影分解法将一个1NF的关系分解为多个2NF的关系,可以在一定程度上减轻原1NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。但并不能完全消除。

判断一个关系是否属于第二范式:

找出数据表中的所有码;
找出所有主属性和非主属性;
判断所有的非主属性对码的部分函数依赖。

6.2.5 3NF

3NF:

关系模式R<U,F> 中若不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z(Y不包含Z), 使得X→Y,Y→Z成立,Y$ \nrightarrow $X,则称R<U,F> ∈ 3NF。

若R∈3NF,则每一个非主属性既不部分依赖于码也不传递依赖于码

若R∈3NF,当且仅当任何时候,每个元组都含有一个主码来识别实体,同时有一组0个或多个相互独立的属性从不同方面描述这个实体。

6.2.6 BCNF

BCNF:

关系模式R<U,F>∈1NF,若X→Y且X不包含Y时X必含有码,则R<U,F> ∈BCNF。

等价于:每一个决定属性因素都包含码

若R∈BCNF

  • 所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖
  • 所有的主属性对每一个不包含它的码,也是完全函数依赖
  • 没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性

6.2.7 多值依赖

例:学校中某一门课程由多个教师讲授,他们使用相同的一套参考书。每个教员可以讲授多门课程,每种参考书可以供多门课程使用。

非规范化关系:

用二维表表示Teaching:

  • Teaching∈BCNF
  • Teaching具有唯一候选码(C,T,B), 即全码

Teaching模式中存在的问题:

  • 数据冗余度大
  • 插入操作复杂。某门课程增加一个教员?需要插入多个元组
  • 删除操作复杂。某门课程去掉一本参考书?需要删除多个元组
  • 修改操作复杂

多值依赖:(真的难记)

设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式, X、 Y和Z是U的子集,并且Z=U-X-Y。关系模式R(U)中多值依赖 X→→Y成立,当且仅当对R(U)的任一关系r,给定的一对(x,z)值,有一组Y的值,这组值仅仅决定于x值而与z值无关

多值依赖的另一个等价的形式化的定义:

在R(U)的任一关系r中,如果存在元组t,s 使得t[X]=s[X],那么就必然存在元组 w,v∈ r,(w,v可以与s,t相同),使得w[X]=v[X]=t[X],而w[Y]=t[Y],w[Z]=s[Z],v[Y]=s[Y],v[Z]=t[Z](即交换s,t元组的Y值所得的两个新元组必在r中),则Y多值依赖于X,记为X→→Y。 这里,X,Y是U的子集,Z=U-X-Y。

平凡多值依赖和非平凡的多值依赖

  • 若X→→Y,而Z=φ,则称X→→Y为平凡的多值依赖
  • 否则称X→→Y为非平凡的多值依赖

多值依赖的性质

(1)多值依赖具有对称性
若X→→Y,则X→→Z,其中Z=U-X-Y
(2)多值依赖具有传递性
若X→→Y,Y→→Z, 则X→→Z –Y
(3)函数依赖是多值依赖的特殊情况。
若X→Y,则X→→Y。
(4)若X→→Y,X→→Z,则X→→Y∪Z。
(5)若X→→Y,X→→Z,则X→→Y∩Z。
(6)若X→→Y,X→→Z,则X→→Y-Z,X→→Z -Y

多值依赖与函数依赖的区别

(1) 多值依赖的有效性与属性集的范围有关
(2)
若函数依赖X→Y在R(U)上成立,则对于任何Y’⊂Y均有X→Y’ 成立
多值依赖X→→Y若在R(U)上成立,不能断言对于任何Y’⊂Y有X→→Y’ 成立

6.2.8 4NF

4NF:

关系模式R<U,F>∈1NF,如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y(X不包含Y),X都含有码,则R∈4NF。

如果R ∈ 4NF, 则R ∈ BCNF

  • 不允许有非平凡且非函数依赖的多值依赖
  • 允许的非平凡多值依赖是函数依赖

6.2.9 规范化小结

  • 关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具
  • 目的:尽量消除插入、删除异常,修改复杂,数据冗余
  • 基本思想:逐步消除数据依赖中不合适的部分
    • 实质:概念的单一化

关系模式规范化的基本步骤

6.3 数据依赖的公理系统

逻辑蕴含:

对于满足一组函数依赖F的关系模式R <U,F>,其任何一个关系r,若函数依赖X→Y都成立,(即r中任意两元组t,s,若t[X]=s[X],则t[Y]=s[Y]),则称F逻辑蕴含X →Y

Armstrong公理系统

关系模式R <U,F >来说有以下的推理规则:
A1.自反律(Reflexivity):若Y ⊆ X ⊆ U,则X →Y为F所蕴含。
A2.增广律(Augmentation):若X→Y为F所蕴含,且Z ⊆ U,则XZ→YZ为F所蕴含。
A3.传递律(Transitivity):若X→Y及Y→Z为F所蕴含,则X→Z为F所蕴含。

导出规则:

根据A1,A2,A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则:
合并规则:由X→Y,X→Z,有X→YZ。(A2, A3)
伪传递规则:由X→Y,WY→Z,有XW→Z。(A2, A3)
分解规则:由X→Y及 Z⊆Y,有X→Z。(A1, A3)

引理1:

X→A1 A2…Ak成立的充分必要条件是X→Ai成立(i=l,2,…,k)

函数依赖闭包

在关系模式R<U,F>中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作F的闭包,记为F+。

例:

Armstrong公理系统是有效的、完备的

  • 有效性:由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F+中;
  • 完备性:F+中的每一个函数依赖,必定可以由F出发根据Armstrong公理推导出来

设F为属性集U上的一组函数依赖,X⊆U, XF+ ={A|X→A能由F 根据Armstrong公理导出},XF+称为属性集X关于函数依赖集F的闭包

求闭包的算法:

例:背下这些详细步骤

在这里插入图片描述

候选码求解方法

对关系模式R<U,F>,选取可能是候选码的属性集,求其函数依赖闭包,如果属性集的函数依赖闭包=U,则该属性集为候选码
三类属性
L类:仅出现在F的函数依赖左边
R类:仅出现在F的函数依赖右边
N类:没有出现在F的函数依赖中

定理1:L类属性必为任一候选码的成员
定理2:R类属性不在任何候选码中
定理3:N类属性必包含在任何候选码中


在这里插入图片描述

最小函数依赖集

定义:如果函数依赖集F满足以下条件,则称F为一个极小函数依赖集。也称为最小依赖集或最小覆盖。
(1)F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。
(2)F中不存在这样的函数依赖X→A,使得F与F-{X→A}等价。
(3)F中不存在这样的函数依赖X→A,X有真子集Z使得F-{X→A}U{Z→A}与F等价。

最小依赖集通用算法:

① 用分解的法则,使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性;
② 去掉多余的函数依赖:从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉,然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+,看X+是否包含Y,若是,则去掉X→Y;否则不能去掉,依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖;
③ 去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A,若要判Y为多余的,则以X→A代替XY→A是否等价?若A属于(X)+,则Y是多余属性,可以去掉。(以上步骤中,求出关系依赖集F,此时,在F的基础上,求出X或者Y的闭包,是否包含A)

注意:第三步求闭包使用的依赖集是第二步求出时的。

例:关系模式R(U,F)中,U=ABCDEG,F={B->D,DG->C,BD->E,AG->B,ADG->BC};求F的最小函数依赖集

最后建议这章还是找点题目来做,也是有一定占比的

随便找的几篇:

http://t.csdn.cn/aFuG9

http://t.csdn.cn/cUnNC考试更会考这种贴近生活的例子

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