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数据结构和算法-最小生成树（prim和krusakal）和最短路径问题（BFS和dijkastra和floyd）

news 2026/2/7 13:21:34

文章目录

  • 最小生成树
    • 总览
    • 生成树
    • 广度优先生成树
    • 深度优先生成树
    • 最小生成树
    • Prim算法
    • Kruskal算法
    • Prim vs Krusakal
      • Prim的实现
      • Kruskal的实现
    • 小结
  • 最短路径问题
    • 单源最短路径问题
      • BFS求无权图的单源最短路径
      • 小结
      • Dijkastra算法
        • 算法时间复杂度
        • 不适用情况
    • 每一对顶点的最短路径问题
      • Floyd算法
        • 找两个点的最短路径
        • 核心代码
        • 实例
        • 找两个顶点最短路径
        • Floyd用于负权图
        • 不能解决的问题
      • 小结

最小生成树

总览

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生成树

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广度优先生成树

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深度优先生成树

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最小生成树

针对的是带权连通图
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Prim算法

同一个图的最小生成树可能不唯一

从p城出发
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从农场出发也一样
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Kruskal算法

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Prim vs Krusakal

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Prim的实现

先找到最低代价的节点，每次将节点加入树后，需要更新各节点加入树的最低代价（即将原来的代价和个节点与加入节点的代价作比较）
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Kruskal的实现

查找并查集（如果用二叉树实现的）的根需要log2E
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小结

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最短路径问题

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单源最短路径问题

BFS求无权图的单源最短路径

首先访问2号顶点，然后再更新其相邻顶点后的结果
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然后1号顶点出队，相邻节点入队，同时更新各相邻节点
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然后6号顶点出队，更新相邻节点，同时各个相邻节点入队
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5号顶点没有相邻
所以到3号顶点处理
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7号顶点处理
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4号和8号相邻节点都被访问，所以没有处理

小结

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Dijkastra算法

BFS局限性（默认每条路径长度一样）
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初始化后，即更新初始节点及其相邻节点
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第一轮后
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第二轮后
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第三轮后
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第四轮后

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查找两个顶点的最短路径
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算法时间复杂度

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不适用情况

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每一对顶点的最短路径问题

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Floyd算法

初始时
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允许在v0中转
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允许在v0 v1中转
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允许在v0 v1 v2中转
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找两个点的最短路径

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核心代码

空间复杂度是有n*n个矩阵那么多
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实例

初始
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允许在v0中转
发现没有变化
从图可以发现v0没有进去的边，所以自然没法中转
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允许在v0 v1中转
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允许在v0 v1 v2中转
是已经基于之前v0 v1的中转结果的
例如v2到v3是基于中转v1的，但是在以v2中转的转换中是把它认为是相连的
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允许在v0 v1 v2 v3中转

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允许在v0 v1 v2 v3 v4中转
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找两个顶点最短路径

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Floyd用于负权图

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不能解决的问题

回路越多，路径越短

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小结

BFS 采用邻接矩阵是V的平方 邻接矩阵是V+E
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