第九部分 图论

目录

例

相关概念 

握手定理

例1

图的度数列

例

无向图的连通性

无向图的连通度

 例2

例3

有向图D如图所示，求 A, A2, A3, A4，并回答诸问题：

---

中间有几章这里没有写，感兴趣可以自己去学，组合数学跟高中差不多，这里也没写了，绝不是因为作者懒！

定义9 .1 无向图 G = < V , E >, 其中

(1) V ≠ ∅ 为顶点集，元素称为 顶点

(2) E 为 V & V 的多重集，其元素称为无向边，简称 边

例

G = <V,E>为无向图

V = { v 1, v2, v3,v4,v5}

E = {( v 1 , v 1 ), ( v 1 , v 2 ), ( v 2 , v 3 ), ( v 2 , v 3 ), ( v 2 , v 5 ), ( v 1 , v 5 ), ( v 4 , v 5 )}

定义9 .2 有向图 D =< V , E >, 只需注意 E 是 V × V 的多重子集

相关概念 

1. 图

① 可用 G 泛指图（无向的或有向的）

② V ( G ), E ( G ), V ( D ), E ( D )

③ n 阶图

2. 有限图

3. n 阶零图与平凡图

4. 空图 —— ∅

5. 用 e k 表示无向边或有向边

6. 顶点与边的关联关系

① 关联、关联次数

② 环

③ 孤立点

7. 顶点之间的相邻与邻接关系

8. 邻域与关联集

① v ∈ V ( G ) ( G 为无向图 )

v的邻域            N(v)={u|u∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u≠v}

v的闭邻域        (v)=N(v)∪{v}

v的关联集        I(v)={e|e∈E ( G ) ∧ e 与 v 关联 }

② v ∈ V ( D ) ( D 为有向图 )

v的后继元集        (v)={u|u∈V(D) ∧<v,u>∈E(D) ∧u≠v}

v的先驱元集         (v)= {u|u∈V(D) ∧<u,v>∈E(D) ∧u≠v}

v的邻域                (v)=(v)∪(v)

v的闭邻域            (v)=(v)∪{v}

9. 标定图与非标定图

10. 基图

定义9 .3

(1) 无向图中的平行边及重数

(2) 有向图中的平行边及重数        注意方向性

(3) 多重图

(4) 简单图

定义9 .4

(1) 设 G =< V , E > 为无向图 , ∀ v ∈ V , d ( v )—— v 的度数 , 简称度

(2) 设 D =< V , E > 为有向图

∀ v ∈ V

d + ( v )—— v 的出度

d − ( v )—— v 的入度

d ( v )—— v 的度或度数

(3)

∆ ( G )最大度

δ ( G )最小度

(4)

∆ + ( D )最大出度

δ + ( D )最小出度

∆ − ( D )最大入度

δ − ( D )最小入度

(5) 奇顶点度与偶度顶点

握手定理

定理9.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则

G 中每条边 ( 包括环 ) 均有两个端点，所以在计算 G 中各顶点 度数之和时，每条边均提供 2 度， m 条边共提供 2 m 度

定理9.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 

总度数为边数的两倍，入度和出度都等于边数

例1

无向图 G 有 16 条边， 3 个 4 度顶点， 4 个 3 度顶点，其余 顶点度数均小于 3 ，问 G 的阶数 n 为几？

解

本题的关键是应用握手定理

设

除 3 度与 4 度顶点外

还有 x 个顶点 v 1 , v 2 , …, v x

则

d ( v i ) ≤ 2 ， i =1, 2, …, x

于是得不等式

32 ≤ 24+2 x

得 x ≥ 4

阶数 n ≥ 4+4+3=11

图的度数列

V ={ v 1 , v 2 , …, v n } 为无向图 G 的顶点集，称 d ( v 1 ), d ( v 2 ), …, d ( v n ) 为 G 的 度数列

V ={ v 1 , v 2 , …, v n } 为有向图 D 的顶点集

D 的 度数列 ： d ( v 1 ), d ( v 2 ), …, d ( v n )

D 的 出度列 ： d + ( v 1 ), d + ( v 2 ), …, d + ( v n )

D 的 入度列 ： d − ( v 1 ), d − ( v 2 ), …, d − ( v n )

非负整数列 d =( d 1 , d 2 , …, d n ) 是 可图化的 ，是 可简单图化 的

度数列=入度列+出度列，对应元素

例

度数列={3,2,3,2}

出度列={2,1,2,1}

则求入读列

{1,1,1,1}

定义9 .5 设 G 1 =< V 1 , E 1 >, G 2 =< V 2 , E 2 > 为两个无向图 ( 两个有向 图 ) ，若存在双射函数 f : V 1 → V 2 , 对于 v i , v j ∈ V 1 , ( v i , v j ) ∈ E 1 当且仅当 ( f ( v i ), f ( v j )) ∈ E 2 （ < v i , v j > ∈ E 1 当且仅当 < f ( v i ), f ( v j )> ∈ E 2 ) 并且 , ( v i , v j ) （ < v i , v j > ）与 ( f ( v i ), f ( v j )) （ < f ( v i ), f ( v j )> ）的重数相 同，则称 G 1 与 G 2 是 同构 的，记作 G 1 ≅ G 2

图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性

能找到多条同构的必要条件，但它们全不是充分条件：

① 边数相同，顶点数相同

② 度数列相同

③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同 等

若破坏必要条件，则两图不同构

判断两个图同构是个难题

定义9.6

(1) n ( n ≥ 1) 阶无向完全图 —— 每个顶点与其余顶点均相邻的 无向简单图，记作 K n

简单性质：

边数

m = n ( n   − 1) /2

∆ = δ = n − 1

(2) n ( n ≥ 1) 阶 有向完全图 —— 每对顶点之间均有两条方向相 反的有向边的有向简单图

简单性质：

m = n ( n − 1)

∆ = δ = 2( n − 1)

∆ + = δ + = n − 1

(3) n ( n ≥ 1) 阶 竞赛图 —— 基图为 K n 的有向简单图

简单性质：

边数

m = n ( n 2 − 1)

∆ = δ = n − 1

定义9.7 n 阶k正则图——∆=δ=k 的无向简单图

简单性质：边数（由握手定理得）

m=nk/2

定义9 .8 G =< V , E >, G ′ =< V ′ , E ′ >

(1) G ′⊆ G —— G ′ 为 G 的 子图 ， G 为 G ′ 的 母图

(2) 若 G ′⊆ G 且 V ′ = V ，则称 G ′ 为 G 的 生成子图

(3) 若 V ′⊂ V 或 E ′⊂ E ，称 G ′ 为 G 的 真子图

(4) V ′ （ V ′⊂ V 且 V ′≠∅ ）的 导出子图 ，记作 G [ V ′ ]

(5) E ′ （ E ′⊂ E 且 E ′≠∅ ）的 导出子图 ，记作 G [ E ′ ]

定义9 .9 设 G =< V , E > 为 n 阶无向简单图，以 V 为顶点集，以 所有使 G 成为完全图 K n 的添加边组成的集合为边集的图， 称为 G 的 补图 ，记作 G 

若G≅ G , 则称G是自补图.

定义9 .10  给定图 G =< V , E > （无向或有向的）， G 中 顶点与 边的交替序列 Γ = v 0 e 1 v 1 e 2 … e l v l ， v i − 1 , v i 是 e i 的端点

(1) 通路与回路： Γ 为 通路 ；若 v 0 = v l ， Γ 为 回路 ， l 为 回路长 度

(2) 简单通路与回路：所有边各异， Γ 为 简单通路 ，又若 v 0 = v l ， Γ 为 简单回路

(3) 初级通路 ( 路径 ) 与初级回路 ( 圈 ) ： Γ 中所有顶点各异，则 称 Γ 为 初级通路 ( 路径 ) ，又若除 v 0 = v l ，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 Γ 为 初级回路 ( 圈 )

(4) 复杂通路与回路：有边重复出现

定理9 .3  在 n 阶图 G 中，若从顶点 v i 到 v j （ v i ≠ v j ）存在通路， 则从 v i 到 v j 存在长度小于或等于 n − 1 的通路

定理9 .4  在一个 n 阶图 G 中，若存在 v i 到自身的回路，则一 定存在 v i 到自身长度小于或等于 n 的回路

无向图的连通性

(1) 顶点之间的连通关系： G =< V , E > 为无向图

① 若 v i 与 v j 之间有通路，则 v i ∼ v j

② ∼ 是 V 上的等价关系 R ={< u , v >| u , v ∈ V 且 u ∼ v }

(2) G 的连通性与连通分支

① 若 ∀ u , v ∈ V ， u ∼ v ，则称 G 连通

② V / R ={ V 1 , V 2 ,…, V k } ，称 G [ V 1 ], G [ V 2 ], …, G [ V k ] 为 连通分 支 ，其个数 p ( G )= k ( k ≥ 1)

k =1 ， G 连通

(3) 短程线与距离

① u 与 v 之间的 短程线 ： u ∼ v ， u 与 v 之间长度最短的通路

② u 与 v 之间的 距离 ： d ( u , v )—— 短程线的长度

③ d ( u , v ) 的性质：

d ( u , v ) ≥ 0, u ≁ v 时 d ( u , v )= ∞

d ( u , v )= d ( v , u )

d ( u , v )+ d ( v , w ) ≥ d ( u , w )

无向图的连通度

删除顶点及删除边

G − v —— 从 G 中将 v 及关联的边去掉

G − V ′ —— 从 G 中删除 V ′ 中所有的顶点

G − e —— 将 e 从 G 中去掉

G − E ′ —— 删除 E ′ 中所有边

点割集与边割集

点割集与割点

定义9.11 G=<V,E>, V′⊂V

V ′ 为 点割集        —— p ( G − V ′ )> p ( G ) 且有极小性

v 为 割点              ——{ v } 为点割集

定义9 .12  G =< V , E >, E ′⊆ E

E ′ 是 边割集         —— p ( G − E ′ )> p ( G ) 且有极小性

e 是 割边 （桥）   ——{ e } 为边割集

点割集和边割集的两个要求

删去集合里的所有边或点，会增加连通分支

删去集合中的子集不会增加连通分支

 例2

点割集        {v5},{v6},{v1,v4}

割点            v5,v6

边割集        {e7},{e8},{e1,e2},{e1,e4,e6},{e2,e3,e9},{e1,e3,e9},{e2,e4,e6},{e3,e4,e5},{e1,e3,e5,e6},{e2,e4,e5,e9},{e1,e4,e5,e9},{e2,e3,e5,e9}

割边(桥)      e7,e8

定义9 .13  D =< V , E > 为有向图

v i → v j （ v i 可达 v j ） —— v i 到 v j 有通路

v i ↔ v j （ v i 与 v j 相互可达）

性质

→ 具有自反性 ( v i → v i ) 、传递性

↔ 具有自反性、对称性、传递性

v i 到 v j 的短程线与距离

类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同

( 无向图中 d ( v i , v j ) ，有向图中 d < v i , v j >) 及 d < v i , v j > 无对称性

 定义9.14 D=<V,E>为有向图

D 弱连通 ( 连通 )—— 基图为无向连通图

D 单向连通 —— ∀ v i , v j ∈ V ， v i → v j 或 v j → v i

D 强连通 —— ∀ v i , v j ∈ V ， v i ↔ v j

易知，强连通 ⇒ 单向连通 ⇒ 弱连通

判别法

定理9 .4  D 强连通当且仅当 D 中存在经过每个顶点至少一次 的回路

定理9 .5  D 单向连通当且仅当 D 中存在经过每个顶点至少一 次的通路

定义9.15   设 G =< V , E > 为一个无向图，若能将 V 分成 V 1 和 V 2 ( V 1 ∪ V 2 = V ， V 1 ∩ V 2 = ∅ ) ，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于 V 1 ，另一个属于 V 2 ，则称 G 为 二部图 ( 或称 二分

图 、 偶图 等 ) ，称 V 1 和 V 2 为 互补顶点子集 ，常将二部图 G 记为 < V 1 , V 2 , E > 又若 G 是简单二部图， V 1 中每个顶点均与 V 2 中所有的顶点相 邻 则称 G 为 完全二部图 ，记为 K r , s ，其中 r =| V 1 | ， s =| V 2 |

注意， n 阶零图为二部图

完全二部图V1集合每个点都与V2集合中每个点相连

定理9.6 无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈 

定义9 .16  无向图 G =< V , E > ， | V |= n ， | E |= m ，令 m ij 为 v i 与 e j 的关联次数，称 ( m ij ) n × m 为 G 的 关联矩阵 ，记为 M ( G )

定义9 .17  有向图 D =< V , E > ，令 则称 ( m ij ) n × m 为 D 的 关联矩阵 ，记为 M ( D )

 

定义9 .18  设有向图 D =< V , E >, V ={ v 1 , v 2 , …, v n }, E ={ e 1 , e 2 , …, e m }, 令为顶点 v i 邻接到顶点 v j 边的条数，称为 D 的 邻接矩 阵 ，记作 A ( D ) ，或简记为 A

定理9.7 设 A为有向图 D 的邻接矩阵，V={v1, v2, …, vn}为顶点集，则 A 的 l 次幂 Al （l≥1）中元素

为D中vi 到vj 长度为 l 的通路数，其中为vi 到自身长度为 l 的回路数，而为D中长度为 l 的通路总数，为D 中长度为 l 的回路总数

例3

有向图D如图所示，求 A, A2, A3, A4，并回答诸问题：

(1) D 中长度为 1, 2, 3, 4 的通路各有多少条？其中回路分别为多 少条？

(2) D 中长度小于或等于 4 的通路为多少条？其中有多少条回路？

 

(1)

D 中长度为 1 的通路为 8 条，其中有 1 条是回路

D 中长度为 2 的通路为 11 条，其中有 3 条是回路

D 中长度为 3 和 4 的通路分别为 14 和 17 条，回路分别 为 1 与 3 条

(2)

D 中长度小于等于 4 的通路为 50 条，其中有 8 条是回路

下标(i,i)的数的和为回路总数，(i,j)的数的和为通路总数

 定义9.19 设D=<V,E>为有向图. V={v1, v2, …, vn}, 令

称 (pij)n×n 为D的可达矩阵，记作P(D)，简记为由于∀vi ∈V，vi ↔vi ，所以P(D)主对角线上的元素全为1

由定义不难看出, D 强连通当且仅当P(D)为全1矩阵

下图所示有向图 D 的可达矩阵为