多重背包问题 ⅠⅡ Ⅲ

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出
输出一个整数，表示最大价值。

Input
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

Output
10

根据不同的数据范围，有不同的选择

Ⅰ.  数据范围   0<N,V≤100  0<vi,wi,si≤100      

直接写

//代码一
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair<int,int> PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=510,M=6010;
int n,m;
int v,w,s;
int f[N][M];
void solve()
{cin>>n>>m;for (int i=1;i<=n;i++){cin>>v>>w>>s;for (int j=1;j<=m;j++)for (int k=0;k<=s&&k*v<=j;k++)f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v]+k*w);}cout<<f[n][m];
}
signed main()
{ios;int T=1;//cin>>T;while (T--) solve();return 0;
}//代码二:降一维
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair<int,int> PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=510,M=6010;
int n,m;
int v,w,s;
int f[M];
void solve()
{cin>>n>>m;for (int i=1;i<=n;i++){cin>>v>>w>>s;for (int j=m;j>=v;j--)for (int k=0;k<=s&&k*v<=j;k++)f[j]=max(f[j],f[j-k*v]+k*w);}cout<<f[m];
}
signed main()
{ios;int T=1;//cin>>T;while (T--) solve();return 0;
}

Ⅱ.  数据范围   0<N≤1000，0<V≤2000，0<vi,wi,si≤2000      

通过二进制将每种物品按照个数的不同重新打包，再按01背包的方式选择

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair<int,int> PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=1e6+10;
int n,m;
int f[N],v[N],w[N];
int cnt;
void solve()
{cin>>n>>m;for (int i=1;i<=n;i++){int a,b,s;cin>>a>>b>>s;int k=1;while (k<=s){cnt++;v[cnt]=k*a;w[cnt]=k*b;s -=k;k *=2;}if (s>0){cnt++;v[cnt]=s*a;w[cnt]=s*b;}}for (int i=1;i<=cnt;i++)for (int j=m;j>=v[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);cout<<f[m];
}
signed main()
{ios;int T=1;//cin>>T;while (T--) solve();return 0;
}

Ⅲ.  数据范围   0<N≤1000，0<V≤20000，0<vi,wi,si≤20000

通过单调队列来更新状态

//代码一
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define int long long         //不开就不开吧
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair<int,int> PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=1010,M=2e4+10;
int n,m;
int f[N][M],q[M];
void solve()
{cin>>n>>m;for (int i=1;i<=n;i++){int v,w,s;cin>>v>>w>>s;for (int j=0;j<v;j++){int hh=0,tt=-1;for (int k=j;k<=m;k +=v){if (hh<=tt&&k-q[hh]>s*v) hh++;      //判断队头是否滑出窗口，队列中的v不能超过上限s个while (hh<=tt&&f[i-1][q[tt]]-(q[tt]-j)/v*w<=f[i-1][k]-(k-j)/v*w) tt--;q[++tt]=k;f[i][k]=f[i-1][q[hh]]+(k-q[hh])/v*w;}}}cout<<f[n][m];
}
int main()
{ios;int T=1;//cin>>T;while (T--) solve();return 0;
}//代码二 降一维
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define int long long         //不开就不开吧
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair<int,int> PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=2e4+10;
int n,m;
int f[N],g[N],q[N];
void solve()
{cin>>n>>m;for (int i=1;i<=n;i++){int v,w,s;cin>>v>>w>>s;memcpy(g,f,sizeof f);       //滚动数组，备份上一次的状态for (int j=0;j<v;j++){int hh=0,tt=-1;for (int k=j;k<=m;k +=v){if (hh<=tt&&k-q[hh]>s*v) hh++;      //判断队头是否滑出窗口，队列中的v不能超过上限s个while (hh<=tt&&g[q[tt]]-(q[tt]-j)/v*w<=g[k]-(k-j)/v*w) tt--;q[++tt]=k;f[k]=g[q[hh]]+(k-q[hh])/v*w;}}}cout<<f[m];
}
int main()
{ios;int T=1;//cin>>T;while (T--) solve();return 0;
}