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前面介绍了两种不同的压缩感知实现：
图像压缩感知的MATLAB实现（OMP）
压缩感知的图像仿真（MATLAB源代码）

上述两种方法还存在着“速度慢、精度低”等不足。
本篇介绍一种新的方法。

压缩感知（Compressed Sensing）是一种信号处理技术，旨在通过取样和重构过程中的稀疏性或低维性的先验知识，从少量的测量数据中恢复原始信号。与传统的信号采样方式相比，压缩感知可以以更低的采样率获取信号，并在一定程度上保持较高的重构质量。

以下是压缩感知的一些重要知识点：

1. 稀疏性：压缩感知假设信号在某个表示域下是稀疏的，即信号能够用较少的非零系数表示。这意味着信号的大部分能量集中在少数几个基函数上，而其他系数很接近于零。

2. 测量矩阵：压缩感知使用一个测量矩阵来计算信号的投影测量。测量矩阵可以是随机矩阵或基于不同的测量方法生成的。测量矩阵的选择对于压缩感知的性能具有重要影响。

3. 重构算法：压缩感知利用稀疏表示的先验知识，通过最小化正则化函数来恢复原始信号。常用的重构算法包括基于L1范数的贪婪迭代算法（如OMP、CoSaMP）、基于迭代阈值的算法（如IST、FISTA）和基于凸优化的算法（如基于内点法的L1优化）。

4. 重构性能：压缩感知的重构性能用于衡量在给定的测量数量下，重构的信号与原始信号之间的误差。重构性能受到信号的稀疏度、测量矩阵的设计和重构算法的选择等因素的影响。

MATLAB和其他数学软件提供了用于压缩感知的工具箱和函数，如 l1magic 和 SPGL1。这些函数可以用于生成测量矩阵、实现重构算法，并进行压缩感知的仿真和实验。

压缩感知在图像处理、语音信号处理、雷达成像、医学成像等领域都得到了广泛的应用。它提供了一种新的思路和方法，可以在低采样率下实现高质量的信号重构，并对传统信号采样理论进行了一定的突破。

MATLAB实现

针对网络上沙威老师的代码中所使用小波变换进行了修改。
将其中自定义的dwt函数修改了了使用MATLAB自带的dwt2函数。

MATLAB代码

MATLAB代码实现如下：

clc;clear%  读文件
X=imread('lenagray.bmp');
X=double(X);
[a,b]=size(X);% %  小波变换矩阵生成
% ww=DWT(a);
% % ww=a;
% %
% % %  小波变换让图像稀疏化（注意该步骤会耗费时间，但是会增大稀疏度）
% X1=ww*sparse(X)*ww';
% % % X1=X;
% X1=full(X1);
%
% X1=X;[LL1, LH1, HL1, HH1] = dwt2(X, 'haar');
[LL2, LH2, HL2, HH2] = dwt2(LL1, 'haar');
[LL3, LH3, HL3, HH3] = dwt2(LL2, 'haar');
[LL4, LH4, HL4, HH4] = dwt2(LL3, 'haar');LL3 = [LL4, LH4; HL4, HH4];
LL2=[LL3, LH3; HL3, HH3];
LL1=[LL2, LH2; HL2, HH2];
X1=[LL1, LH1; HL1, HH1];%  随机矩阵生成
M=190;
R=randn(M,a);
% R=mapminmax(R,0,255);
% R=round(R);%  测量值
Y=R*X1;%  OMP算法
%  恢复矩阵
X2=zeros(a,b);
%  按列循环
for i=1:b%  通过OMP，返回每一列信号对应的恢复值（小波域）rec=omp(Y(:,i),R,a);%  恢复值矩阵，用于反变换X2(:,i)=rec;
end%  原始图像
figure(1);
imshow(uint8(X));
title('原始图像');%  变换图像
figure(2);
imshow(uint8(X1));
title('小波变换后的图像');%  压缩传感恢复的图像
figure(3);
%  小波反变换
% X3=ww'*sparse(X2)*ww;
% X3=X2;
% X3=full(X3);
% X3=idwt2(X2);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 执行逆小波变换
[LL1, LH1, HL1, HH1] = partitionMatrix(X2);
[LL2, LH2, HL2, HH2] = partitionMatrix(LL1);
[LL3, LH3, HL3, HH3] = partitionMatrix(LL2);
[LL4, LH4, HL4, HH4] = partitionMatrix(LL3);% 第四级逆变换
LL3 = idwt2(LL4, LH4, HL4, HH4, 'haar');% 第三级逆变换
LL2= idwt2(LL3, LH3, HL3, HH3, 'haar');% 第二级逆变换
LL1 = idwt2(LL2, LH2, HL2, HH2, 'haar');% 第一级逆变换，得到原始图像
X3 = idwt2(LL1, LH1, HL1, HH1, 'haar');%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%imshow(uint8(X3));
title('恢复的图像');%  误差(PSNR)
%  MSE误差
errorx=sum(sum(abs(X3-X).^2));
%  PSNR
psnr=10*log10(255*255/(errorx/a/b))%  OMP的函数
%  s-测量；T-观测矩阵；N-向量大小
function hat_y=omp(s,T,N)
Size=size(T);                                     %  观测矩阵大小
M=Size(1);                                        %  测量
hat_y=zeros(1,N);                                 %  待重构的谱域(变换域)向量
Aug_t=[];                                         %  增量矩阵(初始值为空矩阵)
r_n=s;                                            %  残差值for times=1:M;                                  %  迭代次数(稀疏度是测量的1/4)for col=1:N;                                  %  恢复矩阵的所有列向量product(col)=abs(T(:,col)'*r_n);          %  恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)end[val,pos]=max(product);                       %  最大投影系数对应的位置Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)];                       %  矩阵扩充T(:,pos)=zeros(M,1);                          %  选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零）aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s;           %  最小二乘,使残差最小r_n=s-Aug_t*aug_y;                            %  残差pos_array(times)=pos;                         %  纪录最大投影系数的位置if (norm(r_n)<0.9)                            %  残差足够小break;end
end
hat_y(pos_array)=aug_y;                           %  重构的向量endfunction [X1, X2, X3, X4] = partitionMatrix(X)
% 获取矩阵X的大小
[m, n] = size(X);% 将矩阵X划分为四等份
X1 = X(1:m/2, 1:n/2); % 左上角子矩阵
X2 = X(1:m/2, n/2+1:end); % 右上角子矩阵
X3 = X(m/2+1:end, 1:n/2); % 左下角子矩阵
X4 = X(m/2+1:end, n/2+1:end); % 右下角子矩阵
end

输出结果

输出结果如下，效果一般，而且速度较慢。

参考知识点

MATLAB小波变换函数

小波变换是一种信号处理技术，通过在时间-频率域中使用基于小波的函数进行信号分析。小波变换在处理非平稳信号和图像时特别有用，可以将信号分解为不同频率的成分。它在数据压缩、去噪、特征提取等领域有广泛应用。

MATLAB中提供了用于二维离散小波变换的函数 dwt2，可以将图像进行小波分解。该函数执行的是多级离散小波变换，将图像分解为多个尺度的近似系数和细节系数。具体来说，dwt2函数的语法如下：

[C, S] = dwt2(X, wavelet)

其中，

• X 是输入的二维图像；
• wavelet 是指定的小波基函数，比如 'haar'、'db1' 等；
• C 是包含小波变换系数的矩阵；
• S 是描述小波变换结果各层的结构体。

你可以通过调用dwt2函数来执行二维离散小波变换，得到图像的小波分解系数和结构信息。然后，你可以进一步对获得的系数进行处理，比如重构原始图像、进行图像压缩、图像增强等。

需要注意的是，小波变换是一种复杂的信号处理技术，需要一定的理论基础和实践经验来使用和理解。

自定义函数

网络上沙威老师的dwt版本如下：

function ww=DWT(N)
[h,g]=wfilters('haar','d');      %  分解低通和高通滤波器
% N=256;                           %  矩阵维数(大小为2的整数幂次)
L=length(h);                       %  滤波器长度
rank_max=log2(N);                  %  最大层数
rank_min=double(int8(log2(L)))+1+3;  %  最小层数
ww=1;   %  预处理矩阵
%  矩阵构造
for jj=rank_min:rank_maxnn=2^jj;%  构造向量p1_0=sparse([h,zeros(1,nn-L)]);p2_0=sparse([g,zeros(1,nn-L)]);%  向量圆周移位for ii=1:nn/2p1(ii,:)=circshift(p1_0',2*(ii-1))';p2(ii,:)=circshift(p2_0',2*(ii-1))';end%  构造正交矩阵w1=[p1;p2];mm=2^rank_max-length(w1);w=sparse([w1,zeros(length(w1),mm);zeros(mm,length(w1)),eye(mm,mm)]);ww=ww*w;clear p1;clear p2;
end

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