【数学基础】

『 第1讲 高等数学预备知识 』

1.1 函数的概念与特性

• 函数
• 反函数：函数与反函数的图像、对称
• 复合函数

函数的四种特性

• 有界性：“完全包围”，指明区间，无界
• 单调性：定义法、求导法
• 奇偶性：特殊的奇偶函数，特点，悬链线
• 周期性

【 重要结论 】

• 七条重要结论（p4）

1.2 函数的图像

直角坐标系下的图像

• 常见图像
  • 基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
    • 常数函数：作用
    • 幂函数：图像，定义域、值域，常用幂函数，单调性
    • 指数函数：图像，定义域、值域，单调性，常用指数函数，极限，特殊函数值
    • 对数函数：图像，定义域、值域，单调性，常用对数函数，极限，特殊函数值，常用公式（幂指函数）
    • 三角函数：图像，定义域、值域，奇偶性，周期性，有界性，特殊函数值
      • 正弦函数&余弦函数
      • 正切函数&余切函数
    • 反三角函数：图像，定义域、值域，单调性，奇偶性，有界性，性质
      • 反正弦函数&反余弦函数
      • 反正切函数&反余切函数
  • 初等函数：幂指函数
  • 分段函数：绝对值函数，符号函数，取整函数、两个注意点
• 图像变换
  • 平移变换：左右、上下
  • 对称变换：x轴、y轴、原点、y=x、绝对值
  • 伸缩变换：水平伸缩、垂直伸缩

极坐标系下的图像

• 描点法画常见图像
  • 心形线
  • 玫瑰线
  • 阿基米德螺线
  • 伯努利双纽线
• 直角坐标系观点画极坐标系下图像：画直角系下r,θ图像，对应到极坐标系下

参数方程

• 摆线：外摆、平摆、内摆
• 星形线

1.3 常用基础知识

• 数列
  • 等差数列
  • 等比数列
  • 常见数列前n项和
• 【 三角函数 】
  • 三角函数基本关系
  • 诱导公式
  • 特殊的三角函数值
  • 重要公式：倍角公式、半角公式、和差公式、积化和差公式/和差化积公式、万能公式
• 指数运算法则
• 对数运算法则
• 一元二次方程基础
• 因式分解公式
• 阶乘与双阶乘
• 【 常用不等式 】

【 情报#1 】

• 神秘的数字0/1
• 相同单调性替换放缩，简化计算

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『 第2讲 数列极限 』

2.1 引言

2.2 求数列极限

• 证明1/2：定义 / 性质
  • 【 三部曲 / ε语言 】
  • 数列极限定义：四要素
  • 收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、推论
• 运算规则
• 证明3：【 夹逼准则 】
• 证明4：【 单调有界准则 】

【 情报#2 】

• 脱帽 / 带帽 公式
• 重点研究不等关系
• 十大不等式
• 无界变量但不是无穷大量
• 数列收敛，数列子列亦收敛，且极限值相同
• {An}发散 <= 至少一个子列收敛，或两个子列收敛 但收敛值不同
• 普遍规律：存在即唯一
• 思路：
  • 证明An → 0，转化为| An | → 0
  • 单调递推式 => 单调有界准则
• 证明1：①先写距离，另起＜ε ②反解除n的范围：n＞g(ε) ③取N=[ g(ε) ] + 1

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