xmu 离散数学 卢杨班作业详解【8-12章】

第八章 树

2

(2)

设有k片树叶

$2\ast m=2\ast 4+3\ast 3+k$

$n=2+3+k$

$m=n-1$

联立解得k=9

T中有9片树叶

3

有三颗非同构的生成树

4

(1)

c --abc

e–abed

f–dgf

h–abhgd

(2)

T的树枝a,b,d,g,对应的基本割集系统为{a,c,e,h},{b,c,e,h},{d,e,h,f},{g,f,h}

5

6

(1)

$((a+b\ast c)\ast d-e)/(f+g)+h\ast i\ast j$

(2)

$+/-\ast +a\ast bcde+fg\ast \ast hij$

(3)

$abc\ast +d\ast e-fg+/hi\ast j\ast +$

8

简单图：不含环和平行边

不一定是树。未保证连通

10

在树中，仅有分支点和树叶点

故

$i+t=n$

又因边数m为$i\ast r$

m=n-1

$i+t=i\ast r+1\leftrightarrow t=i\ast (r-1)+1$

第九章

4

（3）偶数个顶点，奇数条边

（4）奇数个顶点，偶数条边

6

（2）是欧拉图，而不是哈密顿图

（3）是哈密顿图，而不是欧拉图

8

11

A-D-C-B-A

第十章

2

deg(R1)=5

deg(R2)=3

deg(R0)=12

4

通过画图可知，无论怎样，两图都会有相交的边，故为非平面图

5

6

(1)点色数$\chi$

将原图标号，可得，1234为4阶圈，偶数阶，点色数为2。5与1,3不可同色，又1,3不同色，故色数+1。同理可知6,7。5,6,7不相邻，故可使用同一颜色着色。得出结论点色数$\chi$为3

(2)面色数${\chi }^{\prime }$

2与1,3相邻，与4不相邻，1,3不相邻。故1234的面色数为2。5与2相邻，与1,3不相邻。故可用于1,3同色的着色。6同理。故面色数为${\chi }^{\prime }$为2

7

实际为着色问题。要求有同时选修的课程，考试时间不同，也就是着色颜色不同。

1 2 3 5为4阶圈，偶数阶，点色数为2。4与1,3相邻，4与1,3颜色不同。1,3相邻，颜色不同。故点色数为3。至少需要3个

第十一章

1

(1)$A_5^3=5\times 4\times 3=60$ 种

(2)$5^3=125$ 种

4

(1)

$\frac{A_{10}^{10}}{A_4^4\times A_3^3\times A_3^3}=\frac{10!}{4!\times 3!\times 3!}=4200$ 种

(2)

$\frac{A_7^7}{A_3^3\times A_3^3}=140$ 种

5

(1)

要求a之间不相邻，则将a之间的4个空 有顺序的插入{b c d e}即可。

$A_4^4=24$ 种

(2)

先将bcde排序，再往其中插入a。要求互不相邻，则内部的3个空一定得有a。多出的一个a插在bcde内部+外部共5个空其中一个即可

$A_4^4\times C_5^1=120$ 种

7

盒子中容纳球可能的情况有：

(1)

2 2 0

$ {C_4^2\times C_2^2\times C_0^0\over A_2^2\times A_2^2 }\times A_3^3=9$ 种

(2)

2 1 1

$ {C_4^2\times C_2^1\times C_1^1\over {A_2^2}}\times A_3^3 =36$ 种

11

用全部情况减去5,6相邻

$A_9^7-\frac{A_8^7}{A_2^2}=161280$ 种

16

(1)不同的二元关系：

3元集的运算表共有9个位置，每个位置有3个值可选。故有$3^9=19683$ 个不同的二元关系

(2)自反的关系

自反的关系，对角线的三个位置为$<x,x>=x$ 固定。其余6个位置，每个位置有3个值可选。故有$3^6=729$ 个自反的二元关系

(3)对称的关系

转为三角矩阵，只需确定对角线+右上角即可。故有$3^6=729$ 个对称的二元关系

(4)自反且对称的关系

转为三角矩阵，对角线的三个位置为$<x,x>=x$ 固定，只需确定右上角即可。故有$3^3=27$ 个自反且对称的二元关系

(5)反对称的关系

$3^9-3^6=18954$ 个反对称的二元关系

第十二章

1

(1)

该递推方程的特征方程是 $x^2-2x-2=0$ ，特征根是

$x_1=1-\sqrt{3},x_2=1+\sqrt{3}$

通解为$c_1(1-\sqrt{3}{)}^n+c_2(1+\sqrt{3}{)}^n$

带入初值$a_0=1,a_1=3$
$$\begin{gathered} c_1+c_2=1 \\ {c}_1(1-\sqrt{3})+c_2(1+\sqrt{3})=3 \\ 解得c_1=-\frac{\sqrt{3}}{3},c_2=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$
(3)

该方程的常系数线性齐次递推方程的特征方程是 $x^2-3x+2=0$ ，特征根是

$x_1=1,x_2=2$

齐次方程通解为$c_1{1}^n+c_2{2}^n$

设特解形式为

$H\ast (n)=q_{1}n$ ，其中$q_1$ 为待定系数，带入原式
$$\begin{gathered} q_{1}n-3q_1(n-1)+2q_1(n-2)=1 \\ 3q_1-4q_1=1 \\ 解得q_1=-1 \end{gathered}$$
因此通解为$a_n=c_1+c_2{2}^n-n$

带入初值得$a_n=3\times 2^n-n+1$

3

$a_n=7a_{n-1}+8^{n-1}-a_{n-1}$,$a_1=7$

齐次特征方程为

$x^2-6x=0$

特征根为0或6，0舍去

齐次通解为$a_n=c_1\times 6^n$

设特解形式为

$H\ast (n)=q_1{8}^n$ ，其中$q_1$ 为待定系数，带入原式

$q_1{8}^n=6\times 8^{n-1}+8^{n-1}$,$q_1=\frac{7}{8}$

因此通解为$a_n=c_1{6}^n+78^{n-1}$

带入初值,通解为$a_n=\frac{6^n+8^n}{2}$

13

原题可理解为x1+x2+x3+x4=6且xi不超过3的非负整数解的个数。

G(y) = (1+y+y${}^2$+y${}^3$)${}^4$ = (1+2y+3y${}^2$+4y${}^3$+3y${}^4$+2y${}^5$+y${}^6$)${}^2$ = 1+…+44y${}^6$+…

​ N = 44.

17

指数生成函数为

Ge(x) = (1+x+$\frac{x^2}{2!}$+$\frac{x^3}{3!}$)(1+x+$\frac{x^2}{2!}$)(1+x+$\frac{x^2}{2!}$+$\frac{x^3}{3!}$+$\frac{x^4}{4!}$+$\frac{x^5}{5!}$)

化简得$x^4$ 的系数是71*$\frac{x^4}{4!}$ ，因此a4 = 71.

若为偶数，末位为2，对应的指数生成函数为

Ge(x) = (1+x+$\frac{x^2}{2!}$+$\frac{x^3}{3!}$)(1+x)(1+x+$\frac{x^2}{2!}$+$\frac{x^3}{3!}$+$\frac{x^4}{4!}$+$\frac{x^5}{5!}$)

化简得$x^3$的系数是20*$\frac{x^3}{3!}$ ， 因此a3 = 20.