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一、 AVL树的概念

map、multimap、set、multiset 在其文档介绍中可以发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成$O(N)$，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年
发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差（简称平衡因子，balance factor）的绝对值不超过1（-1/0/1）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在$O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

二、AVL树节点的定义

AVL树的节点是三叉链结构：即parent、left和right，它们分别指向当前节点的父节点、左子节点和右子节点。通过这种方式，可以在$O(1)$的时间内找到一个节点的父节点、左子节点和右子节点。

namespace AVL
{template<class K, class V>struct AVLTreeNode {AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent; //指向父节点的指针pair<K, V> _kv;int _bf; // 平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}};template<class K, class V>class AVLTree{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;public:private:Node* _root = nullptr;};
}

三、AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

插入在左平衡因子-1，插入在右平衡因子+1

是否继续更新的依据：parent所在子树的高度是否变化

1. parent->_bf == 0说明之前parent->_bf是 1 或者 -1 说明之前parent一边高一边低，这次插入填上矮的那边，parent所在子树高度不变，不需要继续往上更新
   

2. parent->_bf == 1或-1说明之前是parent->_bf = 0，两边一样高，现在插入一边更高了，parent所在子树高度变了，继续往上更新
   

3. parent->_bf == 2或-2，说明之前parent->_bf == 1或者-1，现在插入严重不平衡，违反规则，就地处理–旋转

bool insert(const pair<K, V>& kv)
{// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中// 空树直接构建根if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first) // 大了往右边走{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first) // 小了往左边走{parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;// 相等不插入}}//开始插入cur = new Node(kv);// 新插入的节点// 小的插入左，大的插入右if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;cur->_parent = parent;// 三叉链，不要忘记更新父指针}else{parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏// 此时需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性while (parent) // parent为空，也就更新到根停止{// 更新平衡因子// 新增在左，parent->bf--;// 新增在右，parent->bf++;if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}//检测平衡因子if (parent->_bf == 0){break;// 无需继续更新}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 插入前parent的平衡因子是0，插入后parent的平衡因为为1 或者 - 1 ，说明以parent为根的二叉树// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// parent的平衡因子为-2/2，违反了AVL树的平衡性// 需要对以 parent 为根的树进行 旋转 处理// 旋转break; // 旋转完成后，原 parent 为根的子树高度降低，已经平衡，不需要再向上更新}else{assert(false); // 平衡因子异常：绝对值大于2}}return true;
}

四、AVL树的旋转

在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时可通过旋转调整树的结构，使之平衡化。

旋转的目的:

• 让这颗子树左右高度不超过1
• 旋转过程中继续保持是搜索树
• 更新调整孩子节点的平衡因子
• 让这颗子树的高度跟插入前保持一致

根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入 较高 $左$子树的$左$侧—左左：右单旋

在插入前，图中AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树（注意：此处不是左孩子，图中a/b/c是高度为 h 的AVL子树）中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡

要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 60可能是根节点，也可能是子树，如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点，如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

这里举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解

h == 0，则a/b/c是空树：

h == 1：

h == 2的情况已经有很多种了，随着h的增加情况会越来越复杂

看图写代码：

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 30的右变成60的左parent->_left = subLR;if (subLR != nullptr) // 30的右不为空，更新_parent指针{subLR->_parent = parent;}Node* ppNode = parent->_parent;// 60变成30的右parent = subL->_right;parent->_parent = subL;//不要忘记更新parent的父指针if (_root == parent) // parent就是根//if (ppNode == nullptr) //也可以使用这个判断条件{_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else // parent是左或右子树{// parent是左就把subL链接到左，是右就链接到右if (parent == ppNode->_left){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;// 同样不要忘记更新subL的父指针}// 最后更新parent和subL的平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;			
}

2. 新节点插入较高$右$子树的$右$侧—右右：左单旋

左单旋实现及情况考虑可参考右单旋

h == 0的情况：

h == 1：

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;// 60的左变成30的右parent->_right = subRL;// 更新subRL的父指针if (subRL){subRL->_parent = parent;}Node* ppNode = parent->_parent;// 30变成60的左subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//if (_root == parent)if (ppNode == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (parent == ppNode->_left){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

像下图的情况简单的单旋已经不能正确调整平衡，需要使用双旋（不同轴点的单旋）：

3. 新节点插入较高$左$子树的$右$侧—左右：先左单旋再右单旋

a/d是高度为 h 的AVL树
b/c是高度为 h - 1 的AVL树

h == 0：

h == 1：

看图写代码：

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;// 对30左单旋，对90右单旋RotateL(parent->_left);RotateR(parent);// 最后更新平衡因子if (bf == 0) // subLR自己是新增{parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1) // 在subLR的左新增{parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1) // 在subLR的右新增{parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);// 异常处理}
}

4. 新节点插入较高$右$子树的$左$侧—右左：先右单旋再左单旋

h == 0：

h == 1：

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

总结：
假如以 parent 为根的子树不平衡，即 parent 的平衡因子为 2 或者 -2 ，分以下情况考虑:

1. parent 的平衡因子为 2，说明 parent 的右子树高，设 parent 的右子树的根为 subR
   • 当 subR 的平衡因子为 1 时，执行左单旋
   • 当 subR 的平衡因子为 -1 时，执行右左双旋
2. parent 的平衡因子为 -2 ，说明 parent 的左子树高，设 parent的左子树的根为 subL
   • 当 subL 的平衡因子为 -1 是，执行右单旋
   • 当 subL 的平衡因子为 1 时，执行左右双旋

旋转完成后，原 parent 为根的子树高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

insert 时平衡因子检测的整体代码：

while (parent) // parent为空，也就更新到根停止
{// 更新平衡因子// 新增在左，parent->bf--;// 新增在右，parent->bf++;if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}//检测if (parent->_bf == 0){break;// 无需继续更新}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 插入前parent的平衡因子是0，插入后parent的平衡因为为1 或者 - 1 ，说明以parent为根的二叉树// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// parent的平衡因子为-2/2，违反了AVL树的平衡性// 需要对以 parent 为根的树进行 旋转 处理if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) // 右单旋{RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) // 左单旋{RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) // 左右双旋{RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) // 右左双旋{RotateRL(parent);}else{assert(false);// 平衡因子异常}break; // 旋转完成后，原 parent 为根的子树高度降低，已经平衡，不需要再向上更新}else{assert(false); // 平衡因子异常：绝对值大于2}
}

AVL树的整体代码：AVL树的简单模拟实现

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五、AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树
   如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
   每个节点子树高度差的绝对值不超过1（注意节点中如果有平衡因子，还需验证节点的平衡因子是否计算正确

int Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;int lh = Height(root->_left);int rh = Height(root->_right);return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}bool IsBalance()
{return IsBalance(_root);
}bool IsBalance(Node* root)
{if (root == nullptr){return true;}int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){std::cout << root->_kv.first << " 平衡因子异常" << std::endl;return false;}return abs(rightHeight - leftHeight) < 2&& IsBalance(root->_left)&& IsBalance(root->_right);
}

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六、AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操 作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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