保研线性代数机器学习基础复习2

1.什么是群（Group）？

对于一个集合 G 以及集合上的操作 ，如果G  G-> G，那么称（G，）为一个群，并且满足如下性质：

• 封闭性：
• 结合性：
• 中性元素：
• 逆元素：

2.什么是阿贝尔群（Abelian group）？

满足交换（commutative）特征的群，称为阿贝尔群。

 3.（，+）和（，+）是阿贝尔群吗？说明理由。

• 满足封闭性：
• 满足结合性
• 中性元素是：
• 逆元素是：
• 满足交换性

4.（，+）是阿贝尔群吗？

是

5.什么是一般线性群（general linear group）？

讨论（，*）可逆/正则/非奇异方阵以及关于方阵的multiply的操作，是群，但是不是阿贝尔群，因为矩阵乘法不满足交换性。

• 封闭性和结合性同一般矩阵
• 中性元素：单位矩阵
• 逆元素：对于任意矩阵其逆元素是它的逆矩阵

6.什么是实数向量空间/线性空间（vector space）？

对于向量空间V=（V，+，*）拥有两种操作：

• +：V操作V得到V （是向量的add操作，每两个向量的逐个元素相加）
•  *：实数R操作V得到V （是标量乘法scale操作，用向量乘以标量）

同时满足下列条件：

• （V，+）是一个阿贝尔群
• 分配性：
• 结合性：
• 中性元素：1（对于*，因为+是阿贝尔群）

7.举例一些常见的线性空间？

• n维向量空间  

• m行n列矩阵

• 复数域可以看做是实数域上的线性空间

8.什么是向量子空间（Vector Subspace）？

如果向量空间，并且，并且U也是满足add和scale的向量空间。

例如齐次线性方程组的解是Rn的向量子空间，但是非齐次线性方程组

的解就不是Rn的子空间。任何一个Rn的子空间都是齐次线性方程组的解。

9.什么是线性组合（Linear Combination）？

首先考虑向量空间V，，，有称是向量的线性组合。

10.什么是线性无关（Linear Independent）？

考虑一个向量空间V，其中，如果存在线性组合满足，其中至少一个λ!=0，那么说明线性相关（Linear dependent），但是如果仅仅存在所有，那么说明线性无关（Linear Independent）。

11.寻找线性无关向量的方法？

• 首先要确定的是k个向量要么线性无关，要么线性相关，不可能存在第三种情况
• 如果至少一个向量是0向量，那么他们一定线性相关。如果两个向量，并且他们相同，那么也一定线性相关。
• 如果其中一个向量xi是另一个向量xj的倍数，或者其中一个向量x可以由其他向量线性表示
• 使用高斯消元法对进行消元，初等变换成列向量之后，如果所有列向量都是pivot column，那么这k个线性无关，如果存在至少一个non-pivot column，那么说明这k个列向量线性相关。

12.如果m>k，那么x1，...，xm线性相关