线性代数笔记23--马尔可夫矩阵、傅里叶级数

1. 马尔可夫矩阵

例子
$$A=\left[\begin{array}{ccc}.1& .001& .3\\ .2& .099& .3\\ .7& 0& .4\end{array}\right]$$

马尔可夫矩阵满足条件

• $\lambda =1为特征值$
• 其他特征值$\forall |{\lambda }_i|<1$
• $\forall a_{ij}\ge 0,\forall {\sum }_{i=0}^n{a}_{ik}=1$

为什么$\lambda =1$一定为其特征值

$$A-I=\left[\begin{array}{ccc}-.9& .001& .3\\ .2& -.001& .3\\ .7& 0& -.6\end{array}\right]$$
把所有非第一行加到第一行，可以把第一行变为全$0$。

所以矩阵$A-I$为奇异矩阵。

也就是向量$(1,1,1)\in N((A-I{)}^{\top })$，即$\lambda =1$是$A^{\top }$的一个特征值。

引入

$A^{\top }与A$有相同的特征值，当$A$为方阵时。

知乎证明

$$\begin{gathered} detA=det{A}^{\top } \\ detA-\lambda I=det(A-\lambda I{)}^{\top }=det{A}^{\top }-\lambda I \\ detA-\lambda I=det{A}^{\top }-\lambda I \end{gathered}$$
对于$detA-\lambda I=0与det{A}^{\top }-\lambda I=0$

可以将他们化为相同的主对角线的形式，即关于$\lambda$的$n$阶多项式。

所以他们的特征值相同。

对$A$化为$R$形式的行变化，可以同样对$A^{\top }$施行列变换为$L$。

且$L=R^{\top }$。

所以$\lambda =1$是马尔可夫矩阵的一个特征向量。

1.1 应用

预测

$u_{k+1}=A{u}_k$

人口迁移

假设某一时间内，$c$州到$d$州人口迁移组成。

$$A=\left[\begin{array}{cc}0.9& 0.2\\ 0.1& 0.8\end{array}\right]$$

给定初值$cd$州人口初值，我们则可以预测未来变化。

$$\left[\begin{array}{c}{u}_c\\ u_d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1000\end{array}\right]$$

$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=0.7$$

特征向量
$$X_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]X_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$$

稳态方程
$$u_k=c_1\times 1^k\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+c_2\times (0.7{)}^k\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$$
由于
$$u_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 1000\end{array}\right]$$
可以求得
$$c_1=1000/3,c_2=2000/3$$
再根据公式即可预测$k$年后人口状况了。

2. 傅里叶级数

2.1 标准正交基的投影

给定空间$R^n$上的一组标准正交基

$q_1,q_2\cdots q_n$

$$\begin{gathered} \forall 向量V可被表示为 \\ v=\sum _{i=1}^n{x}_i{q}_i \end{gathered}$$

如何快速求得$x_i$

$$q_i^{\top }v=[00\cdots x_i\cdots 0]$$

矩阵形式
$$\begin{gathered} QX=V \\ X=Q^{-1}V=Q^{\top }V \\ {x}_i=q_i^{\top }V \end{gathered}$$

傅里叶级数
$$\begin{gathered} f(x)=a_0+a_1\cos x+a_2\sin x+a_3\cos 2x+\cdots \\ f(x)=f(x+2\pi ) \end{gathered}$$

向量点积
$$v^{\top }w=v_1{w}_1+v_2{w}_2+\cdots +v_n{w}_n$$
函数内积($innerproduct$)

$$f^{\top }g={\int }_0^{2\pi }f(x)g(x)dx$$