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1. 堆的概念和特点

1. 定义：
   堆通常可以被看作是一棵完全二叉树的数组对象。这意味着堆的物理结构本质上是顺序存储的（线性的），但在逻辑上则表现为完全二叉树的逻辑存储结构。
   堆总是满足堆性质：堆中某个结点的值总是不大于（最大堆）或不小于（最小堆）其父结点的值。
2. 分类：
   根据堆顶元素的大小，堆可以分为最大堆（大根堆）和最小堆（小根堆）。最大堆的根结点值是所有元素中的最大值，而最小堆的根结点值是所有元素中的最小值。
   常见的堆类型还包括二叉堆和斐波那契堆等。
3. 结构：
   堆的物理结构是一维数组，数组的容量和元素个数是堆的重要属性。
   在堆中，一个结点的父节点可以通过该结点的索引值整除2得到

2. 堆的实现

2.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

2.2堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

2.3 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的
就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

因此：建堆的时间复杂度为O(N)。

2.4 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

2.5 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

2.6 堆的代码实现

2.6.1 结构体

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;

2.6.2 初始化

//初始化
void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->capacity = 0;php->size = 0;
}

2.6.3 销毁

//销毁
void HeapDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->capacity = 0;php->size = 0;
}

2.6.4 插入

//插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//扩容if (php->size == php->capacity){int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("HeapPush");return;}php->a = tmp;php->capacity = newCapacity;}//插入数据php->a[php->size] = x;php->size++;//向上调整AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

2.6.5 删除

//删除堆顶的数据
void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(!HeapEmpty(php));Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

2.6.6 获取堆顶

//获取堆顶
HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(!HeapEmpty(php));return php->a[0];
}

2.6.7 判空

//判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

2.6.8 个数

//个数
int HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

2.6.9 向上调整

//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent; parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

2.6.10 向下调整

//向下调整
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{//假设最小int child = parent * 2 + 1;while (child < n){//选出左右孩子小的那个if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child]){child++;}//不用管哪个最小if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}

3. 堆的实现测试

测试1

//堆的实现测试
void HeapTest1()
{HP hp;HeapInit(&hp);int a[] = { 65,100,70,32,50,60 };int sz = sizeof(a) / sizeof(a[0]);for (int i = 0; i < sz; i++){HeapPush(&hp, a[i]);}HeapDestroy(&hp);
}

测试2

void HeapTest1()
{HP hp;HeapInit(&hp);int a[] = { 65,100,70,32,50,60 };int sz = sizeof(a) / sizeof(a[0]);for (int i = 0; i < sz; i++){HeapPush(&hp, a[i]);}HeapPop(&hp);HeapDestroy(&hp);
}

测试3

void HeapTest1()
{HP hp;HeapInit(&hp);int a[] = { 65,100,70,32,50,60 };int sz = sizeof(a) / sizeof(a[0]);for (int i = 0; i < sz; i++){HeapPush(&hp, a[i]);}//HeapPop(&hp);while (!HeapEmpty(&hp)){int top = HeapTop(&hp);printf("%d\n", top);HeapPop(&hp);}HeapDestroy(&hp);
}

测试4

//top-k问题
//方法1：弊端: 先有一个堆太麻烦，空间复杂度高还得拷贝数据。
void HeapSort(int* a, int n)
{HP hp;HeapInit(&hp);for (int i = 0; i < n; i++){HeapPush(&hp, a[i]);}int i = 0;while (!HeapEmpty(&hp)){int top = HeapTop(&hp);a[i++] = top;HeapPop(&hp);}HeapDestroy(&hp);
}

向上调整建堆测试5

void HeapSort2(int* a, int n)
{//升序-- 建小堆//降序-- 建大堆//向上调整建堆for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}//向下调整建堆/*for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(a, n, i);}*/int end = n - 1;while (end > 0){//交换Swap(&a[0], &a[end]);//再调整，选出次小的AdjustDown(a, end, 0);end--;}
}

向下调整建堆测试6

//方法2
void HeapSort2(int* a, int n)
{//升序-- 建小堆//降序-- 建大堆//向上调整建堆/*for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}*///向下调整建堆for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(a, n, i);}int end = n - 1;while (end > 0){//交换Swap(&a[0], &a[end]);//再调整，选出次小的AdjustDown(a, end, 0);end--;}
}

4. 堆的应用

4.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆
   升序：建大堆
   降序：建小堆
2. 利用堆删除思想来进行排序
   建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
   

4.2 TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆
   前k个最大的元素，则建小堆
   前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

5. test.c文件

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"//堆的实现测试
void HeapTest1()
{HP hp;HeapInit(&hp);int a[] = { 65,100,70,32,50,60 };int sz = sizeof(a) / sizeof(a[0]);for (int i = 0; i < sz; i++){HeapPush(&hp, a[i]);}//HeapPop(&hp);while (!HeapEmpty(&hp)){int top = HeapTop(&hp);printf("%d\n", top);HeapPop(&hp);}HeapDestroy(&hp);
}//top-k问题
//方法1：弊端: 先有一个堆太麻烦，空间复杂度高还得拷贝数据。
void HeapSort(int* a, int n)
{HP hp;HeapInit(&hp);for (int i = 0; i < n; i++){HeapPush(&hp, a[i]);}int i = 0;while (!HeapEmpty(&hp)){int top = HeapTop(&hp);a[i++] = top;HeapPop(&hp);}HeapDestroy(&hp);
}//方法2
void HeapSort2(int* a, int n)
{//升序-- 建小堆//降序-- 建大堆//向上调整建堆for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}//向下调整建堆/*for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(a, n, i);}*/int end = n - 1;while (end > 0){//交换Swap(&a[0], &a[end]);//再调整，选出次小的AdjustDown(a, end, 0);end--;}
}int main()
{//HeapTest1();int a[] = { 7,8,3,5,1,9,5,4 };HeapSort2(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));return  0;
}

6. Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"//初始化
void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->capacity = 0;php->size = 0;
}//销毁
void HeapDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->capacity = 0;php->size = 0;
}//交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p2;*p2 = *p1;*p1 = tmp;
}//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent; parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//扩容if (php->size == php->capacity){int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("HeapPush");return;}php->a = tmp;php->capacity = newCapacity;}//插入数据php->a[php->size] = x;php->size++;//向上调整AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}//向下调整
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{//假设最小int child = parent * 2 + 1;while (child < n){//选出左右孩子小的那个if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child]){child++;}//不用管哪个最小if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}//删除堆顶的数据
void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(!HeapEmpty(php));Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}//获取堆顶
HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(!HeapEmpty(php));return php->a[0];
}//判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}//个数
int HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

7. Heap.h

#pragma once#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;//初始化
void HeapInit(HP* php);//销毁
void HeapDestroy(HP* php);//插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);//删除
void HeapPop(HP* php);//获取堆顶
HPDataType HeapTop(HP* php);//判空
bool HeapEmpty(HP* php);//个数
int HeapSize(HP* php);//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);//向下调整
void AdjustDown(int* a, int n, int parent);