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《机器学习》基础概念之【P问题】与【NP问题】

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一、多项式&时间复杂度

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1.1. 多项式

$$a{x}^n+b{x}^{n-1}+c$$ 形如这种形式的就被称为 $x$ 的最高位为 $n$ 的多项式。

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1.2.时间复杂度

定义为：随着问题规模的增大，算法执行时间增长的快慢。

它可以用来表示一个算法运行的 $时间效率$。

举个例子，冒泡排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ , 取其最高次，可以看出，这是一个时间复杂度为多项式的表示方式。

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二、P问题 & NP问题

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2.1. P问题

P(deterministic polynomial time question)：

多项式时间问题，简称 P 问题，意思是能在多项式时间内解决的问题。

简单理解是算起来很快的问题。

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2.2.NP问题

NP(No-deterministic polynomial time question)：

非确定多项式时间问题，简称 NP 问题，就是能在多项式时间验证答案正确与否的问题。

简单的理解是NP问题算起来不一定快，但对于任何答案我们都可以快速的验证这个答案对不对。

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2.3.举例理解NP问题-TSP旅行商推销问题

最著名的 NP 问题是TSP旅行商推销问题。

题目是在以下条件下，求出访问所有城市的最短路径

• 推销商有N个目的地城市
• 他需要访问所有城市一次，即不能重复
• 任意两座城市都是连接的，距离已知，即对应有权完全图

分析：

解决这个问题如果单纯的用枚举法来列举的话会有$(n-1)!$ 种，已经不是多项式时间的算法了。将会是N的阶乘的复杂度$O(n!)$。

但是有快捷的方法，可以用猜的，假设人品爆炸猜几次就猜中了一条小于长度a的路径，TSP问题解决了，皆大欢喜。

可是，我不可能每次都猜的那么准，也许我要猜完所有种方案呢？

所以我们说，这是一个NP类问题。也就是这个问题能在多项式的时间内验证并得出问题的正确解，可是我们却不知道该问题是否存在一个多项式时间的算法，每次都能解决他(注意，这里是不知道，不是不存在，即能解决，但是无法找到一个多项式时间的算法的通解）。

• 其他NP问题：

Edge Cover 边覆盖
Set Cover 集合覆盖
Steiner Tree(Forest) 斯坦纳树
Max cut 最大割
SAT 可满足性

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三、NP-hard问题&NP-C问题

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3.1.NP-hard问题

• NP-hardness问题：

任意 NP 问题都可以在多项式时间内归约为一类问题，这类问题就称为 NP-hard 问题，这是比所有的NP问题都难的问题。

归约的意思是为了解决问题A，先将问题A归约为另一个问题B，解决问题B同时也间接解决了问题A。

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3.2. NP-C问题

• NP-Complete问题：

但若所有的NP问题都能多项式归约到一类问题X，则称X为NP-hard问题，进一步如果X是NP的，称X是NP complete的。

换句话说，只要解决了这个问题，那么所有的NP问题都解决了。其定义要满足2个条件：一是NP-hard的问题，二是NP问题。

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四、P&NP的联系

4.1. 理想：NP问题 = P问题

$$NP=P$$ 意思是，如果对于一个问题能在多项式时间内验证其答案的正确性，那么是否能在多项式时间内解决它。

因为如果将所有的NP问题都 多项式规约 到某一个NP Complete问题，且只要一个NP Complete问题能在多项式时间内得到解决的话，那么所有的NP问题都可以在多项式时间内得到解决了。这个问题的解决将会带来世界性的进步。

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4.2.现实：我们仍然相信 P问题!=NP问题

$$P\ne NP$$
至今并没有人能证明某个NP Complete问题是P的。而且目前主流的观点是P不等于NP，当然这也没有确切的证明。如左图所示。

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