【强化学习】第02期：动态规划方法

笔者近期上了国科大周晓飞老师《强化学习及其应用》课程，计划整理一个强化学习系列笔记。笔记中所引用的内容部分出自周老师的课程PPT。笔记中如有不到之处，敬请批评指正。

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总的来说，DP方法就是在已知bellman方程的环境参数（回报R和转移概率P）的情况下，求取最优策略$u^{\ast }$和最优值$v^{\ast }$。

2.1 动态规划：策略收敛法/策略迭代法

总体思路：算V --> 算Q --> 策略改进 （不断重复）
初始化最优策略 u，
Step1 策略评估: 确定当前策略 𝜋 的值函数$V^{\pi }$，可通过下面的式子求解。

Step2 计算动作值函数Q: 使用值函数$V^{\pi }$来计算每个状态-动作对的动作值函数$Q^{\pi }(s,a)$。这一步是为了计算在当前策略 𝜋 下，每个状态-动作对的期望回报。

Step3 策略改进: 对每个状态 𝑠 选择能使$Q^{\pi }(s,a)$最大的动作𝑎，从而形成新的策略 𝜋′。这一步是为了更新策略，使其更接近最优策略。

Step4: goto Step1, 直到最优策略ｕ不变。

2.2 动态规划：值迭代法

值迭代（Value Iteration）是一种用于求解马尔可夫决策过程（MDP）的经典动态规划算法。它通过迭代地更新值函数，逐步逼近最优值函数$V^{\ast }$ ，最终得到最优策略${\pi }^{\ast }$。

值迭代一般分为这几个步骤：
step1 初始化：设定初始值函数$V(s)$为零或其他任意值。
step2 迭代更新：对于每个状态 𝑠 ，根据当前值函数$V_k$计算新的值函数$V_{k+1}$。这个更新过程通过遍历所有状态和所有可能的动作，计算在每个状态下采取每个动作所能获得的期望累计奖励，并选择其中的最大值作为新的值函数值。

step3 收敛判定：当值函数的变化小于某个预设的阈值 𝜃 时，认为值函数已经收敛，可以停止迭代。

step4 策略提取：在值函数收敛后，通过值函数$V^{\ast }$ 提取最优策略${\pi }^{\ast }$：

关于值迭代，也有很多处理技巧，这里简单介绍三种。
（1）In-place Dynamic Programming
在标准的值迭代过程中，我们通常会维护两个值函数，一个用于保存当前迭代的结果，另一个用于保存上一次迭代的结果。而在 In-place Dynamic Programming 中，我们只使用一个值函数数组，在每次更新时直接覆盖旧的值。
特点：只需要一个数组来存储值函数，减少了内存消耗。

（2）Prioritized Sweeping
是一种加速值迭代的方法，通过优先更新那些对值函数变化影响较大的状态，从而提高收敛速度。

（3）Real-time Dynamic Programming (RTDP)
是一种在实际运行过程中更新值函数的方法，适用于在线学习。