简单多状态DP问题
这里写目录标题
- 什么是多状态DP
- 解决多状态DP问题应该怎么做?
- 关于多状态DP问题的几道题
- 1.按摩师
- 2.打家劫舍Ⅱ
- 3.删除并获得点数
- 4.粉刷房子
- 5.买卖股票的最佳时期含手冷冻期
- 总结
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什么是多状态DP
多状态动态规划(Multi-State Dynamic Programming, Multi-State DP)问题是动态规划(DP)领域中的一个高级概念,涉及到在算法设计中引入多个状态来描述和解决复杂问题。与传统的单状态DP问题相比,多状态DP问题能够处理更多维度的状态信息,以应对更复杂的决策过程和状态转移关系。
以下是对多状态DP问题的详细介绍,包括定义、特点、常见应用场景和解决方法:
- 定义
多状态DP问题是指在动态规划算法中,引入了多个状态变量来描述一个问题的状态空间,并在这些状态之间进行转移来优化目标函数。每个状态变量通常代表了问题的一种不同的维度或特征,共同影响最终的决策过程。
简单定义:
在多状态DP问题中,我们使用一个或多个状态变量来描述问题的当前状态,并通过状态转移方程来找到从初始状态到目标状态的最优解。
- 特点
状态空间多维:与单状态DP不同,多状态DP问题中包含多个状态变量,每个状态变量可以是一个离散的值或者一个连续的范围。
状态转移复杂:状态之间的转移关系可能更加复杂,需要同时考虑多个维度的变化。
优化目标:目标通常是最小化或最大化一个函数,这个函数依赖于多个状态变量的组合。 - 常见应用场景
路径规划:如在地图上寻找从起点到终点的最短路径时,可以使用多个状态来描述不同的交通模式、时间限制等。
资源分配:如在生产计划中,考虑生产任务的时间、资源消耗、设备状态等多个因素来优化生产计划。
游戏设计:如在游戏中模拟复杂的状态变化,如角色的技能、装备状态、关卡进展等。
网络优化:如在网络流问题中,考虑多种流量限制、路由选择等因素来优化网络流量分配。 - 常见问题类型
以下是一些典型的多状态DP问题示例:
背包问题的扩展:如多维背包问题,其中不仅需要考虑物品的重量和价值,还需要考虑物品的其他特性(例如容量、数量限制等)。
序列比对:如生物信息学中的序列比对问题,涉及对比多个序列的不同状态(如基因序列的匹配和变异)。
多阶段决策问题:如多阶段投资决策,其中每个阶段的决策会影响后续阶段的状态。
解决多状态DP问题应该怎么做?
解决方法
解决多状态DP问题通常包括以下几个步骤:
- 定义状态变量:确定问题中的所有状态变量及其可能的取值范围。
- 构建状态转移方程:描述从一个状态转移到另一个状态的规则,通常包括状态之间的转移条件和代价。
- 设定初始状态和目标状态:确定动态规划的起始状态和目标状态,以及需要优化的目标函数。
- 编写DP递推公式:根据状态转移方程编写DP算法的递推公式。
- 实现DP算法:使用编程语言实现DP算法,并进行优化以提高算法的效率。
关于多状态DP问题的几道题
1.按摩师
题目链接
问题:
样例输出和输入:
这道题题意很简单一个按摩师,可以接收源源不断的预约请求,但是有一点他的预约请求不能在相邻的两天,意思就是我们看示例1,我们如果接受了1,那么就不能接受2,但是 可以接收3,3是可接受,但是不是一定要接受,最后让我们求预约的最长的时长的总和。
算法原理
状态表示:dp[i]表示到达i位置的最长预约时长。
状态转移方程 :这里我们想,到达i位置我们是不是有两种子状态,一种是预约,一种是不预约,如果预约话前一个i-1就不能预约,因为相邻的两个不能同时预约,所以我们将预约这种状态定义为f[i],将不预约这种状态定义为g[i],这里表示预约和不预约的最长预约时间。
所以这里第一种情况:当接受i位置的预约时,我们就不能接受i-1位置的预约,则f[i]可以表示为:f[i]=g[i-1]+nums[i]
第二种情况:当不接受i位置的值的时候,i-1位置可以选,可以不选,所以这里求选和不选的最大值,g[i]=max(g[i-1],f[i-1])
代码展示:
class Solution {
public:int massage(vector<int>& nums) {if(nums.size()==0){return 0;}//讨论两种情况,选或者不选int n = nums.size();vector<int> f(n), g(n);//初始化f[0] = nums[0], g[0] = 0;for (int i = 1;i < n;i++){f[i] = g[i - 1] + nums[i];g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1]);}return max(g[n - 1], f[n - 1]);}
};
运行结果:
2.打家劫舍Ⅱ
题目链接
问题:
样例输出和输入:
这道题讲的是一个小偷,他要偷东西,但是不能偷相邻两个房间的东西,因为偷相邻两个房间的东西会触发报警器,还有一个要求就是不能同时偷头尾两个位置的东西,然后数组中的值代表房间的价值。最后让我们求可以偷到的最高价值。
算法原理:
这道题其实和打家劫舍1一样,只需要多一个判断,判断第一个位置是否偷,如果第一个位置偷,则第二个位置不能偷,如果 第一个位置不偷,则第二个位置可以偷 也可以不偷。
然后对可以偷的部分来一次打家劫舍1就可以了。
代码展示:
class Solution {
public:int rob(vector<int>& nums) {int n=nums.size();//三种情况当中偷最大的if(n==1){return nums[0];}if(n==2){return max(nums[0],nums[1]);}if(n==3){return max(max(nums[0],nums[1]),nums[2]);}//如果选第一个位置vector<int> f1(n),g1(n);f1[2]=nums[0]+nums[2],g1[2]=nums[0];for(int i=3;i<n-1;i++){f1[i]=g1[i-1]+nums[i];g1[i]=max(g1[i-1],f1[i-1]);}vector<int> f2(n),g2(n);f2[1]=nums[1],g2[1]=0;for(int i=2;i<n;i++){f2[i]=g2[i-1]+nums[i];g2[i]=max(g2[i-1],f2[i-1]);}return max(max(f1[n-2],g1[n-2]),max(g2[n-1],f2[n-1]));}
};
运行结果:
3.删除并获得点数
题目链接
问题:
样例输出和输入:
这道题让我们求的是最大点数,我们先看第一个例子,如果我们选了3,我们则不能选4和2,因为4和2不满足要求。如果我们选择4,我们则不能选择3但是我们可以选择2,这样最大的点数就是6
算法原理:
先对数组进行排序,升序数组利于我们跳过,然后再创建一个辅助数组,辅助数组的大小是原数组中最大的那个数加1,这个辅助数组的用途就是 存数组中的所有的数,如果 有相同的数则相加存起来,如果没有的话,则初始化为0.
状态表示:dp[i]表示i位置的当前获得的最大点数。。
状态转移方程:这里到达i位置的时候有两种情况,选或者不选,所以我们又需要两种状态来表示,这里选f[i],不选g[i],这里如果我们选第i个位置则前后位置都不能选则f[i]=g[i-1]+arr[i]
如果我们不选i位置,则i-1位置可以选也可以不选,就是求选和不选的最大值:g[i]=max(g[i-1],f[i-1])
。
代码展示:
class Solution {
public:int deleteAndEarn(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(), nums.end());int n = nums.size();vector<int> arr(nums[n - 1]+1);for (int i = 0;i < nums.size();i++){arr[nums[i]] += nums[i];}vector<int> f(arr.size()), g(arr.size());f[0] = arr[0], g[0] = 0;//f[0]=2,g[0]=0for (int i = 1;i < arr.size();i++){f[i] = g[i - 1] + arr[i];g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1]);}return max(g[arr.size() - 1], f[arr.size() - 1]);}
};
运行结果:
4.粉刷房子
题目链接
问题:
样例输出和输入:
这道题首先要读懂题,这道题给出二维数组costs[i][j],i表示有多少个房子,然后j表示三种颜色,三种颜色分别是红蓝绿,但是这三种颜色 不能涂在相邻两个格子中,最后让我们求最小的花费
算法原理:
状态表示:dp[i]表示图到第i个房间的最小的花费
状态转移方程:这里由于涉及到三种颜色,这三种颜色分别是三种状态,所以这里我们开辟一个二维数组,这个二维数组的大小是n*3,0表示红色,1表示蓝色,2表示绿色。这里当我们第i个房间,这里我们先对红色进行讨论,由于第n个房间图了红色,所以我们的前一个房间就不能图红色,就只能在蓝色和绿色中选一个颜色,所以这里的最小花费应该是i-1的蓝色和绿色的最小花费中的最小的一个再加上当前位置的红色的最小花费:dp[i][0]=min(dp[i-1][1],dp[i-1][2])+costs[i][0]
其余的也一样:dp[i][1]=min(dp[i-1][0],dp[i-1][2])+costs[i][1]
,dp[i][2]=dp[i-1][1]+dp[i-1][0])+costs[i][2]
代码展示:
class Solution {
public:int minCost(vector<vector<int>>& costs) {int m = costs.size();int n = costs[0].size();vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));dp[0][0] = costs[0][0], dp[0][1] = costs[0][1], dp[0][2] = costs[0][2];for (int i = 1;i < m;i++){dp[i][0] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) + costs[i][0];dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + costs[i][1];dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + costs[i][2];}return min(min(dp[m - 1][0], dp[m - 1][1]), dp[m - 1][2]);}
};
运行结果:
5.买卖股票的最佳时期含手冷冻期
题目链接
问题:
样例输出和输入:
这道题要我们求是最大的股受益,第一个示例,如果我们买入第一个股票在2的时候卖出则就不能在在3时买入,因为卖出的往后一天处于冷冻期,所以这里我们不能买入股票,冷冻期一过,我们就可以买入股票,我们在0的时候买入一支股票,然后在2的时候卖出,则最大受益就是3.
算法原理:
状态表示:dp[i]表示到达当前位置时的最大利润
状态转移方程:当我们到达i位置时,我们有三种状态,第一种状态是买入(持有股票) ,第二种状态是卖出(未持有股票),第三种状态是冷冻期(冷冻期,不能购买股票)。这三种状态我们分别用0,1,2表示,所以这里我们就可以用一个二维DP表来表示这个dp模型。
根据上图,我们可以得出简单的状态转移方程,dp[i][0]=max(dp[i-1][1]-prices[i],dp[i-1][0]])
,dp[i][0]=max(dp[i-1][2],dp[i--1][1]
,dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i]
代码展示:
class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3, 0));//0买入状态,1可交易状态,2冷冻期dp[0][0] = -prices[0], dp[0][1] = 0, dp[0][2] = 0;for (int i = 1;i < n;i++){dp[i][0] = max(dp[i - 1][1] - prices[i], dp[i - 1][0]);dp[i][1] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1]);dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];}//如果最后一次交易手里还剩有股票,那么肯定不是最大的利润return max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]);}
};
运行结果:
总结
在本文中,我们深入探讨了多状态动态规划(DP)问题的核心概念、应用场景和解法技巧。通过分析多状态DP问题的基本结构和挑战,我们不仅回顾了经典的动态规划方法,还揭示了如何在复杂的问题中引入多个状态来实现高效求解。
从具体的算法设计到实际应用案例,我们讨论了如何构建状态转移方程、优化空间复杂度以及处理状态之间的依赖关系。这些高级技巧不仅帮助我们解决了特定的多状态DP问题,也为应对未来更为复杂的算法问题奠定了坚实的基础。
多状态DP不仅是解决动态规划问题的有力工具,更是我们在算法设计中应对多维复杂性的重要思路。通过对这一领域的深入了解,我们可以更好地应对实际问题中的挑战,并在算法竞赛、数据分析等领域中取得突破性进展。
希望本文的讨论能够激发你对多状态动态规划问题的兴趣,鼓励你进一步探索这一领域的高级技巧与创新方法。算法的世界充满了无限可能,而多状态DP问题则是我们探索这片领域的一把重要钥匙。
感谢你的阅读,希望你能从中获得新的启发与收获!
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为什么要使用缓存 言简意赅:速度快,好用缓存数据存储于代码中,而代码运行在内存中,内存的读写性能远高于磁盘,缓存可以大大降低用户访问并发量带来的服务器读写压力实际开发中,企业的数据量,少…...
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SQL游标的基本使用方法与示例
SQL游标的基本使用方法与示例 大家好,我是免费搭建查券返利机器人省钱赚佣金就用微赚淘客系统3.0的小编,也是冬天不穿秋裤,天冷也要风度的程序猿!今天我们来探讨SQL游标的基本使用方法及示例。在数据库编程中,游标是一…...
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还不知道工业以太网和现场总线区别???
工业以太网 工业以太网是一种专为工业环境设计的网络通信技术,它基于标准的以太网技术,但针对工业应用进行了优化。工业以太网能够适应高温、低温、防尘等恶劣工业环境,采用TCP/IP协议,与IEEE 802.3标准兼容,并在应用层…...
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量化交易 - 策略回测
策略回测 1、什么是策略回测?2、策略回测的作用3、策略回测系统概述3.1策略回测中相关的指标介绍3.2量化交易策略的资金容量3.3 完整的策略回测系统包含哪些内容 1、什么是策略回测? 策略回测,也称之为策略回溯测试,是指利用交易…...
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Java--选择排序
思想 从左向右遍历数组,让每个数组元素依次作为基准,将基准数组扫描一次,若有元素比基准小则标记这个元素,若后续元素存在比此元素更小的,则标记更小的元素,遍历完此次数组之后,交换基准和标记数…...
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Python基础之模块和包
文章目录 1 模块和包1.1 模块和包1.1.1 模块1.1.2 包1.1.3 简单使用 1.2 import 语句1.2.1 import1.2.2 from … import 语句1.2.3 from … import * 语句 1.4 深入模块1.4.1 模块符号表1.4.2 __name__属性1.4.3 dir() 函数1.4.4 作用域 1.5 常用内置模块 1 模块和包 1.1 模块…...
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基于SpringBoot漫画网站系统设计和实现(源码+LW+调试文档+讲解等)
💗博主介绍:✌全网粉丝10W,CSDN作者、博客专家、全栈领域优质创作者,博客之星、平台优质作者、专注于Java、小程序技术领域和毕业项目实战✌💗 🌟文末获取源码数据库🌟 感兴趣的可以先收藏起来,…...
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Mysql----表的约束
提示:以下是本篇文章正文内容,下面案例可供参考 一、表的约束 表的约束:表中一定要有约束,通过约束让插入表中的数据是符合预期的。它的本质是通过技术手段,让程序员插入正确的数据,约束的最终目标是保证…...
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如何用 PHP 实现一个自定义爬虫框架
随着互联网的不断发展,信息量爆炸式增长,获取有价值的信息已经成为了许多人的需求。在这样的大环境下,爬虫技术逐渐兴起,成为了大数据时代的重要工具之一。爬虫技术的应用十分广泛,其可以用于网络舆情监测、数据分析、…...
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【机器学习】机器学习的重要方法——强化学习:理论,方法与实践
目录 一、强化学习的核心概念 二、强化学习算法的分类与示例代码 三.强化学习的优势 四.强化学习的应用与挑战 五、总结与展望 强化学习:理论,方法和实践 在人工智能的广阔领域中,强化学习(Reinforcement Learning, RL&…...
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Linux磁盘监控思路分析
磁盘监控原理 设备又名I/O设备,泛指计算机系统中除主机以外的所有外部设备。 1.1 计算机分类 1.1.1 按照信息传输速度分: 1.低速设备:每秒传输信息仅几个字节或者百个字节,如:键盘、鼠标等 2.中速设备:…...
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pc端制作一个顶部固定的菜单栏
效果 hsl颜色 hsl颜色在css中比较方便 https://www.w3school.com.cn/css/css_colors_hsl.asp 色相(hue)是色轮上从 0 到 360 的度数。0 是红色,120 是绿色,240 是蓝色。饱和度(saturation)是一个百分比值…...
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ONLYOFFICE 8.1版本桌面编辑器深度体验:创新功能与卓越性能的结合
ONLYOFFICE 8.1版本桌面编辑器深度体验:创新功能与卓越性能的结合 随着数字化办公的日益普及,一款高效、功能丰富的办公软件成为了职场人士的必备工具。ONLYOFFICE团队一直致力于为用户提供全面而先进的办公解决方案。最新推出的ONLYOFFICE 8.1版本桌面编…...
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使用Java连接数据库并且执行数据库操作和创建用户登录图形化界面(2)
(1)在student数据库上创建一个用户表tb_account,该表包含用户id,用户名和密码。 字段名称 数据类型 注释 约束 user_id Char(8) 用户id 主键 user_name char(10) 用户名 不能为空 password char(10) 密码 默认值&a…...
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socket编程常见操作
1、连接的建立 分为两种:服务端处理接收客户端的连接;服务端作为客户端连接第三方服务 //作为服务端 int listenfd socket(AF_INET, SOCK_STREAM, 0); bind(listenfd, (struct sockaddr*)&servaddr, sizeof(servaddr))) listen(listenfd, 10); //…...
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springcloud-config git配置源加载(部署公钥问题)
使用gitUrl作为配置源 gitee 或者github 中有类似于发布密钥的功能,允许通过私钥只读访问指定的仓库,文档中说的是 限制了git的操作为pull 和 clone。生成私钥的方式文档连接在此 https://gitee.com/help/articles/4181#article-header0 spring config只…...
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深度学习之半监督学习:一文梳理目标检测中的半监督学习策略
什么是半监督目标检测? 传统机器学习根据训练数据集中的标注情况,有着不同的场景,主要包括:监督学习、弱监督学习、弱半监督学习、半监督学习。由于目标检测任务的特殊性,在介绍半监督目标检测方法之前,我…...
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【Laravel生命周期全景】深入框架的心脏
标题:【Laravel生命周期全景】深入框架的心脏 Laravel是一个优雅的PHP Web框架,为现代Web应用程序的开发提供了丰富的功能和清晰的架构。理解Laravel的生命周期对于开发者来说至关重要,因为它涉及到应用程序从启动到响应请求的每一个环节。本…...
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【C++】 解决 C++ 语言报错:Memory Leak
文章目录 引言 内存泄漏(Memory Leak)是 C 编程中常见且严重的内存管理问题之一。当程序分配了内存而没有正确释放,导致内存无法被重新利用时,就会发生内存泄漏。这种错误会导致程序占用越来越多的内存,最终可能导致系…...
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力扣:LCR 024. 反转链表(Java)
目录 题目描述:示例 1:示例 2:代码实现: 题目描述: 给定单链表的头节点 head ,请反转链表,并返回反转后的链表的头节点。 示例 1: 输入:head [1,2,3,4,5] 输出&#x…...
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机器学习(三)
机器学习 4.回归和聚类算法4.1 线性回归4.1.1 线性回归的原理4.1.2 线性回归的损失和优化原理 4.2 欠拟合与过拟合4.2.1 定义4.2.2 原因以及解决方法4.2.3 正则化 4.3 线性回归改进-岭回归4.3.1 带L2正则化的线性回归-岭回归4.3.2 API 4.4 分类算法-逻辑回归与二分类4.4.1 定义…...
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中小企业,为什么更容易被勒索病毒攻击?
一、技术防护能力较弱 IT资源有限:相比于大型企业,中小企业往往缺乏专门的IT部门或专业的技术人员来维护网络安全。这意味着它们在面对勒索病毒攻击时,可能无法及时有效地进行防御和应对。 安全防护措施不足:中小企业可能没有足够…...
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“自救模式”开启,低价股纷纷涨停,有个股10日8板!这一板块持续迎利好,
政策持续支持,中药板块估值处于低位。低价股反复活跃7月5日早盘,多只低价股开盘走高。在早盘涨停的34只个股中,18股最新价在3元/股以下,占比超过总数的五成。*ST天成、*ST景峰开盘快速涨停,均实现3连板;东方集团4连板,最新价达到0.94元/股。除涨停股外,还有*ST名家、星…...
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npm : 无法加载文件 D:\Program Files\nodejs\npm.ps1,因为在此系统上禁止运行脚本
安装npm时出现如下提示: 出现这个错误信息,是系统禁止执行PowerShell的脚本。 出现的原因是,系统默认的执行策略是Restricted(默认设置),限制执行,所以会出现如上提示。 解决方法:…...
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jenkins集成
jenkins是一款广泛使用的开源持续集成(CI)和持续交付(CD)工具,主要用于自动化构建、测试和部署软件。以下是关于如何集成Jenkins的详细介绍: 安装Jenkins: 要安装Jenkins,您需要按照…...
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Nginx高可用性架构:实现负载均衡与故障转移的探索
随着网络应用的不断发展和用户访问量的增长,如何确保系统的高可用性、实现负载均衡以及快速响应故障转移成为了每个运维和开发团队必须面对的挑战。Nginx作为一款高性能的HTTP和反向代理服务器,凭借其强大的功能和灵活的配置,成为了实现这些目…...
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C++STL容器系列(三)list的详细用法和底层实现
目录 一:介绍二:list的创建和方法创建list方法 三:list的具体用法3.1 push_back、pop_back、push_front、pop_front3.2 insert() 和 erase()3.3 splice 函数 四:list容器底层实现4.1 list 容器节点结构5.2 list容器迭代器的底层实…...
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Flutter 中的 ExpansionPanelList 小部件:全面指南
Flutter 中的 ExpansionPanelList 小部件:全面指南 在Flutter中,ExpansionPanelList是一个展示可展开/折叠面板列表的组件,它允许用户通过点击来展开或折叠列表中的各个面板。这种组件非常适合展示FAQ、设置选项或其他需要分组和隐藏内容的场…...