1143. 最长公共子序列——【Leetcode每日刷题】

1143. 最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

• 例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “ace” ，它的长度为 3 。

示例 2：

输入：text1 = “abc”, text2 = “abc”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “abc” ，它的长度为 3 。

示例 3：

输入：text1 = “abc”, text2 = “def”
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

• 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
• text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

思路：(动态规划)

对于两个子序列 $S1$ 和 $S2$，找出它们最长的公共子序列。

定义一个二维数组 dp 用来存储最长公共子序列的长度，其中 dp[i][j] 表示 $S1$ 的前 i 个字符与 $S2$ 的前 j 个字符最长公共子序列的长度。考虑 $S{1}_i$与 $S{2}_j$ 值是否相等，分为两种情况：

• 当 $S{1}_i==S{2}_j$ 时，那么就能在 $S1$ 的前 i -1 个字符与 $S2$ 的前 j -1 个字符最长公共子序列的基础上再加上 $S{1}_i$ 这个值，最长公共子序列长度加 1，即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
• 当 $S{1}_i!=S{2}_j$ 时，此时最长公共子序列为 $S1$的前 i -1 个字符和 S2 的前 j 个字符最长公共子序列，或者 $S1$ 的前 i 个字符和 $S2$ 的前 j -1 个字符最长公共子序列，取它们的最大者，即 dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] }。

综上，最长公共子序列的 状态转移方程 为：

$$dp[i][j]=\{\begin{array}{rr}dp[i-1][j-1]+1& S{1}_i==S{2}_j\\ \max (dp[i-1][j],dp[i][j-1])& S{1}_i<>S{2}_j\end{array}$$

对于长度为 m 的序列 S1 和长度为 n 的序列 S2，dp[m][n] 就是序列 S1 和序列 S2 的最长公共子序列长度。

与最长递增子序列 相比，最长公共子序列有以下不同点：

• 针对的是两个序列，求它们的最长公共子序列。
• 在最长递增子序列中，dp[i] 表示以 $S_i$ 为结尾的最长递增子序列长度，子序列必须包含 $S_i$ ；在最长公共子序列中，dp[i][j] 表示 S1 中前 i 个字符与 S2 中前 j 个字符的最长公共子序列长度，不一定包含 $S{1}_i$ 和 $S{2}_j$。
• 在求最终解时，最长公共子序列中 dp[m][n] 就是最终解，而最长递增子序列中 dp[n] 不是最终解，因为以 $S_n$ 为结尾的最长递增子序列不一定是整个序列最长递增子序列，需要遍历一遍 dp 数组找到最大者。

代码：(Java)

public class LongestCommonSubsequence {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubString text1 = "abcde";String text2 = "ace";System.out.println(longestCommonSubsequence(text1,text2));}public static int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {int m = text1.length();int n = text2.length();int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];for(int i = 1; i <= m; i++) {for(int j = 1; j <= n; j++) {if(text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;}else {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[m][n];}
}

运行结果：

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(mn)$，需要遍历两个字符串。
• 空间复杂度：$O(mn)$，需要m*n的二维数组。

注：仅供学习参考！

题目来源：力扣。