代码随想录算法训练营第70天图论9[1]

代码随想录算法训练营第70天:图论9

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拓扑排序精讲

卡码网：117. 软件构建(opens new window)

题目描述：

某个大型软件项目的构建系统拥有 N 个文件，文件编号从 0 到 N - 1，在这些文件中，某些文件依赖于其他文件的内容，这意味着如果文件 A 依赖于文件 B，则必须在处理文件 A 之前处理文件 B （0 <= A, B <= N - 1）。请编写一个算法，用于确定文件处理的顺序。

输入描述：

第一行输入两个正整数 M, N。表示 N 个文件之间拥有 M 条依赖关系。

后续 M 行，每行两个正整数 S 和 T，表示 T 文件依赖于 S 文件。

输出描述：

输出共一行，如果能处理成功，则输出文件顺序，用空格隔开。

如果不能成功处理（相互依赖），则输出 -1。

输入示例：

5 4
0 1
0 2
1 3
2 4

输出示例：

0 1 2 3 4

提示信息：

文件依赖关系如下：

​​

所以，文件处理的顺序除了示例中的顺序，还存在

0 2 4 1 3

0 2 1 3 4

等等合法的顺序。

数据范围：

• 0 <= N <= 10 ^ 5
• 1 <= M <= 10 ^ 9

#拓扑排序的背景

本题是拓扑排序的经典题目。

一聊到 拓扑排序，一些录友可能会想这是排序，不会想到这是图论算法。

其实拓扑排序是经典的图论问题。

先说说 拓扑排序的应用场景。

大学排课，例如 先上A课，才能上B课，上了B课才能上C课，上了A课才能上D课，等等一系列这样的依赖顺序。 问给规划出一条 完整的上课顺序。

拓扑排序在文件处理上也有应用，我们在做项目安装文件包的时候，经常发现 复杂的文件依赖关系， A依赖B，B依赖C，B依赖D，C依赖E 等等。

如果给出一条线性的依赖顺序来下载这些文件呢？

有录友想上面的例子都很简单啊，我一眼能给排序出来。

那如果上面的依赖关系是一百对呢，一千对甚至上万个依赖关系，这些依赖关系中可能还有循环依赖，你如何发现循环依赖呢，又如果排出线性顺序呢。

所以 拓扑排序就是专门解决这类问题的。

概括来说，给出一个 有向图，把这个有向图转成线性的排序 就叫拓扑排序。

当然拓扑排序也要检测这个有向图 是否有环，即存在循环依赖的情况，因为这种情况是不能做线性排序的。

所以拓扑排序也是图论中判断有向无环图的常用方法。

---

#拓扑排序的思路

拓扑排序指的是一种 解决问题的大体思路， 而具体算法，可能是广搜也可能是深搜。

大家可能发现 各式各样的解法，纠结哪个是拓扑排序？

其实只要能在把 有向无环图 进行线性排序 的算法 都可以叫做 拓扑排序。

实现拓扑排序的算法有两种：卡恩算法（BFS）和DFS

卡恩1962年提出这种解决拓扑排序的思路

一般来说我们只需要掌握 BFS （广度优先搜索）就可以了，清晰易懂，如果还想多了解一些，可以再去学一下 DFS 的思路，但 DFS 不是本篇重点。

接下来我们来讲解BFS的实现思路。

以题目中示例为例如图：

​​

做拓扑排序的话，如果肉眼去找开头的节点，一定能找到 节点0 吧，都知道要从节点0 开始。

但为什么我们能找到 节点0呢，因为我们肉眼看着 这个图就是从 节点0出发的。

作为出发节点，它有什么特征？

你看节点0 的入度 为0 出度为2， 也就是 没有边指向它，而它有两条边是指出去的。

节点的入度表示 有多少条边指向它，节点的出度表示有多少条边 从该节点出发。

所以当我们做拓扑排序的时候，应该优先找 入度为 0 的节点，只有入度为0，它才是出发节点。 理解以上内容很重要！

接下来我给出 拓扑排序的过程，其实就两步：

1. 找到入度为0 的节点，加入结果集
2. 将该节点从图中移除

循环以上两步，直到 所有节点都在图中被移除了。

结果集的顺序，就是我们想要的拓扑排序顺序 （结果集里顺序可能不唯一）

#模拟过程

用本题的示例来模拟这一过程：

1、找到入度为0 的节点，加入结果集

​​

2、将该节点从图中移除

​​

---

1、找到入度为0 的节点，加入结果集

​​

这里大家会发现，节点1 和 节点2 入度都为0， 选哪个呢？

选哪个都行，所以这也是为什么拓扑排序的结果是不唯一的。

2、将该节点从图中移除

​​

---

1、找到入度为0 的节点，加入结果集

​​

节点2 和 节点3 入度都为0，选哪个都行，这里选节点2

2、将该节点从图中移除

​​

---

后面的过程一样的，节点3 和 节点4，入度都为0，选哪个都行。

最后结果集为： 0 1 2 3 4 。当然结果不唯一的。

#判断有环

如果有 有向环怎么办呢？例如这个图：

​​

这个图，我们只能将入度为0 的节点0 接入结果集。

之后，节点1、2、3、4 形成了环，找不到入度为0 的节点了，所以此时结果集里只有一个元素。

那么如果我们发现结果集元素个数 不等于 图中节点个数，我们就可以认定图中一定有 有向环！

这也是拓扑排序判断有向环的方法。

通过以上过程的模拟大家会发现这个拓扑排序好像不难，还有点简单。

#写代码

理解思想后，确实不难，但代码写起来也不容易。

为了每次可以找到所有节点的入度信息，我们要在初始话的时候，就把每个节点的入度 和 每个节点的依赖关系做统计。

代码如下：

cin >> n >> m;
vector<int> inDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度
vector<int> result; // 记录结果
unordered_map<int, vector<int>> umap; // 记录文件依赖关系while (m--) {
// s->t，先有s才能有t
cin >> s >> t;
inDegree[t]++; // t的入度加一
umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
}

找入度为0 的节点，我们需要用一个队列放存放。

因为每次寻找入度为0的节点，不一定只有一个节点，可能很多节点入度都为0，所以要将这些入度为0的节点放到队列里，依次去处理。

代码如下：

queue<int> que;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 入度为0的节点，可以作为开头，先加入队列
if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
}

开始从队列里遍历入度为0 的节点，将其放入结果集。

while (que.size()) {
int  cur = que.front(); // 当前选中的节点
que.pop();
result.push_back(cur);
// 将该节点从图中移除 }

这里面还有一个很重要的过程，如何把这个入度为0的节点从图中移除呢？

首先我们为什么要把节点从图中移除？

为的是将 该节点作为出发点所连接的边删掉。

删掉的目的是什么呢？

要把 该节点作为出发点所连接的节点的 入度 减一。

如果这里不理解，看上面的模拟过程第一步：

​​

这事节点1 和 节点2 的入度为 1。

将节点0删除后，图为这样：

​​

那么 节点0 作为出发点 所连接的节点的入度 就都做了 减一 的操作。

此时 节点1 和 节点 2 的入度都为0， 这样才能作为下一轮选取的节点。

所以，我们在代码实现的过程中，本质是要将 该节点作为出发点所连接的节点的 入度 减一 就可以了，这样好能根据入度找下一个节点，不用真在图里把这个节点删掉。

该过程代码如下：

while (que.size()) {
int  cur = que.front(); // 当前选中的节点
que.pop();
result.push_back(cur);
// 将该节点从图中移除 
vector<int> files = umap[cur]; //获取cur指向的节点
if (files.size()) { // 如果cur有指向的节点
for (int i = 0; i < files.size(); i++) { // 遍历cur指向的节点
inDegree[files[i]] --; // cur指向的节点入度都做减一操作
// 如果指向的节点减一之后，入度为0，说明是我们要选取的下一个节点，放入队列。
if(inDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]); 
}
}}

最后代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>
using namespace std;
int main() {
int m, n, s, t;
cin >> n >> m;
vector<int> inDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度unordered_map<int, vector<int>> umap;// 记录文件依赖关系
vector<int> result; // 记录结果while (m--) {
// s->t，先有s才能有t
cin >> s >> t;
inDegree[t]++; // t的入度加一
umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
}
queue<int> que;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 入度为0的文件，可以作为开头，先加入队列
if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
//cout << inDegree[i] << endl;
}
// int count = 0;
while (que.size()) {
int  cur = que.front(); // 当前选中的文件
que.pop();
//count++;
result.push_back(cur);
vector<int> files = umap[cur]; //获取该文件指向的文件
if (files.size()) { // cur有后续文件
for (int i = 0; i < files.size(); i++) {
inDegree[files[i]] --; // cur的指向的文件入度-1
if(inDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]);
}
}
}
if (result.size() == n) {
for (int i = 0; i < n - 1; i++) cout << result[i] << " ";
cout << result[n - 1];
} else cout << -1 << endl;}

dijkstra（朴素版）精讲

卡码网：47. 参加科学大会(opens new window)

【题目描述】

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。

小明的起点是第一个车站，终点是最后一个车站。然而，途中的各个车站之间的道路状况、交通拥堵程度以及可能的自然因素（如天气变化）等不同，这些因素都会影响每条路径的通行时间。

小明希望能选择一条花费时间最少的路线，以确保他能够尽快到达目的地。

【输入描述】

第一行包含两个正整数，第一个正整数 N 表示一共有 N 个公共汽车站，第二个正整数 M 表示有 M 条公路。

接下来为 M 行，每行包括三个整数，S、E 和 V，代表了从 S 车站可以单向直达 E 车站，并且需要花费 V 单位的时间。

【输出描述】

输出一个整数，代表小明从起点到终点所花费的最小时间。

输入示例

7 9
1 2 1
1 3 4
2 3 2
2 4 5
3 4 2
4 5 3
2 6 4
5 7 4
6 7 9

输出示例：12

【提示信息】

能够到达的情况：

如下图所示，起始车站为 1 号车站，终点车站为 7 号车站，绿色路线为最短的路线，路线总长度为 12，则输出 12。

​​

不能到达的情况：

如下图所示，当从起始车站不能到达终点车站时，则输出 -1。

​​

数据范围：

1 <= N <= 500; 1 <= M <= 5000;

#思路

本题就是求最短路，最短路是图论中的经典问题即：给出一个有向图，一个起点，一个终点，问起点到终点的最短路径。

接下来，我们来详细讲解最短路算法中的 dijkstra 算法。

dijkstra算法：在有权图（权值非负数）中求从起点到其他节点的最短路径算法。

需要注意两点：

• dijkstra 算法可以同时求 起点到所有节点的最短路径
• 权值不能为负数

（这两点后面我们会讲到）

如本题示例中的图：

​​

起点（节点1）到终点（节点7） 的最短路径是 图中 标记绿线的部分。

最短路径的权值为12。

其实 dijkstra 算法 和 我们之前讲解的prim算法思路非常接近，如果大家认真学过prim算法，那么理解 Dijkstra 算法会相对容易很多。（这也是我要先讲prim再讲dijkstra的原因）

dijkstra 算法 同样是贪心的思路，不断寻找距离 源点最近的没有访问过的节点。

这里我也给出 dijkstra三部曲：

1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
2. 第二步，该最近节点被标记访问过
3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）

大家此时已经会发现，这和prim算法 怎么这么像呢。

我在prim算法讲解中也给出了三部曲。 prim 和 dijkstra 确实很像，思路也是类似的，这一点我在后面还会详细来讲。

在dijkstra算法中，同样有一个数组很重要，起名为：minDist。

minDist数组 用来记录 每一个节点距离源点的最小距离。

理解这一点很重要，也是理解 dijkstra 算法的核心所在。

大家现在看着可能有点懵，不知道什么意思。

没关系，先让大家有一个印象，对理解后面讲解有帮助。

我们先来画图看一下 dijkstra 的工作过程，以本题示例为例： （以下为朴素版dijkstra的思路）

（示例中节点编号是从1开始，所以为了让大家看的不晕，minDist数组下标我也从 1 开始计数，下标0 就不使用了，这样 下标和节点标号就可以对应上了，避免大家搞混）

#朴素版dijkstra

#模拟过程

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0、初始化

minDist数组数值初始化为int最大值。

这里在强点一下 minDist数组的含义：记录所有节点到源点的最短路径，那么初始化的时候就应该初始为最大值，这样才能在后续出现最短路径的时候及时更新。

​​

（图中，max 表示默认值，节点0 不做处理，统一从下标1 开始计算，这样下标和节点数值统一， 方便大家理解，避免搞混）

源点（节点1） 到自己的距离为0，所以 minDist[1] = 0

此时所有节点都没有被访问过，所以 visited数组都为0

---

以下为dijkstra 三部曲

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离源点最近，距离为0，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记源点访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

更新 minDist数组，即：源点（节点1） 到 节点2 和 节点3的距离。

• 源点到节点2的最短距离为1，小于原minDist[2]的数值max，更新minDist[2] = 1
• 源点到节点3的最短距离为4，小于原minDist[3]的数值max，更新minDist[4] = 4

可能有录友问：为啥和 minDist[2] 比较？

再强调一下 minDist[2] 的含义，它表示源点到节点2的最短距离，那么目前我们得到了 源点到节点2的最短距离为1，小于默认值max，所以更新。 minDist[3]的更新同理

---

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

未访问过的节点中，源点到节点2距离最近，选节点2

2、该最近节点被标记访问过

节点2被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

更新 minDist数组，即：源点（节点1） 到 节点6 、 节点3 和 节点4的距离。

为什么更新这些节点呢？ 怎么不更新其他节点呢？

因为 源点（节点1）通过 已经计算过的节点（节点2） 可以链接到的节点 有 节点3，节点4和节点6.

更新 minDist数组：

• 源点到节点6的最短距离为5，小于原minDist[6]的数值max，更新minDist[6] = 5
• 源点到节点3的最短距离为3，小于原minDist[3]的数值4，更新minDist[3] = 3
• 源点到节点4的最短距离为6，小于原minDist[4]的数值max，更新minDist[4] = 6

---

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

未访问过的节点中，源点距离哪些节点最近，怎么算的？

其实就是看 minDist数组里的数值，minDist 记录了 源点到所有节点的最近距离，结合visited数组筛选出未访问的节点就好。

从 上面的图，或者 从minDist数组中，我们都能看出 未访问过的节点中，源点（节点1）到节点3距离最近。

2、该最近节点被标记访问过

节点3被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点3的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点4 所以更新minDist数组：

更新 minDist数组：

• 源点到节点4的最短距离为5，小于原minDist[4]的数值6，更新minDist[4] = 5

---

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，有节点4 和 节点6，距离源点距离都是 5 （minDist[4] = 5，minDist[6] = 5） ，选哪个节点都可以。

2、该最近节点被标记访问过

节点4被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点4的加入，那么源点可以链接到节点5 所以更新minDist数组：

• 源点到节点5的最短距离为8，小于原minDist[5]的数值max，更新minDist[5] = 8

---

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点6，距离源点距离是 5 （minDist[6] = 5）

2、该最近节点被标记访问过

节点6 被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点6的加入，那么源点可以链接到节点7 所以 更新minDist数组：

• 源点到节点7的最短距离为14，小于原minDist[7]的数值max，更新minDist[7] = 14

---

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点5，距离源点距离是 8 （minDist[5] = 8）

2、该最近节点被标记访问过

节点5 被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点5的加入，那么源点有新的路径可以链接到节点7 所以 更新minDist数组：

• 源点到节点7的最短距离为12，小于原minDist[7]的数值14，更新minDist[7] = 12

---

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点7（终点），距离源点距离是 12 （minDist[7] = 12）

2、该最近节点被标记访问过

节点7 被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

节点7加入，但节点7到节点7的距离为0，所以 不用更新minDist数组

---

最后我们要求起点（节点1） 到终点 （节点7）的距离。

再来回顾一下minDist数组的含义：记录 每一个节点距离源点的最小距离。

那么起到（节点1）到终点（节点7）的最短距离就是 minDist[7] ，按上面举例讲解来说，minDist[7] = 12，节点1 到节点7的最短路径为 12。

路径如图：

​​

在上面的讲解中，每一步 我都是按照 dijkstra 三部曲来讲解的，理解了这三部曲，代码也就好懂的。

#代码实现

本题代码如下，里面的 三部曲 我都做了注释，大家按照我上面的讲解 来看如下代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1][p2] = val;
}int start = 1;
int end = n;// 存储从源点到每个节点的最短距离
std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);// 记录顶点是否被访问过
std::vector<bool> visited(n + 1, false);minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历所有节点int minVal = INT_MAX;
int cur = 1;// 1、选距离源点最近且未访问过的节点
for (int v = 1; v <= n; ++v) {
if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
minVal = minDist[v];
cur = v;
}
}visited[cur] = true;  // 2、标记该节点已被访问// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}}if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径}

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n^2)

#debug方法

写这种题目难免会有各种各样的问题，我们如何发现自己的代码是否有问题呢？

最好的方式就是打日志，本题的话，就是将 minDist 数组打印出来，就可以很明显发现 哪里出问题了。

每次选择节点后，minDist数组的变化是否符合预期 ，是否和我上面讲的逻辑是对应的。

例如本题，如果想debug的话，打印日志可以这样写：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1][p2] = val;
}int start = 1;
int end = n;std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);std::vector<bool> visited(n + 1, false);minDist[start] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {int minVal = INT_MAX;
int cur = 1;for (int v = 1; v <= n; ++v) {
if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
minVal = minDist[v];
cur = v;
}
}visited[cur] = true;for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}// 打印日志：
cout << "select:" << cur << endl;
for (int v = 1; v <= n; v++) cout <<  v << ":" << minDist[v] << " ";
cout << endl << endl;;}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl;
else cout << minDist[end] << endl;}

打印后的结果：

select:1
1:0 2:1 3:4 4:2147483647 5:2147483647 6:2147483647 7:2147483647select:2
1:0 2:1 3:3 4:6 5:2147483647 6:5 7:2147483647select:3
1:0 2:1 3:3 4:5 5:2147483647 6:5 7:2147483647select:4
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:2147483647select:6
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:14select:5
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:12select:7
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:12

打印日志可以和上面我讲解的过程进行对比，每一步的结果是完全对应的。

所以如果大家如果代码有问题，打日志来debug是最好的方法

#如何求路径

如果题目要求把最短路的路径打印出来，应该怎么办呢？

这里还是有一些“坑”的，本题打印路径和 prim 打印路径是一样的，我在 prim算法精讲 【拓展】中 已经详细讲解了。

在这里就不再赘述。

打印路径只需要添加 几行代码， 打印路径的代码我都加上的日志，如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1][p2] = val;
}int start = 1;
int end = n;std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);std::vector<bool> visited(n + 1, false);minDist[start] = 0; //加上初始化
vector<int> parent(n + 1, -1);for (int i = 1; i <= n; i++) {int minVal = INT_MAX;
int cur = 1;for (int v = 1; v <= n; ++v) {
if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
minVal = minDist[v];
cur = v;
}
}visited[cur] = true;for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
parent[v] = cur; // 记录边
}
}}// 输出最短情况
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cout << parent[i] << "->" << i << endl;
}
}

打印结果：

-1->1
1->2
2->3
3->4
4->5
2->6
5->7

对应如图：

​​

#出现负数

如果图中边的权值为负数，dijkstra 还合适吗？

看一下这个图： （有负权值）

​​

节点1 到 节点5 的最短路径 应该是 节点1 -> 节点2 -> 节点3 -> 节点4 -> 节点5

那我们来看dijkstra 求解的路径是什么样的，继续dijkstra 三部曲来模拟 ：（dijkstra模拟过程上面已经详细讲过，以下只模拟重要过程，例如如何初始化就省略讲解了）

---

初始化：

​​

---

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离源点最近，距离为0，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记源点访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

更新 minDist数组，即：源点（节点1） 到 节点2 和 节点3的距离。

• 源点到节点2的最短距离为100，小于原minDist[2]的数值max，更新minDist[2] = 100
• 源点到节点3的最短距离为1，小于原minDist[3]的数值max，更新minDist[4] = 1

---

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点3最近，距离为1，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点3访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点3的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点4 所以更新minDist数组：

• 源点到节点4的最短距离为2，小于原minDist[4]的数值max，更新minDist[4] = 2

---

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点4最近，距离为2，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点4访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点4的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点5 所以更新minDist数组：

• 源点到节点5的最短距离为3，小于原minDist[5]的数值max，更新minDist[5] = 5

---

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点5最近，距离为3，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点5访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

节点5的加入，而节点5 没有链接其他节点， 所以不用更新minDist数组，仅标记节点5被访问过了

---

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点2最近，距离为100，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点2访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

---

至此dijkstra的模拟过程就结束了，根据最后的minDist数组，我们求 节点1 到 节点5 的最短路径的权值总和为 3，路径： 节点1 -> 节点3 -> 节点4 -> 节点5

通过以上的过程模拟，我们可以发现 之所以 没有走有负权值的最短路径 是因为 在 访问 节点 2 的时候，节点 3 已经访问过了，就不会再更新了。

那有录友可能会想： 我可以改代码逻辑啊，访问过的节点，也让它继续访问不就好了？

那么访问过的节点还能继续访问会不会有死循环的出现呢？控制逻辑不让其死循环？那特殊情况自己能都想清楚吗？（可以试试，实践出真知）

对于负权值的出现，大家可以针对某一个场景 不断去修改 dijkstra 的代码，但最终会发现只是 拆了东墙补西墙，对dijkstra的补充逻辑只能满足某特定场景最短路求解。

对于求解带有负权值的最短路问题，可以使用 Bellman-Ford 算法 ，我在后序会详细讲解。

#dijkstra与prim算法的区别

这里再次提示，需要先看我的 prim算法精讲 ，否则可能不知道我下面讲的是什么。

大家可以发现 dijkstra的代码看上去 怎么和 prim算法这么像呢。

其实代码大体不差，唯一区别在 三部曲中的 第三步： 更新minDist数组

因为prim是求 非访问节点到最小生成树的最小距离，而 dijkstra是求 非访问节点到源点的最小距离。

prim 更新 minDist数组的写法：

for (int j = 1; j <= v; j++) {
if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
minDist[j] = grid[cur][j];
}
}

因为 minDist表示 节点到最小生成树的最小距离，所以 新节点cur的加入，只需要 使用 grid[cur][j] ，grid[cur][j] 就表示 cur 加入生成树后，生成树到 节点j 的距离。

dijkstra 更新 minDist数组的写法：

for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}

因为 minDist表示 节点到源点的最小距离，所以 新节点 cur 的加入，需要使用 源点到cur的距离 （minDist[cur]） + cur 到 节点 v 的距离 （grid[cur][v]），才是 源点到节点v的距离。

此时大家可能不禁要想 prim算法 可以有负权值吗？

当然可以！

录友们可以自己思考思考一下，这是为什么？

这里我提示一下：prim算法只需要将节点以最小权值和链接在一起，不涉及到单一路径。

#总结

本篇，我们深入讲解的dijkstra算法，详细模拟其工作的流程。

这里我给出了 dijkstra 三部曲 来 帮助大家理解 该算法，不至于 每次写 dijkstra 都是黑盒操作，没有框架没有章法。

在给出的代码中，我也按照三部曲的逻辑来给大家注释，只要理解这三部曲，即使 过段时间 对 dijkstra 算法有些遗忘，依然可以写出一个框架出来，然后再去调试细节。

对于图论算法，一般代码都比较长，很难写出代码直接可以提交通过，都需要一个debug的过程，所以 学习如何debug 非常重要！

这也是我为什么 在本文中 单独用来讲解 debug方法。

本题求的是最短路径和是多少，同时我们也要掌握 如何把最短路径打印出来。

我还写了大篇幅来讲解 负权值的情况， 只有画图带大家一步一步去 看 出现负权值 dijkstra的求解过程，才能帮助大家理解，问题出在哪里。

如果我直接讲：是因为访问过的节点 不能再访问，导致错过真正的最短路，我相信大家都不知道我在说啥。

最后我还讲解了 dijkstra 和 prim 算法的 相同 与 不同之处， 我在图论的讲解安排中 先讲 prim算法 再讲 dijkstra 是有目的的， 理解这两个算法的相同与不同之处 有助于大家学习的更深入。

而不是 学了 dijkstra 就只看 dijkstra， 算法之间 都是有联系的，多去思考 算法之间的相互联系，会帮助大家思考的更深入，掌握的更彻底。

本篇写了这么长，我也只讲解了 朴素版dijkstra，关于 堆优化dijkstra，我会在下一篇再来给大家详细讲解。

加油

dijkstra（堆优化版）精讲

卡码网：47. 参加科学大会(opens new window)

【题目描述】

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。

小明的起点是第一个车站，终点是最后一个车站。然而，途中的各个车站之间的道路状况、交通拥堵程度以及可能的自然因素（如天气变化）等不同，这些因素都会影响每条路径的通行时间。

小明希望能选择一条花费时间最少的路线，以确保他能够尽快到达目的地。

【输入描述】

第一行包含两个正整数，第一个正整数 N 表示一共有 N 个公共汽车站，第二个正整数 M 表示有 M 条公路。

接下来为 M 行，每行包括三个整数，S、E 和 V，代表了从 S 车站可以单向直达 E 车站，并且需要花费 V 单位的时间。

【输出描述】

输出一个整数，代表小明从起点到终点所花费的最小时间。

输入示例

7 9
1 2 1
1 3 4
2 3 2
2 4 5
3 4 2
4 5 3
2 6 4
5 7 4
6 7 9

输出示例：12

【提示信息】

能够到达的情况：

如下图所示，起始车站为 1 号车站，终点车站为 7 号车站，绿色路线为最短的路线，路线总长度为 12，则输出 12。

​​

不能到达的情况：

如下图所示，当从起始车站不能到达终点车站时，则输出 -1。

​​

数据范围：

1 <= N <= 500; 1 <= M <= 5000;

#思路

本篇我们来讲解 堆优化版dijkstra，看本篇之前，一定要先看 我讲解的 朴素版dijkstra，否则本篇会有部分内容看不懂。

在上一篇中，我们讲解了朴素版的dijkstra，该解法的时间复杂度为 O(n^2)，可以看出时间复杂度 只和 n （节点数量）有关系。

如果n很大的话，我们可以换一个角度来优先性能。

在 讲解 最小生成树的时候，我们 讲了两个算法，prim算法（从点的角度来求最小生成树）、Kruskal算法（从边的角度来求最小生成树）

这么在n 很大的时候，也有另一个思考维度，即：从边的数量出发。

当 n 很大，边 的数量 也很多的时候（稠密图），那么 上述解法没问题。

但 n 很大，边 的数量 很小的时候（稀疏图），是不是可以换成从边的角度来求最短路呢？

毕竟边的数量少。

有的录友可能会想，n （节点数量）很大，边不就多吗？ 怎么会边的数量少呢？

别忘了，谁也没有规定 节点之间一定要有边连接着，例如有一万个节点，只有一条边，这也是一张图。

了解背景之后，再来看 解法思路。

#图的存储

首先是 图的存储。

关于图的存储 主流有两种方式： 邻接矩阵和邻接表

#邻接矩阵

邻接矩阵 使用 二维数组来表示图结构。 邻接矩阵是从节点的角度来表示图，有多少节点就申请多大的二维数组。

例如： grid[2][5] = 6，表示 节点 2 链接 节点5 为有向图，节点2 指向 节点5，边的权值为6 （套在题意里，可能是距离为6 或者 消耗为6 等等）

如果想表示无向图，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6，表示节点2 与 节点5 相互连通，权值为6。

如图：

​​

在一个 n （节点数）为8 的图中，就需要申请 8 * 8 这么大的空间，有一条双向边，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6

这种表达方式（邻接矩阵） 在 边少，节点多的情况下，会导致申请过大的二维数组，造成空间浪费。

而且在寻找节点链接情况的时候，需要遍历整个矩阵，即 n * n 的时间复杂度，同样造成时间浪费。

邻接矩阵的优点：

• 表达方式简单，易于理解
• 检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快
• 适合稠密图，在边数接近顶点数平方的图中，邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。

缺点：

• 遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费 且遍历 边 的时候需要遍历整个n * n矩阵，造成时间浪费

#邻接表

邻接表 使用 数组 + 链表的方式来表示。 邻接表是从边的数量来表示图，有多少边 才会申请对应大小的链表。

邻接表的构造如图：

​​

这里表达的图是：

• 节点1 指向 节点3 和 节点5
• 节点2 指向 节点4、节点3、节点5
• 节点3 指向 节点4，节点4指向节点1。

有多少边 邻接表才会申请多少个对应的链表节点。

从图中可以直观看出 使用 数组 + 链表 来表达 边的链接情况 。

邻接表的优点：

• 对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高
• 遍历节点链接情况相对容易

缺点：

• 检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要 O(V)时间，V表示某节点链接其他节点的数量。
• 实现相对复杂，不易理解

#本题图的存储

接下来我们继续按照稀疏图的角度来分析本题。

在第一个版本的实现思路中，我们提到了三部曲：

1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
2. 第二步，该最近节点被标记访问过
3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）

在第一个版本的代码中，这三部曲是套在一个 for 循环里，为什么？

因为我们是从节点的角度来解决问题。

三部曲中第一步（选源点到哪个节点近且该节点未被访问过），这个操作本身需要for循环遍历 minDist 来寻找最近的节点。

同时我们需要 遍历所有 未访问过的节点，所以 我们从 节点角度出发，代码会有两层for循环，代码是这样的： （注意代码中的注释，标记两层for循环的用处）

for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历所有节点，第一层for循环 int minVal = INT_MAX;
int cur = 1;// 1、选距离源点最近且未访问过的节点 ， 第二层for循环
for (int v = 1; v <= n; ++v) {
if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
minVal = minDist[v];
cur = v;
}
}visited[cur] = true;  // 2、标记该节点已被访问// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}}

那么当从 边 的角度出发， 在处理 三部曲里的第一步（选源点到哪个节点近且该节点未被访问过）的时候 ，我们可以不用去遍历所有节点了。

而且 直接把 边（带权值）加入到 小顶堆（利用堆来自动排序），那么每次我们从 堆顶里 取出 边 自然就是 距离源点最近的节点所在的边。

这样我们就不需要两层for循环来寻找最近的节点了。

了解了大体思路，我们再来看代码实现。

首先是 如何使用 邻接表来表述图结构，这是摆在很多录友面前的第一个难题。

邻接表用 数组+链表 来表示，代码如下：（C++中 vector 为数组，list 为链表， 定义了 n+1 这么大的数组空间）

vector<list<int>> grid(n + 1);

不少录友，不知道 如何定义的数据结构，怎么表示邻接表的，我来给大家画一个图：

​​

图中邻接表表示：

• 节点1 指向 节点3 和 节点5
• 节点2 指向 节点4、节点3、节点5
• 节点3 指向 节点4
• 节点4 指向 节点1

大家发现图中的边没有权值，而本题中 我们的边是有权值的，权值怎么表示？在哪里表示？

所以 在vector<list<int>> grid(n + 1);​ 中 就不能使用int了，而是需要一个键值对 来存两个数字，一个数表示节点，一个数表示 指向该节点的这条边的权值。

那么 代码可以改成这样： （pair 为键值对，可以存放两个int）

vector<list<pair<int,int>>> grid(n + 1);

举例来给大家展示 该代码表达的数据 如下：

​​

• 节点1 指向 节点3 权值为 1
• 节点1 指向 节点5 权值为 2
• 节点2 指向 节点4 权值为 7
• 节点2 指向 节点3 权值为 6
• 节点2 指向 节点5 权值为 3
• 节点3 指向 节点4 权值为 3
• 节点5 指向 节点1 权值为 10

这样 我们就把图中权值表示出来了。

但是在代码中 使用 pair<int, int>​ 很容易让我们搞混了，第一个int 表示什么，第二个int表示什么，导致代码可读性很差，或者说别人看你的代码看不懂。

那么 可以 定一个类 来取代 pair<int, int>​

类（或者说是结构体）定义如下：

struct Edge {
int to;  // 邻接顶点
int val; // 边的权重Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};

这个类里有两个成员变量，有对应的命名，这样不容易搞混 两个int的含义。

所以 本题中邻接表的定义如下：

struct Edge {
int to;  // 链接的节点
int val; // 边的权重Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};vector<list<Edge>> grid(n + 1); // 邻接表

（我们在下面的讲解中会直接使用这个邻接表的代码表示方式）

#堆优化细节

其实思路依然是 dijkstra 三部曲：

1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
2. 第二步，该最近节点被标记访问过
3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）

只不过之前是 通过遍历节点来遍历边，通过两层for循环来寻找距离源点最近节点。 这次我们直接遍历边，且通过堆来对边进行排序，达到直接选择距离源点最近节点。

先来看一下针对这三部曲，如果用 堆来优化。

那么三部曲中的第一步（选源点到哪个节点近且该节点未被访问过），我们如何选？

我们要选择距离源点近的节点（即：该边的权值最小），所以 我们需要一个 小顶堆 来帮我们对边的权值排序，每次从小顶堆堆顶 取边就是权值最小的边。

C++定义小顶堆，可以用优先级队列实现，代码如下：

// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};
// 优先队列中存放 pair<节点编号，源点到该节点的权值> 
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;

（pair<int, int>​中 第二个int 为什么要存 源点到该节点的权值，因为 这个小顶堆需要按照权值来排序）

有了小顶堆自动对边的权值排序，那我们只需要直接从 堆里取堆顶元素（小顶堆中，最小的权值在上面），就可以取到离源点最近的节点了 （未访问过的节点，不会加到堆里进行排序）

所以三部曲中的第一步，我们不用 for循环去遍历，直接取堆顶元素：

// pair<节点编号，源点到该节点的权值>
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();

第二步（该最近节点被标记访问过） 这个就是将 节点做访问标记，和 朴素dijkstra 一样 ，代码如下：

// 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;

（cur.first​ 是指取 pair<int, int>​ 里的第一个int，即节点编号 ）

第三步（更新非访问节点到源点的距离），这里的思路 也是 和朴素dijkstra一样的。

但很多录友对这里是最懵的，主要是因为两点：

• 没有理解透彻 dijkstra 的思路
• 没有理解 邻接表的表达方式

我们来回顾一下 朴素dijkstra 在这一步的代码和思路（如果没看过我讲解的朴素版dijkstra，这里会看不懂）

// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}

其中 for循环是用来做什么的？ 是为了 找到 节点cur 链接指向了哪些节点，因为使用邻接矩阵的表达方式 所以把所有节点遍历一遍。

而在邻接表中，我们可以以相对高效的方式知道一个节点链接指向哪些节点。

再回顾一下邻接表的构造（数组 + 链表）：

​​

假如 加入的cur 是节点 2， 那么 grid[2] 表示的就是图中第二行链表。 （grid数组的构造我们在 上面 「图的存储」中讲过）

所以在邻接表中，我们要获取 节点cur 链接指向哪些节点，就是遍历 grid[cur节点编号] 这个链表。

这个遍历方式，C++代码如下：

for (Edge edge : grid[cur.first]) 

（如果不知道 Edge 是什么，看上面「图的存储」中邻接表的讲解）

​cur.first​ 就是cur节点编号， 参考上面pair的定义： pair<节点编号，源点到该节点的权值>

接下来就是更新 非访问节点到源点的距离，代码实现和 朴素dijkstra 是一样的，代码如下：

// 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
// cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}

但为什么思路一样，有的录友能写出朴素dijkstra，但堆优化这里的逻辑就是写不出来呢？

主要就是因为对邻接表的表达方式不熟悉！

以上代码中，cur 链接指向的节点编号 为 edge.to， 这条边的权值为 edge.val ，如果对这里模糊的就再回顾一下 Edge的定义：

struct Edge {
int to;  // 邻接顶点
int val; // 边的权重Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};

确定该节点没有被访问过，!visited[edge.to]​ ， 目前 源点到cur.first的最短距离（minDist） + cur.first 到 edge.to 的距离 （edge.val） 是否 小于 minDist已经记录的 源点到 edge.to 的距离 （minDist[edge.to]）

如果是的话，就开始更新操作。

即：

if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to])); // 由于cur节点的加入，而新链接的边，加入到优先级队里中
}

同时，由于cur节点的加入，源点又有可以新链接到的边，将这些边加入到优先级队里中。

以上代码思路 和 朴素版dijkstra 是一样一样的，主要区别是两点：

• 邻接表的表示方式不同
• 使用优先级队列（小顶堆）来对新链接的边排序

#代码实现

堆优化dijkstra完整代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std; 
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};
// 定义一个结构体来表示带权重的边
struct Edge {
int to;  // 邻接顶点
int val; // 边的权重Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;vector<list<Edge>> grid(n + 1);for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val; 
// p1 指向 p2，权值为 val
grid[p1].push_back(Edge(p2, val));}int start = 1;  // 起点
int end = n;    // 终点// 存储从源点到每个节点的最短距离
std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);// 记录顶点是否被访问过
std::vector<bool> visited(n + 1, false); // 优先队列中存放 pair<节点，源点到该节点的权值>
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;// 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
pq.push(pair<int, int>(start, 0)); minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0while (!pq.empty()) {
// 1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过 （通过优先级队列来实现）
// <节点， 源点到该节点的距离>
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();if (visited[cur.first]) continue;// 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;// 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
// cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}}if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}

• 时间复杂度：O(ElogE) E 为边的数量
• 空间复杂度：O(N + E) N 为节点的数量

堆优化的时间复杂度 只和边的数量有关 和节点数无关，在 优先级队列中 放的也是边。

以上代码中，while (!pq.empty())​ 里套了 for (Edge edge : grid[cur.first])​

​for​ 里 遍历的是 当前节点 cur 所连接边。

那 当前节点cur 所连接的边 也是不固定的， 这就让大家分不清，这时间复杂度究竟是多少？

其实 for (Edge edge : grid[cur.first])​ 里最终的数据走向 是 给队列里添加边。

那么跳出局部代码，整个队列 一定是 所有边添加了一次，同时也弹出了一次。

所以边添加一次时间复杂度是 O(E)， while (!pq.empty())​ 里每次都要弹出一个边来进行操作，在优先级队列（小顶堆）中 弹出一个元素的时间复杂度是 O(logE) ，这是堆排序的时间复杂度。

（当然小顶堆里 是 添加元素的时候 排序，还是 取数元素的时候排序，这个无所谓，时间复杂度都是O(E)，总之是一定要排序的，而小顶堆里也不会滞留元素，有多少元素添加 一定就有多少元素弹出）

所以 该算法整体时间复杂度为 O（ElogE)

网上的不少分析 会把 n （节点的数量）算进来，这个分析是有问题的，举一个极端例子，在n 为 10000，且是有一条边的 图里，以上代码，大家感觉执行了多少次？

​while (!pq.empty())​ 中的 pq 存的是边，其实只执行了一次。

所以该算法时间复杂度 和 节点没有关系。

至于空间复杂度，邻接表是 数组 + 链表 数组的空间 是 N ，有E条边 就申请对应多少个链表节点，所以是 复杂度是 N + E

#拓展

当然也有录友可能想 堆优化dijkstra 中 我为什么一定要用邻接表呢，我就用邻接矩阵 行不行 ？

也行的。

但 正是因为稀疏图，所以我们使用堆优化的思路， 如果我们还用 邻接矩阵 去表达这个图的话，就是 一个高效的算法 使用了低效的数据结构，那么 整体算法效率 依然是低的。

如果还不清楚为什么要使用 邻接表，可以再看看上面 我在 「图的存储」标题下的讲解。

这里我也给出 邻接矩阵版本的堆优化dijkstra代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2，权值为 val
grid[p1][p2] = val;
}int start = 1;  // 起点
int end = n;    // 终点// 存储从源点到每个节点的最短距离
std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);// 记录顶点是否被访问过
std::vector<bool> visited(n + 1, false);// 优先队列中存放 pair<节点，源点到该节点的距离>
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;// 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
pq.push(pair<int, int>(start, 0));minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0while (!pq.empty()) {
// <节点， 源点到该节点的距离>
// 1、选距离源点最近且未访问过的节点
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();if (visited[cur.first]) continue;visited[cur.first] = true; // 2、标记该节点已被访问// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (!visited[j] && grid[cur.first][j] != INT_MAX && (minDist[cur.first] + grid[cur.first][j] < minDist[j])) {
minDist[j] = minDist[cur.first] + grid[cur.first][j];
pq.push(pair<int, int>(j, minDist[j]));
}
}
}if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径}

• 时间复杂度：O(E * (N + logE)) E为边的数量，N为节点数量
• 空间复杂度：O(log(N^2))

​while (!pq.empty())​ 时间复杂度为 E ，while 里面 每次取元素 时间复杂度 为 logE，和 一个for循环 时间复杂度 为 N 。

所以整体是 E * (N + logE)

#总结

在学习一种优化思路的时候，首先就要知道为什么要优化，遇到了什么问题。

正如我在开篇就给大家交代清楚 堆优化方式的背景。

堆优化的整体思路和 朴素版是大体一样的，区别是 堆优化从边的角度出发且利用堆来排序。

很多录友别说写堆优化 就是看 堆优化的代码也看的很懵。

主要是因为两点：

• 不熟悉邻接表的表达方式
• 对dijkstra的实现思路还是不熟

这是我为什么 本篇花了大力气来讲解 图的存储，就是为了让大家彻底理解邻接表以及邻接表的代码写法。

至于 dijkstra的实现思路 ，朴素版 和 堆优化版本 都是 按照 dijkstra 三部曲来的。

理解了三部曲，dijkstra 的思路就是清晰的。

针对邻接表版本代码 我做了详细的 时间复杂度分析，也让录友们清楚，相对于 朴素版，时间都优化到哪了。

最后 我也给出了 邻接矩阵的版本代码，分析了这一版本的必要性以及时间复杂度。

至此通过 两篇dijkstra的文章，终于把 dijkstra 讲完了，如果大家对我讲解里所涉及的内容都吃透的话，详细对 dijkstra 算法也就理解到位了。