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基本概念

给定输入有为（x,y），其中x表示学习特征，y表示输出，m表示输入总数，有监督学习旨在根据输入建立能够预测可能输出的模型，大致可以分为回归和分类两种，代表可能输出是无限的或是有限可能。

模型

线性回归模型
通过数据集建立回归模型，表现形式为根据数据点建立曲线，如y~=wx+b，用于预测无限可能的数字。
分类模型
少量可能输出的预测，比如图片内容识别，音频字符识别等情况。

基本训练过程为
训练集—学习算法—预测方法

成本函数J

用于衡量建立曲线与数据点的差异大小，即曲线的拟合程度，通过平均误差成本函数实现—
除m是为了避免误差随着数据集增大而增大，而除2是为了后续化简，使程序整洁。

构建模型的目的是使成本函数J尽可能小，为了简化，暂时不考虑b。

梯度下降

找w和b使成本函数最小的方法，也是逐步确定拟合曲线的方法，将参数初始化为0，每次尝试使J减小的方向，可视化如下：

本质是通过切线找到三维图像的最低点，从任意点开始找w和b使成本函数最小的方法如式:


上述两个迭代公式需同步计算，上述步骤不断重复直到收敛，可以实现成本函数不断向局部最小值更新，其中a又称学习率，用于控制上下坡的步幅。

线性回归

用向量分别表示输入x和参数w，f(x)=w·x+b，特征多数据大时，传统计算方法耗时很长，故考虑采取其他技术解决。

矢量化

w=np.array([])，x=np.array([])生成向量，但计算时不使用循环乘法，二十直接调用f=np.dot(w,x)+b实现点积运算，该方法快于for循环，使用并行硬件，执行快。

梯度下降

w由原有计算式带入可得
相应的，b的新计算式为

这里求导平方的2就和成本函数J分母加的2抵消，使式子简洁。
另外还有法方程法可用，但该方法并不通用，只在这种场景下可以无需迭代求解w和b，但梯度下降是通用的方法。

特征缩放

单个特征对J的影响很大时，会导致曲线变化太大，梯度下降来回跳动，无法找到极值点，如下图

此时我们可以选择缩放特性，使整体的特征值大致在同一范围内，使用除法或平均归一化方法。

判断收敛

通过学习曲线检查梯度下降是否收敛，如下图

可以看出随着迭代次数的上升成本函数不断下降并趋于一个固定值，此时可以声明其收敛，但该方法的难度在于确定一个阈值。

选择学习率

太小则计算步骤增多，太大则可能跨过极值点，导致计算永远达不到最小值，需要尝试绘图找到合适的值，在接近最小值后由于偏导变化，步子会自动变小，同样需要尝试根据学习曲线图像选择。

如果学习曲线上下摆动，则可能是学习率的选择过于大了。

选择特征

可以根据需要创建新特性，如果曲线不能线性拟合，也可以使用特征多项式提高特征次数，获得拟合曲线，在该部分特征缩放显得尤其重要。

logistic回归

用于分类，拟合一条横S曲线，用于二进制的分类，具体公式如下，其中z=w·x+b，0<g(z)<1

图像大致如下：

该模型输出一个范围0-1的数字，代表分类为1的概率，多用于广告推荐算法，输出概率需设置阈值判定，常见的为0.5，该阈值称为决策边界，也就是z为0时的取值。

损失函数

单个点的损失L表示为：

L(z,y)= -log(z) 	y=1-log(1-z)	y=0

具体含义为，当y=1，预测为真则无损，预测为0则损失极大，y=0相同，预测为1损失极大，预测为0无损，区间的损失用对数函数覆盖。
上述损失可以简化为：

当y=1或y=0时带入都可化简为初始式子。

总的损失函数J是所有点损失集合的平均数，表示为：

梯度下降

二者同样需要同时计算，与线性回归的区别只在f(x)上，一个是f=w·x+b，另一个是指数形式1/1+e^(w·x+b)。

其他

矢量化，特征缩放，判断收敛等，都与线性回归相同。

正则化

拟合与数据不匹配，称为偏差，拟合符合数据，但变化太多不能适应新数据，称为方差，或过拟合，如下三图分别表示偏差，合格拟合和方差。

解决过拟合的方法有：
1，收集更多数据，更大的训练集可以限制函数，拟合出摆动没那么大的图像
2，减少特征，数据不足但特征过多，易过拟合
3，减少参数大小，惩罚所有特征，可以使函数更平滑，表示公式如图：

其中lambda>0,使用正则化成本函数的思想为使w尽可能小。

正则化线性回归梯度下降

原有成本函数梯度下降为:

正则化logistic回归梯度下降

总结

本章学习了监督学习的两种算法，回归和分类，分别用于处理预测无限可能的数字，和有限输出的类型，本质都是通过对已有的数据建立拟合模型来实现，区别在于拟合曲线不同，拟合模型内部通过成本函数来衡量预测结果，每次模型调整又借助梯度下降实现，三者统一完成模型的建立与调整，最后，通过正则化来解决过拟合。

总结的总结，有监督学习的要点：标签、拟合曲线、成本函数、梯度下降、正则化，另外与无监督学习的区别就在于训练集有标签，在特定领域和指定情况效果佳。

另外，正则化之前的函数中分母m或2m应该提到最前并改为1/m，修改工作量大偷个小懒。