对经典动态规划问题【爬台阶】的一些思考

背景

今天在做Leetcode题目时，做到了一道经典的动态规划问题：爬楼梯，题目的大致意思很简单，有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。在考虑这个问题的时候本人产生了以下的思考。

自己的思考

上4阶台阶=上1阶台阶方法和上3阶台阶方法之和+上2阶台阶方法和上2阶台阶方法之和+上3阶台阶方法和上1阶台阶方法之和，这种思路对吗？

对思路的验证

这种思路实际上是在尝试将问题分解为多个独立的情况，但这里存在一个逻辑错误。

我的思路中的错误在于，将“上2阶台阶的方法数”重复计算了两次，一次是作为到达第3阶台阶后上1阶（此时有一种情况是先上2阶，再上1阶，到达第3阶，最后再上1阶），另一次是作为到达第2阶台阶后上2阶（先上2阶，后面2阶分两次1阶）。实际上，到达第4阶台阶的方法数应该只计算一次“上2阶台阶”的情况。

正确的思路

让我们分析一下正确的思路：

1. 上1阶台阶的方法数：到达第4阶台阶，你可以先上1阶，然后剩下的是上3阶台阶的方法数，即 dp[3]。

2. 上2阶台阶的方法数：到达第4阶台阶，你可以先上2阶，然后剩下的是上2阶台阶的方法数，即 dp[2]。

3. 上3阶台阶的方法数：到达第4阶台阶，你可以先上3阶，然后剩下的是上1阶台阶的方法数，即 dp[1]。

正确的状态转移方程应该是：

$dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]+dp[n-3]$;

这个方程表示到达第 ( n ) 阶台阶的方法数是到达第 ( n-1 ) 阶、( n-2 ) 阶和 ( n-3 ) 阶台阶的方法数之和。这里没有重复计算任何情况，每个情况都被独立考虑了一次。

总结

之前的思考过程尝试将问题分解为多个部分，这是一个很好的方法，但是在合并这些部分时，需要确保没有重复计算任何情况。正确的方法是使用动态规划，确保每一步都是基于前几步的结果，并且没有重复或遗漏。