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62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

题目链接：LeetCode62.不同路径
文档讲解：代码随想录LeetCode62.不同路径

题解

class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));for (int i = 0; i < m; i++)dp[i][0] = 1;for (int j = 0; j < n; j++)dp[0][j] = 1;for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}return dp[m - 1][n - 1];}
};

• 时间复杂度：O(mn)
• 空间复杂度：O(mn)

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63. 不同路径II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

题目链接：LeetCode63.不同路径II
文档讲解：代码随想录LeetCode63.不同路径II

题解

当路径上出现障碍时，dp数组对应位置的值保持不变为0

class Solution {
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {int m = obstacleGrid.size();int n = obstacleGrid[0].size();vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++)dp[i][0] = 1;for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++)dp[0][j] = 1;for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {if (obstacleGrid[i][j] == 1)continue;dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}return dp[m - 1][n - 1];}
};

• 时间复杂度：O(mn)
• 空间复杂度：O(mn)

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343. 整数拆分

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

题目链接：LeetCode343.整数拆分
文档讲解：代码随想录LeetCode343.整数拆分

题解

分拆数字 i 可以得到的最大乘积为dp[i]，遍历过程中的递推公式为dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))

class Solution {
public:int integerBreak(int n) {vector<int> dp(n + 1);dp[2] = 1;for (int i = 3; i <= n; i++) {for (int j = 1; j < i; j++) {dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));}}return dp[n];}
};

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)

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96. 不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

题目链接：LeetCode96.不同的二叉搜索树
文档讲解：代码随想录LeetCode96.不同的二叉搜索树

题解

dp[i]为利用 i 个节点可以得到的不同二叉搜索树的种数，以n=3为例，dp[3] = 元素1为头节点搜索树的数量 + 元素2为头节点搜索树的数量 + 元素3为头节点搜索树的数量。
元素1为头节点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头节点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头节点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector<int> dp(n + 1);dp[0] = 1;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];}}return dp[n];}
};

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)