数学-快速幂

从一个简单的问题说起：

给出整数m，n和p，要求计算(m ^ n) % p的结果。

#include <iostream>
using namespace std;int main() {long long m, n, p;cin >> m >> n >> p;long long ans = 1;for (long long i = 0; i < n; i++) {ans = ans * m;}cout << ans << "\n";return 0;
}

 这个程序似乎正确了，但是存在严重问题：

<1>.m或n太大，极容易溢出.

<2>.如果n的值太大，时间消耗O(n)代价较大.

首先解决溢出的问题：

显然：

(a * b) % c = ((a  % c)  * (b % c)) % c.

这样，就可以把程序改写为如下形式：

但是，如果n的值太大，时间消耗O(n)代价太大，这个问题如何解决呢? 

#include <iostream>
using namespace std;int main() {long long m, n, p;cin >> m >> n >> p;long long ans = 1;for (long long i = 0; i < n; i++) {ans = ((ans % p) * (m % p)) % p;}cout << ans << "\n";return 0;
}

乘方快速幂：

假设要计算 m^10，m^10 = (m^5) ^ 2 = (m * (m ^ 2) ^ 2) ^ 2.

也就是说，要计算m ^ n，有： 

 那么，程序就变成了：

#include <iostream>
using namespace std;int main() {long long m, n, p;cin >> m >> n >> p;long long ans = 1;while (n) {if (n % 2 != 0) {ans = ((ans % p) * (m % p)) % p;}n = n / 2;m = ((m % p) * (m % p)) % p;}cout << ans << "\n";return 0;
}

但是，对于这个程序，我们仍可以继续对其优化：

首先介绍一下 按位与运算(&) 与 右移运算(>>)：

<1>.按位与运算：

对于两个二进制数，它们按位与运算的结果是： 对于每一位，如果两个数的这一位同时为1，那么按位与的结果便是1，否则为0，最后将结果转化为十进制，就是我们想要的答案了。 对于一个整数，如果它是奇数，那么它的二进制表示的最低位为1，否则为0，那么对于奇数而言，其按位与1的结果是1，对于偶数而言，其按位与1的结果是0，由此我们可以通过判断一个整数按位与1的结果来判断其是偶数还是奇数.

<2>.右移运算：

同样是对2进制数进行处理，将所有位置上的数字右移，高位补0：如5：101，右移一位为010，结果是2。则：对于一个整数而言，右移一位，相当于其除以2并向下取整。

我们可以根据这两个运算来初步优化程序：

即将 n % 2 != 0 改为 n & 1 == 1，将 n = n / 2 改为 n = n >> 1.

#include <iostream>
using namespace std;int main() {long long m, n, p;cin >> m >> n >> p;long long ans = 1;while (n) {if (n & 1) {ans = ((ans % p) * (m % p)) % p;}n = n >> 1;m = ((m % p) * (m % p)) % p;}cout << ans << "\n";return 0;
}

对于m ^ 0，结果为1，1 % 1 == 0，所以，我们应该要防止这种特殊情况，即在进行乘方运算之前，先将ans % p： 

#include <iostream>
using namespace std;int main() {long long m, n, p;cin >> m >> n >> p;long long ans = 1 % p;while (n) {if (n & 1) {ans = ((ans % p) * (m % p)) % p;}n = n >> 1;m = ((m % p) * (m % p)) % p;}cout << ans << "\n";return 0;
}

因为C++内置的最高整数类型是64位，若运算 (a ^ b) % p中的三个变量a，b，p都在10^18级别，则不存在一个可供强制转化的128位整数类型，我们需要一些特殊的处理办法：

进行乘方运算之前，先让m对p取模一次： 

#include <iostream>
using namespace std;int main() {long long m, n, p;cin >> m >> n >> p;long long ans = 1 % p;m %= p;while (n) {if (n & 1) {ans = ((ans % p) * (m % p)) % p;}n = n >> 1;m = ((m % p) * (m % p)) % p;}cout << ans << "\n";return 0;
}

这样就是最优的形式了。 

下面给出几道相关的练习题： 

Raising Modulo Numbers

我们可以计算每一项a^b的值，然后将其加起来作为结果： 

#include <iostream>
#define i64 long longi64 qpow(i64 a, i64 b, i64 p) {i64 ans = 1 % p;a %= p;while (b) {if (b & 1) {ans = ((ans % p) * (a % p)) % p;}b >>= 1;a = ((a % p) * (a % p)) % p;}return ans;
}int main() {int t; std::cin >> t;while (t--) {i64 M;std::cin >> M;i64 H, ans = 0;std::cin >> H;for (int i = 0; i < H; i++) {i64 A, B;std::cin >> A >> B;ans = ((ans % M) + (qpow(A, B, M) % M)) % M;}std::cout << ans << "\n";}return 0;
}

Pseudoprime numbers

题意：

输入p 和 a，如果p不是质数，并且a>1并且(a^p) % p == a % p，那么输出yes，否则输出no

参考代码：

#include <iostream>
using namespace std;bool isprime(long long n) {if (n < 2) {return false;}for (int i = 2; i <= n / i; i++) {if (n % i == 0) {return false;}}return true;
}long long qpow(long long m, long long n, long long p) {long long ans = 1 % p;while (n) {if (n & 1) {ans = ((ans % p) * (m % p)) % p;}n = n >> 1;m = ((m % p) * (m % p)) % p;}return ans;
}int main() {long long p, a;while (cin >> p >> a && p && a) {if (isprime(p) == false && qpow(a, p, p) == a % p && a > 1) {cout << "yes\n";} else {cout << "no\n";}}return 0;
}

方阵快速幂：