【工程测试技术】第3章 测试装置的基本特性,静态特性和动态特性，一阶二阶系统的特性，负载效应，抗干扰性

目录

3.1 概述

1测量装置的静态特性

  2.标准和标准传递

3.测量装置的动态特性

4.测量装置的负载特性

5.测量装置的抗干扰性

1.线性度

2.灵敏度

3.回程误差

 4.分辨力

5.零点漂移和灵敏度漂移

3.3.1 动态特性的数学描述 

1.传递函数

2.频率响应函数

3.脉冲响应函数

4.环节的串联和并联

3.3.2 一阶、二阶系统的特性

1.一阶系统

2.二阶系统

3.4.1 系统对任意输入的响应

3.4.2  系统对单位阶跃输入的响应

3.5 实现不失真测量的条件

3.6 测量装置动态特性的测量

3.6.1 频率响应法

3.6.2 阶跃响应法

1.由一阶装置的阶跃响应求其动态特性参数

2.由二阶装置的阶跃响应求其动态特性参数

3.7 负 载 效 应

3.7.1 负载效应

3.7.2 减轻负载效应的措施

3.8 测量装置的抗干扰性

3.8.2 供电系统干扰及其抗干扰

1.电网电源噪声

2.供电系统的抗干扰

3.8.3 信道通道的干扰及其抗干扰

1.信道干扰的种类

2.信道通道的抗干扰措施

3.8.4 接地设计

2.串联接地

3.多点接地

4.模拟地和数字地

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3.1  概述

3.2  测量装置的静态特性

3.3  测量装置的动态特性

3.4   测量装置对任意输入的响应

3.5  实现不失真测量的条件

3.6  测量装置的动态特性的测量

3.7  负载效应

3.8  测量装置的抗干扰性

3.1 概述

  为实现某种量的测量而选择或设计测量装置时，就必须考虑这些测量装置能否准确获取被测量的量值及其变化，即实现准确测量。而是否能够实现准确测量，则取决于测量装置的特性。这些特性包括静态与动态特性、负载特性、抗干扰性等。这种划分只是为了研究上的方便，事实上测量装置的特性是统一的，各种特性之间是相互关联的。系统动态特性的性质往往与某些静态特性有关。例如，若考虑静态特性中的非线性、迟滞、游隙等，则动态特性方程就成为非线性方程。显然，从难于求解的非线性方程很难得到系统动态特性的清晰描述。因此，在研究测量系统动态特性时，往往忽略上述非线性或参数的时变特性，只从线性系统的角度研究测量系统最基本的动态特性。

1测量装置的静态特性

   测量装置的静态特性是通过某种意义的静态标定过程确定的，因此对静态标定必须有一个明确定义。静态标定是一个实验过程，这一过程是在只改变测量装置的一个输入量，而其他所有的可能输入严格保持为不变的情况下，测量对应的输出量，由此得到测量装置输入与输出间的关系。通常以测量装置所要测量的量为输入，得到的输入与输出间的关系作为静态特性。为了研究测量装置的原理和结构细节，还要确定其他各种可能输入与输出间的关系，从而得到所有感兴趣的输入与输出的关系。除被测量外，其他所有的输入与输出的关系可以用来估计环境条件的变化与干扰输入对测量过程的影响或估计由此产生的测量误差。这个过程如图３-１所示。

   在静态标定的过程中只改变一个被标定的量，而其他量只能近似保持不变，严格保持不变实际上是不可能的。因此，实际标定过程中除用精密仪器测量输入量（被测量）和被标定测量装置的输出量外，还要用精密仪器测量若干环境变量或干扰变量的输入和输出，如图３-２所示。一个设计、制造良好的测量装置对环境变化与干扰的响应（输出）应该很小。

  

  2.标准和标准传递

     如果要得到有意义的标定结果，输入和输出变量的测量必须是精确的。用来定量这些变量的仪器（或传感器）和技术统称为标准。一个变量的测量精度是指测量接近变量真值的程度。这种接近程度是根据测量误差加以量化，即测量值与真值之差。于是存在着如何建立变量真值的问题。将一个变量的真值定义为用精度最高的最终标准得到的测量值。实际上可能无法使用最终标准来测量该变量，但是可以使用中间的传递标准，这就引入逐级溯源的概念，即如图３-３所示的标准传递和实例。测量所使用的传感器用实验室标准标定，实验室标准用传递标准标定，传递标准用最终标准标定。这里的实例为压力传感器标准传递和标定，建立传递标准时，还需用最终标准确定砝码加压活塞的直径，同时要确定当地的海拔，以确定当地重力加速度ｇ，而传递标准砝码则是要定期由中国计量科学研究院标定。

  国际单位制（SI）如绪论所述包含7个基本单位和2个辅助单位。在基本单位和辅助单位的基础上，其他所有的单位可以由基本单位和辅助单位及其幂的相乘、相除的形式构成，称为导出单位。用专门符号表示的导出单位见表3-1。没有专门符号表示的导出单位见表3-2。

3.测量装置的动态特性

   测量装置的动态特性是当被测量即输入量随时间快速变化时，测量输入与响应输出之间动态关系的数学描述。如前所述，在研究测量装置动态特性时，往往认为系统参数是不变的，并忽略诸如迟滞、死区等非线性因素，即用常系数线性微分方程描述测量装置输入与输出间的关系。测量装置的动态特性也可用微分方程的线性变换描述，采用初始条件为零的拉普拉斯（Laplace）变换可得传递函数，采用初始条件为零时傅里叶（Fourier）变换可得频响函数。此外，测量装置的动态特性也可用单位脉冲输入的响应来表示。 测量装置的微分方程为

即测量装置的单位脉冲响应等于其传递函数的拉普拉斯逆变换。

式中：x(t)——测量装置的输入量，其单位为被测量的单位；            

 y(t)——测量装置的输出量，其单位为测量装置输出量的单位；

   测量装置的动态特性可由物理原理的理论分析和参数的试验估计得到，也可由系统的试验方法得到。前者适用于简单的测量装置，后者则是普遍适用的方法，本章将详细讨论这些方法。

  在测量装置动态特性建模中，常常使用静态标定得到的灵敏度等常数。然而，在某些情况下动态灵敏度不同于静态灵敏度，在要求高的动态特性精度时，则需要深入考虑这些问题。确定测量装置动态特性的目的是了解其所能实现的不失真测量的频率范围。反之，在确定了动态测量任务之后，则要选择满足这种测量要求的测量装置，必要时还要用试验方法准确确定此装置的动态特性，从而得到可靠的测量结果和估计测量误差。

4.测量装置的负载特性

   测量装置或测量系统是由传感器、测量电路、前置放大、信号调理、直到数据存储或显示等环节组成。若是数字系统,则信号要通过A-D转换环节传输到数字环节或计算机,实现结果显示、存储或D-A转换等。当传感器安装到被测物体上或进入被测介质,要从物体与介质中吸收能量或产生干扰,使被测物理量偏离原有的量值,从而不可能实现理想的测量,这种现象称为负载效应。这种效应不仅发生在传感器与被测物体之间,而且存在于测量装置的上述各环节之间。对于电路间的级联来说,负载效应的程度取决于前级的输出阻抗和后级的输入阻抗。将其推广到机械或其他非电系统,就是本章要讨论的广义负载效应和广义阻抗的概念。测量装置的负载特性是其固有特性,在进行测量或组成测量系统时,要考虑这种特性并将其影响降到最小。

5.测量装置的抗干扰性

    测量装置在测量过程中要受到各种干扰，包括电源干扰、环境干扰（电磁场、声、光、温度、振动等干扰）和信道干扰。这些干扰的影响取决于测量装置的抗干扰性能，并且与所采取的抗干扰措施有关。本章讨论这些干扰与测量装置的耦合机理与叠加到被测信号上形成的污染，同时讨论有效的抗干扰技术（如合理接地等）。

   对于多通道测量装置,理想的情况应该是各通道完全独立的或完全隔离的，即通道间不发生耦合与相互影响。实际上通道间存在一定程度的相互影响，即存在通道间的干扰。因此，多通道测量装置应该考虑通道间的隔离性能。

    测量装置的静态特性是在静态测量情况下描述实际测量装置与理想时不变线性系统的接近程度。主要的静态特性有：     线性度、灵敏度、回程误差、分辨力、零点漂移和灵敏度漂移

1.线性度

       线性度是指测量装置输入、输出之间的关系与理想比例关系（即理想直线关系）的偏离程度。实际上由静态标定所得到的输入、输出数据点并不在一条直线上，如图3-4a、b所示。这些点与理想直线偏差的最大值Δmax称为线性误差，也可以用百分数表示线性误差，如式（3-7）。这里的“理想直线”通常有两种确定方法：一种是最小与最大数据值的连线，即端点连线，如图3-4a所示；另一种是数据点的最小二乘直线拟合得到的直线，如图3-4b所示。通常较常使用后者。

  图3-4中和式（3-7）中：

Ymin和Ymax——输出的最小值和最大值； Xmin和Xmax——输入的最小值和最大值； Δmax——最大的线性误差。

2.灵敏度

       灵敏度定义为单位输入变化所引起的输出的变化，通常使用理想直线的斜率作为测量装置的灵敏度值，如图3-4b所示，即

灵敏度=ΔY/ΔX              (3-8)

灵敏度是有量纲的，其量纲为输出量的量纲与输入量的量纲之比。

3.回程误差

     回程误差也称为迟滞误差，是描述测量装置同输入变化方向有关的输出特性。如图3-5中曲线所示，理想测量装置的输入、输出有完全单调的一一对应直线关系，不管输入是由小增大，还是由大减小，对于一个给定的输入,输出总是相同的。但是实际测量装置在同样的测试条件下，当输入量由小增大和由大减小时，对于同一个输入量所得到的两个输出量却往往存在差值。在整个测量范围内，最大的差值h称为回程误差或迟滞误差。

     磁性材料的磁化曲线和金属材料的受力—变形曲线常常可以看到这种回程误差。当测量装置存在死区时也可能出现这种现象。

 4.分辨力

引起测量装置的输出值产生一个可察觉变化的最小输入量（被测量）变化值称为分辨力。

5.零点漂移和灵敏度漂移

   零点漂移是测量装置的输出零点偏离原始零点的距离,如图3-6所示，它可以是随时间缓慢变化的量。灵敏度漂移则是由于材料性质的变化所引起的输入与输出关系（斜率）的变化。在一般情况下,后者的数值很小，可以略去不计，于是只考虑零点漂移。如需长时间测量，则需给出24h或更长时间的零点漂移曲线。

3.3.1 动态特性的数学描述 

    把测量装置视为定常线性系统，可用常系数线性微分方程式(3-1)来描述该系统输出y(t)和输入x(t)之间的关系。如果通过拉普拉斯变换建立与其相应的“传递函数”，通过傅里叶变换建立与其相应的“频率特性函数”，就可更简便、更有效地描述装置的特性和输出y(t)和输入x(t)之间的关系。

1.传递函数

    设X(s)和Y(s)分别为输入x(t)、 输出y(t)的拉普拉斯变换。对式(3-1)取拉普拉斯变换，整理后得

   式中：s——复变量，s=a+jω；             Gh(s)——与输入和系统初始条件有关的关系式；            H(s)——系统的传递函数,与系统初始条件及输入无关,只反映系统本身的特性。

若初始条件全为零，则因Gh(s)=0,便有:                                      

H(s)=Y(s)/X(s)      (3-10)          

    显然,简单地将传递函数说成输出、输入两者拉普拉斯变换之比是不妥当的。因为式(3-10)只有在系统初始条件均为零时才成立。今后若未加说明而引用式(3-10)时,便是假设系统初始条件为零.

传递函数有以下几个特点:          

1) H(s)与输入x(t)及系统的初始状态无关，它只表达系统的传输特性。对具体系统而言，它的H(s)不会因输入x(t)变化而不同，却对任一具体输入x(t)都能确定地给出相应的、 不同的输出。        

 2) H(s)是对物理系统的微分方程，即是对式(3-1)取拉普拉斯变换而求得的，它只反映系统传输特性而不拘泥于系统的物理结构。同一形式的传递函数可以表征具有相同传输特性的不同物理系统。例如液柱温度计和RC低通滤波器同是一阶系统，具有形式相似的传递函数，而其中一个是热学系统，另一个却是电学系统，两者的物理性质完全不同。        

 3) 对于实际的物理系统,输入x(t)和输出y(t)都具有各自的量纲。用传递函数描述系统传输、 转换特性理应真实地反映量纲的这种变换关系。这关系正是通过系数an、 an-1、 …、 a1、 a0和bm、 bm-1、 …、 b1、 b0来反映的。这些系数的量纲将因具体物理系统和输入、 输出的量纲而异。        

 4) H(s)中的分母取决于系统的结构。分母中s的最高幂次n代表系统微分方程的阶数。分子则和系统同外界之间的关系，如输入(激励)点的位置、 输入方式、 被测量及测点布置情况有关。         一般测量装置总是稳定系统，其分母中s的幂次总是高于分子中s的幂次，即n>m。

2.频率响应函数

    频率响应函数是在频率域中描述系统的动态特性，而传递函数是在复数域中来描述系统的动态特性，比在时域中用微分方程来描述系统特性有许多优点。许多工程系统的微分方程式及其传递函数极难建立，而且传递函数的物理概念也很难理解。与传递函数相比较,频率响应函数有着物理概念明确、容易通过实验来建立，也极易由它求出传递函数等优点。因此，频率响应函数就成为实验研究系统的重要工具。

   (1)幅频特性、相频特性和频率响应函数          

    根据定常线性系统的频率保持性，系统在简谐信号x(t)=X0sinωt的激励下，所产生的稳态输出也是简谐信号，y(t)=Y0sin(ωt+φ)。此时输入和输出虽为同频率的简谐信号，但两者的幅值并不一样。其幅值比A=Y0/X0和相位差φ都随频率ω而变，是ω的函数。          定常线性系统在简谐信号的激励下，其稳态输出信号和输入信号的幅值比被定义为该系统的幅频特性，记为A(ω)；稳态输出对输入的相位差被定义为该系统的相频特性，记为φ(ω)。两者统称为系统的频率特性。因此系统的频率特性是指系统在简谐信号激励下，其稳态输出对输入的幅值比、 相位差随激励频率ω变化的特性。          注意到任何一个复数z=a+jb，也可以表达为z=|z|ejθ。其中，相角θ=arctan(b/a)。现用A(ω)为模、 φ(ω)为辐角来构成一个复数H(ω)，即

H(ω)=A(ω)ejφ(ω) 

H(ω)表示系统的频率特性。H(ω)也称为系统的频率响应函数，它是激励频率ω的函数。

(2) 频率响应函数的求法          

  1) 在系统的传递函数H(s)已知的情况下，可令H(s)中s=jω，便可求得频率响应函数H(ω)。例如，设系统的传递函数为式(3-9)，令s=jω代入，便得该系统的频率响应函数H(ω)为

    响应函数有时记为H(jω)，以此来强调它来源于H(s)|s=jω。若研究在t=0时刻将激励信号接入稳定常系数线性系统时,令s=jω,代入拉普拉斯变换中,实际上就是将拉普拉斯变换变成傅里叶变换。同时考虑到系统在初始条件均为零时,有H(s)等于Y(s)和X(s)之比的关系,因而系统的频率响应函数H(ω)就成为输出y(t)的傅里叶变换Y(ω)和输入x(t)的傅里叶变换X(ω)之比,即

 H(ω)=Y(ω)/X(ω)         

2)用频率响应函数来描述系统的最大优点是可以通过实验来求得的频率响应函数的原理，比较简单明了。可依次用不同频率ωi的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值X0i、Y0i和相位差φi。这样对于某个ωi，便有一组Y0i/X0i=Ai和φi,全部的Ai-ωi和φi-ωi,i=1,2,…便可表达系统的频率响应函数。

 3) 也可在初始条件全为零的情况下，同时测得输入x(t)和输出y(t)，由其傅里叶变换X(ω)和Y(ω)求得频率响应函数H(ω)=Y(ω)/X(ω)。

    需要特别指出，频率响应函数是描述系统的简谐输入和相应的稳态输出的关系。因此，在测量系统频率响应函数时，应当在系统响应达到稳态阶段时才进行测量。        

    尽管频率响应函数是对简谐激励而言的，但如第一章所述,任何信号都可分解成简谐信号的叠加。因而在任何复杂信号输入下，系统频率特性也是适用的。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输入信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。

(3) 幅、 相频率特性及其图像描述

 将A(ω)-ω和φ(ω)-ω分别作图，即得幅频特性曲线和相频特性曲线。          

  实际作图时，常对自变量ω或f=ω/2π取对数标尺，幅值比A(ω)的坐标取分贝(dB)数标尺，相角取实数标尺，由此绘制的曲线分别称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线,总称为伯德图(Bode图)。        

   自然也可绘制H(ω)的虚部Q(ω)、 实部P(ω)和频率ω的关系曲线，即所谓的虚、 实频特性曲线；以及用A(ω)和φ(ω) 来绘制极坐标图，即奈奎斯特(Nyquist)图，图中的矢量向径的长度和矢量向经与横坐标轴的夹角分别为A(ω)和φ(ω)。

3.脉冲响应函数

   对于式(3-11)来说，若装置的输入为单位脉冲δ(t)，现因单位脉冲δ(t)的拉普拉斯变换为1，即X(s)=L[δ(t)]=1，因此装置的输出y(t)δ的拉普拉斯变换必将是H(s)，也即y(t)δ=L-1[H(s)]，并可以记为h(t)，常称它为装置的脉冲响应函数或权函数。脉冲响应函数可视为系统特性的时域描述。 对于式(3-11)来说，若装置的输入为单位脉冲δ(t)，现因单位脉冲δ(t)的拉普拉斯变换为1，即X(s)=L[δ(t)]=1，因此装置的输出y(t)δ的拉普拉斯变换必将是H(s)，也即y(t)δ=L-1[H(s)]，并可以记为h(t)，常称它为装置的脉冲响应函数或权函数。脉冲响应函数可视为系统特性的时域描述。

     至此，系统特性的时域、 频域和复数域可分别用脉冲响应函数h(t)、 频率响应函数H(ω)和传递函数H(s)来描述。三者存在着一一对应的关系。h(t)和传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对;h(t)和频率响应函数H(ω)又是一对傅里叶变换对。

4.环节的串联和并联

   若两个传递函数中各为H1(s)和H2(s)的环节串联(见图3-7)时，它们之间没有能量交换，则串联后所组成的系统之传递函数H(s)在初始条件为零时，有：

类似地，对几个环节串联组成的系统，有：

若两个环节并联(见图3-8)，则因Y(s)=Y1(s)+Y2(s)，而有：

H(s)=Y(s)/X(s)=(Y1(s)+Y2(s))/X(s)=H1(s)+H2(s)        (3-15)          

由n个环节并联组成的系统，也有类似的公式，即：

 从传递函数和频率响应函数的关系,可得到n个环节串联系统频率响应函数为

其幅频、 相频特性分别为   

而n环节并联系统的频率响应函数为

  理论分析表明，任何分母中s高于三次(n>3)的高阶系统都可以看成若干一阶环节和二阶环节的并联(也自然可转化为若干一阶环节和二阶环节的串联)。因此分析并了解一、 二阶环节的传输特性是分析并了解高阶、 复杂系统传输特性的基础。

3.3.2 一阶、二阶系统的特性

1.一阶系统

一阶系统的输入、 输出关系用一阶微分方程来描述。

 图3-9所示的三种装置分属于力学、 电学、 热学范畴的装置，但它们均属于一阶系统，均可用一阶微分方程来描述。以最常见的RC电路为例，令y(t)为输出电压,x(t)为输入电压，则有

RC(dy/dt)+y(t)=x(t)

通常令RC=τ，并称之为时间常数，其量纲为T。

 实际上，最一般形式的一阶微分方程为A1(dy(t)/dt)+a0y(t)=b0x(t)，可改写为τ (dy(t)/dt)+ y(t)=Sx(t)。

式中 τ——时间常数，τ=a1/a0        S——系统灵敏度，S=b0/a0。

 对于具体系统而言，S是一个常数。为了分析方便，可令S=1,并以这种归一化系统作为研究对象，即：

τ (dy(t)/dt)+ y(t)=Sx(t)

根据式(3-1)和式(3-9)，可得一阶系统的传递函数为：

一阶系统的频响函数为：

 其幅频、 相频特性表达式为：

φ(ω)=-arctan(τω) (3-22)

其中，负号表示输出信号滞后于输入信号。

  一阶系统的伯德图和奈奎斯特图分别示于图3-10和图3-11, 而以无量纲系数τω为横坐标所绘制的幅、 相频率特性曲线则示于图3-12。

图3-10  一阶系统的伯德图

图3-11  一阶系统的奈奎斯特图

图3-12  一阶系统的幅频、相频特性曲线

一阶装置的脉冲响应函数为h(t)=(1/t)e-t/τ(3-23)，其图形如图3-13所示：

  在一阶系统特性中,有几点应特别注意：        

 1) 当激励频率ω<<1/τ时(约ω<τ/5)，其A(ω)值接近于1(误差不超过2%)，输出、 输入幅值几乎相等。当ω>(2~3)/τ时，即τω>>1时，H(ω)≈1/jτω，与之相应的微分方程式为：

   即输出和输入的积分成正比,系统相当于一个积分器。其中A(ω)几乎与激励频率成反比,相位滞后近90°。故一阶测量装置适用于测量缓变或低频的被测量

  2) 时间常数τ是反映一阶系统特性的重要参数，实际上决定了该装置适用的频率范围。在ω=1/τ处，A(ω)为0.707(-3dB)，相角滞后45°。

  3) 一阶系统的伯德图可以用一条折线来近似描述。这条折线在ω<1/τ段为A(ω)=1的水平线，在ω>1/τ段为-20dB/10倍频(或-6dB/倍频)斜率的直线。1/τ点称转折频率，在该点折线偏离实际曲线的误差最大(为-3dB)。

  其中，所谓的“-20dB/10倍频”是指频率每增加10倍，A(ω)下降20dB。如在图3-10中，在ω=(1/τ)~(10/τ)之间，斜直线通过纵坐标相差20dB的两点。

2.二阶系统

   图3-14中为二阶系统的三种实例。二阶系统可用二阶微分方程式描述。现以动圈式电表为例来讨论其基本特性。

   对于具体系统而言，S是一个常数。令S=1，便可得到归一化的二阶微分方程式，它可作为研究二阶系统特性的标准式。

 根据式(3-1)和式(3-9)，并令S=1，可求得二阶系统传递函数为：

  二阶系统频响函数为：

相应的幅频特性和相频特性分别为：

二阶系统的脉冲响应函数为：  

    相应的幅频、 相频特性曲线如图3-15所示。图3-16、 图3-17为相应的伯德图和奈奎斯特图。

二阶系统有如下的主要特点:        

 1) 当ω<<ωn时，H(ω)≈1；当ω>>ωn时，H(ω)→0。 2)影响二阶系统动态特性的参数是固有频率和阻尼比。然而在通常使用的频率范围中，又以固有频率的影响最为重要。所以二阶系统固有频率ωn的选择就以其工作频率范围为依据。在ω=ωn附近,系统幅频特性受阻尼比影响极大。当ω≈ωn时，系统将发生共振，因此，作为实用装置，应该避开这种情况。然而，在测定系统本身的参数时，这种情况却是很重要。当ω=ωn时，A(ω)=1/2ζ，φ(ω)=-90°，且不因阻尼比的不同而改变。        

 3)二阶系统的伯德图可用折线来近似。在ω<0.5ωn段，A(ω)可用0dB水平线近似。在ω>2ωn段，可用斜率为-40dB/10倍频或-12dB/倍频的直线来近似。在ω≈(0.5~2)ωn区间，因共振现象，近似折线偏离实际曲线较大。          

4) 在ω<<ωn段,φ(ω)很小,且和频率近似成正比增加。在ω>>ωn段,φ(ω)趋近于180°，即输出信号几乎和输入反相。在ω靠近ωn区间，φ(ω)随频率的变化而剧烈变化，而且ζ越小，这种变化越剧烈。        

5) 二阶系统是一个振荡环节，如图3-18所示。          从测量工作的角度来看，总是希望测量装置在宽广的频带内由于频率特性不理想所引起的误差尽可能小。为此，要选择恰当的固有频率和阻尼比的组合，以便获得较小的误差。

图3-18  二阶系统的脉冲响应函数

3.4.1 系统对任意输入的响应

    输出y(t)等于输入x(t)和系统的脉冲响应函数h(t)的卷积，即：y(t)=x(t)*h(t)(3-29)

   它是系统输入-输出关系的最基本表达式,其形式简单,含义明确。但是，卷积计算却是一件麻烦事。利用h(t)和H(s)、 H(ω)的关系,以及拉普拉斯变换、 傅里叶变换的卷积定理,可以将卷积运算变换成复数域、 频率域的乘法运算,从而大大简化了计算工作。

 依据式(3-29)可以证明，定常线性系统在平稳随机信号的作用下，系统的输出也是平稳随机过程。

一、 二阶系统在单位阶跃输入(见图3-19)

输出y(t)等于输入x(t)和系统的脉冲响应函数h(t)的卷积，即：

y(t)=x(t)*h(t)(3-29)

   它是系统输入-输出关系的最基本表达式,其形式简单,含义明确。但是，卷积计算却是一件麻烦事。利用h(t)和H(s)、 H(ω)的关系,以及拉普拉斯变换、 傅里叶变换的卷积定理,可以将卷积运算变换成复数域、 频率域的乘法运算,从而大大简化了计算工作。

    依据式(3-29)可以证明，定常线性系统在平稳随机信号的作用下，系统的输出也是平稳随机过程。

3.4.2  系统对单位阶跃输入的响应

一、 二阶系统在单位阶跃输入(见图3-19)

的作用下,其响应(见图3-20、 图3-21)分别为

其中,

由于单位阶跃函数可看成单位脉冲函数的积分,故单位阶跃输入作用下的输出就是系统脉冲响应的积分。对系统的突然加载或者突然卸载可视为施加阶跃输入。施加这种输入既简单易行,又能充分揭示测量装置的动态特性,故常被采用。

  理论上看,一阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差为零。系统的初始上升斜率为1/τ。当t=τ时,y(t)=0.632;t=4τ时,y(t)=0.982;t=5τ时,y(t)=0.993。理论上系统的响应当t趋向于无穷大时达到稳态。毫无疑义,一阶装置的时间常数τ越小越好。

  二阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差也为零。但是系统的影响在很大程度上取决于阻尼比ζ和固有频率ωn。系统固有频率为系统的主要结构参数所决定。ωn越高,系统的响应越快。阻尼比ζ直接影响超调量和振荡次数。当ζ=0时超调最大,为100%,且持续不息地振荡着,达不到稳态。当ζ≥1时,则系统转化到等同于两个一阶环节的串联。此时虽然不发生振荡(即不发生超调),但也需经超长的时间才能达到稳态。如果阻尼比ζ选在0.6~0.8之间,则系统以较短时间[(5~7)/ωn],进入稳态值相差±(2%~5%)的范围内。这也是很多测量装置的阻尼比取在这区间内的理由之一。

 设有一个测量装置,其输出y(t)和输入x(t)满足 y(t)=A0x(t-t0)(3-32) 式中 A0和t0——常数。

 式(3-32)表明这个装置输出的波形和输入波形精确地一致,只是幅值(或者说每个瞬时值)放大为A0倍和在时间上延迟了t0而已(见图3-22)。这种情况,被认为测量装置具有不失真测量的特性。

  现根据式(3-32)来考察测量装置实现测量不失真的频率特性。对该式进行傅里叶变换,则

若考虑当t<0时,x(t)=0、 y(t)=0,于是有

可见,若要求装置的输出波形不失真,则其幅频和相频特性应分别满足

3.5 实现不失真测量的条件

   A(ω)不等于常数时所引起的失真称为幅值失真, φ(ω)与ω之间的非线性关系所引起的失真称为相位失真。

   应当指出,满足式(3-33)和式(3-34)所示的条件后,装置的输出仍滞后于输入一定的时间。如果测量的目的只是精确地测量出输入波形,那么上述条件完全满足不失真测量的要求。如果测量的结果要用来作为反馈控制信号,那么还应当注意到输出对输入的时间滞后有可能破坏系统的稳定性。这时应根据具体要求,力求减小时间滞后。

   实际测量装置不可能在非常宽广的频率范围内部都满足式(3-33)和式(3-34)的要求,所以通常测量装置既会产生幅值失真,也会产生相位失真。图3-23表示4个不同频率的信号通过一个具有图中A(ω)和φ(ω)特性的装置后的输出信号。4个输入信号都是正弦信号(包括直流信号),在某参考时刻t=0,初始相角均为零。图中形象地显示出输出信号相对输入信号有不同的幅值增益和相角滞后。对于单一频率成分的信号,因为通常线性系统具有频率保持性,只要其幅值未进入非线性区,输出信号的频率也是单一的,也就无所谓失真问题。对于含有多种频率成分的,显然既引起幅值失真,又引起相位失真,特别是频率成分跨越ωn前、后的信号失真尤为严重。

  对实际测量装置,即使在某一频率范围内工作,也难以完全理想地实现不失真测量。人们只能努力把波形失真限制在一定的误差范围内。为此,首先要选用合适的测量装置,在测量频率范围内,其幅、相频率特性接近不失真测试条件。其次,对输入信号做必要的前置处理,及时滤去非信号频带内的噪声,尤其要防止某些频率位于测量装置共振区的噪声的进入。

图3-23  信号中不同频率成分通过测量装置后的输出

  在装置特性的选择时也应分析并权衡幅值失真、相位失真对测试的影响。例如在振动测量中,有时只要求了解振动中的频率成分及其强度,并不关心其确切的波形变化,只要求了解其幅值谱而对相位谱无要求。这时首先要注意的应是测量装置的幅频特性。又如某些测量要求测得特定波形的延迟时间,这对测量装置的相频特性就应有严格的要求,以减小相位失真引起的测试误差。    

    从实现测量不失真条件和其他工作性能综合来看,对一阶装置而言,如果时间常数τ越小,则装置的响应越快,近于满足测试不失真条件的频带也越宽。所以一阶装置的时间常数τ原则上越小越好。

   对于二阶装置,其特性曲线上有两个频段值得注意。在ω<0.3ωn范围内,φ(ω)的数值较小,且φ(ω)-ω特性曲线接近直线。A(ω)在该频率范围内的变化不超过10%,若用于测量,则波形输出失真很小。在ω>(2.5~3)ωn范围内,φ(ω)接近180°,且随ω变化很小。此时如果在实际测量电路中或数据处理中减去固定相位差或者把测量信号反相180°,则其相频特性基本上满足不失真测量条件。但是此时幅频特性A(ω)太小,输出幅值也太小。    

  若二阶装置输入信号的频率ω在(0.3~2.5)ωn区间内,装置的频率特性受ζ的影响很大,需做具体分析。

一般来说,当ζ=0.6~0.8时,可以获得较为合适的综合特性。计算表明,对二阶系统,当ζ=0.70时,在0~0.58ωn的频率范围内,幅频特性A(ω)的变化不超过5%,同时相频特性φ(ω)也接近于直线,因而所产生的相位失真也很小。

 测量系统中,任何一个环节产生的波形失真,必然会引起整个系统最终输出波形失真。虽然各环节失真对最后波形的失真影响程度不一样,但是在原则上信号频带内都应使每个环节基本上满足不失真测量的要求。

3.6 测量装置动态特性的测量

   要使测量装置精确可靠,不仅测量装置的定度应精确,而且要定期校准。定度和校准就其实验内容来说,就是对测量装置本身特性参数的测量。

  对装置的静态参数进行测量时,一般以经过校准的“标准”静态量作为输入,求出输入—输出特性曲线。根据这条曲线确定其回程误差,整理和确定其校准曲线、线性误差和灵敏度。所采用的输入量误差应当是不大于所要求测量结果误差的1/3~1/5或更小些。

3.6.1 频率响应法

  通过稳态正弦激励试验可以求得装置的动态特性。对装置施以正弦激励,即输入x(t)=X0sin2πft, 在输出达到稳态后测量输出和输入的幅值比和相位差。这样可得该激励频率f下装置的传输特性。测试时,对测量装置施加峰-峰值为其量程20%的正弦输入信号,其频率自接近零频的足够低的频率开始,以增量方式逐点增加到较高频率,直到输出量减少到初始输出幅值的一半止,即可得到幅频和相频特性曲线A(f)和φ(f)。

  一般来说,在动态测量装置的性能技术文件中应附有该装置的幅频和相频特性曲线。 对于一阶装置,主要的动态特性参数是时间常数τ。可以通过幅频和相频特性——式(3-21)和式(3-22)直接确定τ值。 对于二阶装置,可以从相频特性曲线直接估计其动态特性参数: 固有频率ωn和阻尼比ζ。在ω=ωn处,输出对输入的相角滞后为90°,该点斜率直接反映了阻尼比的大小。但是一般来说相角测量比较困难。所以,通常通过幅频曲线估计其动态特性参数。对于欠阻尼系统(ζ<1),幅频特性曲线的峰值在稍偏离ωn的ωr处(见图3-15),且

当ζ很小时,峰值频率ωr≈ωn。 从式(3-26)可得,当ω=ωn时,A(ωn)=1/(2ζ)。当ζ很小时,A(ωn)非常接近峰值。令ω1=(1-ζ)ωn、 ω2=(1+ζ)ωn,分别代入式(3-26),可得A(ω1)≈≈A(ω2)。这样,幅频特性曲线上,在峰值的1/处,绘制一条水平线和幅频曲线(见图3-24)交于a、b两点,它们对应的频率将是ω1、 ω2,而且阻尼比的估计值可取为

有时,也可由A(ωr)和实验中最低频的幅频特性值A(0),利用下式来求得ζ,即

3.6.2 阶跃响应法

  用阶跃响应法求测量装置的动态特性是一种时域测试的易行方法。实践中无法获得理想的单位脉冲输入,从而无法获得装置的精确的脉冲响应函数;但是,实践中却能获得足够精确的单位脉冲函数的积分——单位阶跃函数及阶跃响应函数。 在测试时,应根据系统可能存在的最大超调量来选择阶跃输入的幅值,超调量大时,应适当选用较小的输入幅值。

1.由一阶装置的阶跃响应求其动态特性参数

   简单说来,若测得一阶装置的阶跃响应,可取该输出值达到最终稳态值的63%所经过的时间作为时间常数τ。但这样求得的τ值仅取决于某些个别的瞬时值,未涉及响应的全过程,测量结果的可靠性差。如改用下述方法确定时间常数,可获得较可靠的结果。式(3-30)是一阶装置的阶跃响应表达式,可改写为

  式(3-38)表明,ln[1-y(t)]和t成线形关系。因此可根据测得y(t)值绘制ln[1-y(t)]和t的关系曲线,并根据其斜率值确定时间常数τ。显然,这种方法,运用了全部测量数据,即考虑了瞬态响应的全过程。

式(3-38)表明,ln[1-y(t)]和t成线形关系。因此可根据测得y(t)值绘制ln[1-y(t)]和t的关系曲线,并根据其斜率值确定时间常数τ。显然,这种方法,运用了全部测量数据,即考虑了瞬态响应的全过程。

2.由二阶装置的阶跃响应求其动态特性参数

图3-25  欠阻尼比二阶装置的阶跃响应

  式(3-31)为典型欠阻尼二阶装置的阶跃响应函数表达式。它表明其瞬态响应是以圆频率ωn(称之为有阻尼固有频率ωd)进行衰减振荡的。按照求极值的通用方法,可求得各振荡峰值所对应的时间,tp=0、 π/ωd、 2π/ωd、…。将t=π/ωd代入式(3-31),求得最大超调量M(见图3-25)和阻尼比ζ的关系式为

      因此,在测得M之后,便可按式(3-40)求取阻尼比ζ;或根据式(3-39)或式(3-40)绘制M-ζ图(见图3-26)再求取阻尼比ζ。

    如果测得响应为较长瞬变过程,则可利用任意两个超调量Mi和Mi+n来求取其阻尼比,其中n是该两峰值相隔的整周期数。设Mi和Mi+n所对应的时间分别为ti和ti+n,显然有

  将其代入二阶装置的阶跃响应y(t)的表达式——式(3-31),经整理后可得

根据式(3-41)和式(3-42),即可按实测得到的Mi和Mi+n,经δn而求取ζ。考虑到当ζ<0.3时,以1代替进行近似计算不会产生过大的误差,则式(3-41)可简化为

3.7 负 载 效 应

   在实际测量工作中,测量系统和被测对象之间、测量系统内部各环节之间互相连接必然产生相互作用。接入的测量装置,构成被测对象的负载;后接环节总是成为前面环节的负载,并对前面环节的工作状况产生影响。两者总是存在着能量交换和相互影响,以致系统的传递函数不再是各组成环节传递函数的叠加(如并联时)或连乘(如串联时)。

3.7.1 负载效应

   前面曾在假设相连接环节之间没有能量交换,因而在环节互联前后各环节仍保持原有的传递函数的基础上导出了环节串、并联后所形成的系统的传递函数表达式(3-14)、式(3-16)。然而这种只有信息传递而没有能量交换的连接,在实际系统中甚少遇到。只有用不接触的辐射源信息探测器,如可见光和红外探测器或其他射线探测器,才可算是这类连接。

   当一个装置连接到另一个装置上,并发生能量交换时,就会发生两种现象:①前装置的连接处甚至整个装置的状态和输出都将发生变化;②两个装置共同形成一个新的整体,该整体虽然保留其两组成装置的某些主要特征,但其传递函数已不能用式(3-14)和式(3-16)来表达。某装置由于后接另一装置而产生的种种现象,称为负载效应。 负载效应产生的后果,有的可以忽略,有的却是很严重的,不能对其掉以轻心。下面举一些例子来说明负载效应的严重后果。

   集成电路芯片温度虽高,但功耗很小(几十毫瓦),相当于一个小功率的热源。若用一个带探针的温度计去测其结点的工作温度,显然温度计会从芯片吸收可观的热量而成为芯片的散热元件,这样不仅不能测出正确的结点工作温度,而且整个电路的工作温度都会下降。又如,在一个单自由度振动系统的质量块m上连接一个质量为mf的传感器,致使参与振动的质量成为m+mf,从而导致系统固有频率的下降。

       现以简单的直流电路(见图3-27)为例来看看负载效应的影响。不难算出电阻器R2电压降为了测量该量,可在R2两端并联一个内阻为Rm的电压表。这时,由于Rm的接入,R2和Rm两端的电压降U变为 式中由于  则有显然,由于接入测量电表,被测系统(原电路)状态及被测量(R2的电压降)都发生了变化。原来的电压降为U0,接入电表后,变为U,U≠U0,两者的差值随Rm的增大而减小。为了定量说明这种负载效应的影响程度,令R1=100kΩ,R2=Rm=150kΩ,E=150V,代入上式,可以得到U0=90V,而U=64.3V,误差竟然达到28.6%。若Rm改为1MΩ,其余不变,则U=84.9V,误差为5.7%。此例充分说明了负载效应对测量结果影响有时是很大的。

3.7.2 减轻负载效应的措施

  减轻负载效应所造成的影响,需要根据具体的环节、装置来具体分析而后采取措施。对于电压输出的环节,减轻负载效应的办法有:

  1) 提高后续环节(负载)的输入阻抗。

  2) 在原来两个相连接的环节之中,插入高输入阻抗、低输出阻抗的放大器,以便一方面减小从前面环节吸取能量,另一方面在承受后一环节(负载)后又能减小电压输出的变化,从而减轻总的负载效应。

  3) 使用反馈或零点测量原理,使后面环节几乎不从前面环节吸取能量,例如用电位差计测量电压等。

  如果将电阻抗的概念推广为广义阻抗,那么就可以比较简捷地研究各种物理环节之间的负载效应。

  总之,在测试工作中,应当建立系统整体的概念,充分考虑各种装置、环节连接时可能产生的影响。测量装置的接入就成为被测对象的负载,将会引起测量误差。两环节的连接,后环节将成为前环节的负载,产生相应的负载效应。在选择成品传感器时,必须仔细考虑传感器对被测对象的负载效应。在组成测试系统时,要考虑各组成环节之间连接时的负载效应,尽可能减小负载效应的影响。对于成套仪器系统来说,各组成部分之间相互影响,仪器生产的厂家应该有了充分的考虑,使用者只需考虑传感器对被测对象所产生的负载效应。

3.8 测量装置的抗干扰性

     在测试过程中,除了待测信号以外,各种不可见的、随机的信号可能出现在测量系统中。这些信号与有用信号叠加在一起,严重歪曲测量结果。轻则测量结果偏离正常值,重则淹没了有用信号,无法获得测量结果。测量系统中的无用信号就是干扰。显然,一个测试系统抗干扰能力的大小在很大程度上决定了该系统的可靠性,是测量系统重要特性之一。因此,认识了干扰信号,重视抗干扰设计是测试工作中不可忽视的问题。

图3-28  测量装置的主要干扰源

  测量装置的干扰来自多方面。机械振动或冲击会对测量装置(尤其传感器)产生严重的干扰;光线对测量装置中的半导体器件会产生干扰;温度的变化会导致电路参数的变动,产生干扰;此外还有电磁的干扰等。

干扰窜入测量装置有三条主要途径(见图3-28):

(1)电磁场干扰 干扰以电磁波辐射的方式经空间窜入测量装置。

(2)信道干扰 信号在传输过程中,通道中各元器件产生的噪声或非线性畸变所造成的干扰。

(3)电源干扰 这是由于电源波动、市电电网干扰信号的窜入以及装置供电电源电路内阻引起各单元电路相互耦合造成的干扰。

    一般说来,良好的屏蔽及正确的接地可除去大部分的电磁波干扰。而绝大部分测量装置都需要供电,所以外部电网对装置的干扰以及装置内部通过电源内阻相互耦合造成的干扰对装置的影响最大。因此,如何克服通过电源造成的干扰应重点注意。

3.8.2 供电系统干扰及其抗干扰

    由于供电电网面对各种用户,电网上并联着各种各样的用电器。用电器(特别是感应性用电器,如大功率电动机)在开、关机时都会给电网带来强度不一的电压跳变。这种跳变的持续时间很短,人们称之为尖峰电压。在有大功率耗电设备的电网中,经常可以检测到在供电的50Hz正弦波上叠加着有害的1000V以上的尖峰电压。它会影响测量装置的正常工作。

1.电网电源噪声

  供电电压跳变的持续时间Δt>1s者,被称为过电压和欠电压噪声。供电电网内阻过大或网内用电器过多会造成欠电压噪声。三相供电零线开路可能造成某相过电压。供电电压跳变的持续时间1ms<Δt<1s者,被称为浪涌和下陷噪声。它主要产生于感应性用电器(如大功率电动机)在开、关机时产生的感应电动势。

   供电电压跳变的持续时间Δt<1ms者,被称为尖峰噪声。这类噪声产生的原因较复杂,用电器间断的通断产生的高频分量、汽车点火器所产生的高频干扰耦合到电网都可能产生尖峰噪声。

2.供电系统的抗干扰

  供电系统常采用下列几种抗干扰措施:

(1) 交流稳压器 它可消除过电压、欠电压造成的影响,保证供电的稳定。

(2) 隔离稳压器 由于浪涌和尖峰噪声主要成分是高频分量,它们不通过变压器线圈之间互感耦合,而是通过线圈间寄生电容耦合的。隔离稳压器一次、二次侧间用屏蔽层隔离,减少级间耦合电容,从而减少高频噪声的窜入。

(3)低通滤波器 它可滤去大于50Hz市电基波的高频干扰。对于50Hz市电基波,则通过整流滤波后也可完全滤除。

 (4) 独立功能块单独供电 电路设计时,有意识地把各种功能的电路(如前置、放大、A-D等电路)单独设置供电系统电源。这样做可以基本消除各单元因共用电源而引起相互耦合所造成的干扰。图3-29是合理的供电配置的示例

3-29合理的供电系统

3.8.3 信道通道的干扰及其抗干扰

1.信道干扰的种类

信道干扰有下列几种:

(1) 信道通道元器件噪声干扰 它是由于测量通道中各种电子元器件所产生的热噪声(如电阻器的热噪声、半导体元器件的散粒噪声等)造成的。

(2) 信号通道中信号的窜扰 元器件排放位置和电路板信号走向不合理会造成这种干扰。

(3) 长线传输干扰 对于高频信号来说,当传输距离与信号波长可比时,应该考虑此种干扰的影响。

2.信道通道的抗干扰措施

 信道通道通常采用下列一些抗干扰措施:

(1) 合理选用元器件和设计方案 如尽量采用低噪声材料、放大器采用低噪声设计、根据测量信号频谱合理选择滤波器等。

(2) 印制电路板设计时元器件排放要合理 小信号区与大信号区要明确分开,并尽可能地远离;输出线与输出线避免靠近或平行;有可能产生电磁辐射的元器件(如大电感元器件、变压器等)尽可能地远离输入端;合理的接地和屏蔽。

(3) 数字信号的传输 在有一定传输长度的信号输出中,尤其是数字信号的传输可采用光耦合隔离技术、双绞线传输。双绞线可最大可能地降低电磁干扰的影响。对于远距离的数据传送,可采用平衡输出驱动器和平衡输入的接收器。

3.8.4 接地设计

   测量装置中的地线是所有电路公共的零电平参考点。理论上,地线上所有的位置的电平应该相同。然而,由于各个地点之间必须用具有一定电阻的导线连接,一旦有地电流流过时,就有可能使各个地点的电位产生差异。同时,地线是所有信号的公共点,所有信号电流都要经过地线。这就可能产生公共地电阻的耦合干扰。地线的多点相连也会产生环路电流。环路电流会与其他电路产生耦合。所以,认真设计地线和接地点对于系统的稳定是十分重要的。

  常用的接地方式有下列几种,可供选择:

1.单点接地

  各单元电路的地点接在一点上,称为单点接地(见图3-30)。其优点是不存在环形回路,因而不存在环路地电流。各单元电路地点电位只与本电路的地电流及接地电阻有关,相互干扰较小。

图3-30   单点接地

2.串联接地

  各单元电路的地点顺序连接在一条公共的地线上(见图3-31),称为串联接地。显然,电路1与电路2之间的地线流着电路1的地电流,电路2与电路3之间流着电路1和电路2的地电流之和,依次类推。因此,每个电路的地电位都受到其他电路的影响,干扰通过公共地线相互耦合。但因接法简便,虽然接法不合理,还是常被采用。采用时应注意:

  1) 信号电路应尽可能靠近电源,即靠近真正的地点。

  2) 所有地线应尽可能粗些,以降低地线电阻。

3.多点接地

    做电路板时把尽可能多的地方做成地,或者说,把地做成一片。这样就有尽可能宽的接地母线及尽可能低的接地电阻。各单元电路就近接到接地母线(见图3-32)。接地母线的一端接到供电电源的地线上,形成工作接地。

图3-31    串联接地

4.模拟地和数字地

     现代测量系统都同时具有模拟电路和数字电路。由于数字电路在开关状态下工作,电流起伏波动大,很有可能通过地线干扰模拟电路。如有可能应采用两套整流电路分别供电给模拟电路和数字电路,它们之间采用光耦合器耦合,如图3-33所示。

3-1 进行某动态压力测量时,所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9nC/MPa,将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相连,而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上,记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为3.5MPa时,记录笔在记录纸上的偏移量是多少?

3-2 用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号,问幅值误差是多少?

3-3 求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t-45°)通过传递函数为H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。

3-4 气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计、以5m/s的上升速度通过大气层。设温度按每升高30m下降0.15℃的规律而变化,气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在3000m处所记录的温度为-1℃。试问实际出现-1℃的真实高度是多少?

3-5 想用一个一阶系统进行100Hz正弦信号的测量,如要求限制振幅误差在5%以内,那么时间常数应取为多少?若用该系统测量50Hz正弦信号,问此时的振幅误差和相角差是多少?

3-6 试说明二阶装置阻尼比ζ多用0.6~0.7的原因。

3-7 将信号cosωt输入一个传递函数为H(s)=1/(τs+1)的一阶装置后,试求其包括瞬态过程在内的输出y(t)的表达式。

3-8 求频率响应函数为3155072/[(1+0.01jω)(1577536+176jω-ω2)]的系统对正弦输入x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应的均值显示。

3-9 试求传递函数分别为1.5/(3.5s+0.5)和41/(s2+1.4ωns+)的两环节串联后组成的系统的总灵敏度(不考虑负载效应)。

3-10 设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz,阻尼比ζ=0.14,问使用该传感器做频率为400Hz的正弦测试时,其幅值比A(ω)和相角差φ(ω)各为多少?若该装置的阻尼比改为ζ=0.7,A(ω)和φ(ω)又将如何变化?

3-11 对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后,测得其响应的第一个超调量峰值为1.5,振荡周期为6.23s,设已知该装置的静态增益为3,求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

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