算法笔记(五)——分治
文章目录
- 算法笔记(五)——分治
- 快排
- 颜色分类
- 排序数组
- 数组中的第K个最大元素
- 库存管理 III
- 归并
- 排序数组
- 交易逆序对的总数
- 计算右侧小于当前元素的个数
- 翻转对
算法笔记(五)——分治
分治算法字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序)…
分治策略是:对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
步骤
- 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题
- 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题
- 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解
经典的分治算法有二分搜索,归并排序,快速排序,。
快排
颜色分类
题目:颜色分类
思路
- 初始化三个指针:
i
遍历数组;left
左侧均为0
right
右侧均为2
- 遍历过程中遇到
0
,swap(nums[++left],nums[i++])
- 遇到
1
,i++
,不进行交换 - 遇到
2
,swap(nums[--right], nums[i])
- 循环条件
i < right
C++代码
class Solution
{
public:void sortColors(vector<int>& nums) {for(int i = 0, left = -1, right = nums.size(); i < right; ){if(nums[i] == 0) swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == 1)i++;elseswap(nums[--right], nums[i]);}}
};
排序数组
题目:排序数组
思路
- 我们将数组划分为三块,再来实现快排,将数组划分为三个部分:小于、等于、大于基准值;
<key,=key,>key
三路划分:减少重复元素的递归处理(相同元素过多的话,可以减小递归深度)、避免不必要的交换(将相同元素聚集在一起,避免了不必要的交换操作)
C++代码
class Solution
{
public:int getKey(vector<int>& nums, int left, int right){return nums[rand() % (right - left + 1) + left];}void qsort(vector<int>& nums, int l, int r){if(l >= r) return;int key = getKey(nums, l, r);int i = l, left = l - 1, right = r + 1;while(i < right){if(nums[i] < key) swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == key) i++;else swap(nums[--right], nums[i]);}qsort(nums, l, left);qsort(nums, right, r);}vector<int> sortArray(vector<int>& nums) {srand(time(NULL));qsort(nums, 0, nums.size() - 1);return nums;}
};
数组中的第K个最大元素
题目:数组中的第K个最大元素
思路
常规解法,利用堆排,但时间复杂度不为O(N)
快速选择算法(快排)
O(N)
- 三路划分,将数组划分为三块;
- 大于
key
的元素个数为c
,等于key
的元素个数为b
,小于key
元素个数为a
- 若
c >= k
,则第k
大元素在右侧,继续在右侧递归寻找第k大元素; - 若
b + c >= k
,则直接返回基准元素,即为第k
大元素; - 若上述均不满足,则第k大元素在左侧,继续在左侧递归寻找第
k
大元素,此时k = k - b - c
C++代码
class Solution
{
public:// 数组中获得随机值 int getKey(vector<int>& nums, int l, int r) {return nums[rand() % (r - l + 1) + l];}int qsort(vector<int>& nums, int l, int r, int k){if(l == r) return nums[l];// 随机选择基准元素int key = getKey(nums, l, r);// 根据基准元素将数组分为三块int i = l, left = l - 1, right = r + 1;while(i < right){if(nums[i] < key) swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == key) i++;else swap(nums[--right], nums[i]);}int b = right - 1 - (left + 1) + 1; // 等于key的数量int c = r - right + 1; // 大于key的数量if(c >= k) return qsort(nums, right, r, k);else if((b + c) >= k) return key;else return qsort(nums, l, left, k - b - c);}int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {srand(time(NULL));return qsort(nums, 0, nums.size() - 1, k);}
};
库存管理 III
题目:库存管理 III
思路
和上题想法一致,使用快速选择的算法,使时间复杂度达到O(n)
C++代码
```class Solution
{
public:void qsort(vector<int>& nums, int l, int r, int cnt){if(l >= r) return ;int key = nums[rand() % (r - l + 1) + l];int i = l, left = l - 1, right = r + 1;while(i < right){if(nums[i] < key) swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == key) i++;else swap(nums[--right], nums[i]);}int a = left - l + 1;int b = right - 1 - (left + 1) + 1;if(a >= cnt) qsort(nums, l, left, cnt);else if((a + b) >= cnt) return;else qsort(nums, right, r, cnt - a - b);}vector<int> inventoryManagement(vector<int>& stock, int cnt) {srand(time(NULL));qsort(stock, 0, stock.size() - 1, cnt);return {stock.begin(), stock.begin() + cnt};}
};
归并
排序数组
题目:排序数组
C++代码
class Solution
{// 归并vector<int> tmp;
public:void mergeSort(vector<int>& nums, int l, int r){if(l >= r) return ;// 计算中间位置int mid = (l + r) >> 1;// 对左右两部分进行归并排序mergeSort(nums, l, mid);mergeSort(nums, mid + 1, r);// 归并合并两个有序部分int i = l, j = mid + 1, k = 0;while(i <= mid && j <= r)tmp[k++] = (nums[i] <= nums[j]) ? nums[i++] : nums[j++];while(i <= mid) tmp[k++] = nums[i++];while(j <= r) tmp[k++] = nums[j++];// 拷贝回原数组for(int i = l; i <= r; i++){nums[i] = tmp[i - l];}} vector<int> sortArray(vector<int>& nums) {tmp.resize(nums.size());mergeSort(nums, 0, (int)nums.size() - 1);return nums;}
};
交易逆序对的总数
题目:交易逆序对的总数
思路
当我们将两个已排序的子数组合并成一个有序数组时,如果左侧子数组中的某个元素大于右侧子数组中的某个元素,那么左侧子数组中该元素之后的所有元素(包括该元素本身)都将与右侧子数组中的该元素形成逆序对。因此,我们可以通过计算这样的元素对数来统计逆序对的总数
C++代码
class Solution
{int tmp[50010];
public:int reversePairs(vector<int>& record) {return mergeSort(record, 0, record.size() - 1);}int mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right){if(left >= right) return 0; int ret = 0;// 中间,将数组分为两部分int mid = left + right >> 1;// [left, mid], [mid + 1, right]// 左边个数 + 排序 + 右边个数 + 排序ret += mergeSort(nums, left, mid);ret += mergeSort(nums, mid + 1, right);// 一左一右个数int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;while(cur1 <= mid && cur2 <= right){if(nums[cur1] <= nums[cur2]){tmp[i++] = nums[cur1++];}else{ret += mid - cur1 + 1; // 统计逆序对个数tmp[i++] = nums[cur2++]; }}// 处理剩余元素while (cur1 <= mid) tmp[i++] = nums[cur1++];while (cur2 <= right) tmp[i++] = nums[cur2++];// 拷贝回原数组for (int i = left; i <= right; ++i)nums[i] = tmp[i - left];return ret;}
};
计算右侧小于当前元素的个数
题目:计算右侧小于当前元素的个数
思路
这⼀道题的解法与求数组中的逆序对的解法是类似的,记录每⼀个元素的右边有多少个元素⽐⾃⼰⼩
归并排序的过程中,元素的下标是会跟着变化的,因此我们需要⼀个辅助数组,来将数组元素和对应的下标绑定在⼀起归并,也就是再归并元素的时候,顺势将下标也转移到对应的位置上
C++代码
class Solution
{vector<int> ret;vector<int> index; // 记录当前元素的元素下标int tmpNums[500010];int tmpIndex[500010];
public:vector<int> countSmaller(vector<int>& nums) {int n = nums.size();ret.resize(n); index.resize(n);// 初始化tmpIndexfor(int i = 0; i < n; i++) index[i] = i; mergeSort(nums, 0, n - 1);return ret;}void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right){ if(left >= right) return ;// 根据中间元素划分区间int mid = (left + right) >> 1;// [left, mid]、[mid + 1, right]// 处理左右两部分mergeSort(nums, left, mid);mergeSort(nums, mid + 1, right);// 处理一左一右,降序数组int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;while(cur1 <= mid && cur2 <= right){if(nums[cur1] <= nums[cur2]) {tmpNums[i] = nums[cur2];tmpIndex[i++] = index[cur2++]; }else {ret[index[cur1]] += right - cur2 + 1;tmpNums[i] = nums[cur1];tmpIndex[i++] = index[cur1++]; }} // 处理剩余数组while(cur1 <= mid){tmpNums[i] = nums[cur1];tmpIndex[i++]=index[cur1++];}while(cur2 <= right){tmpNums[i] = nums[cur2];tmpIndex[i++]=index[cur2++];}// 还原for(int j = left; j <= right; j++){nums[j] = tmpNums[j - left];index[j] = tmpIndex[j - left];}}
};
翻转对
题目:翻转对
思路
翻转对和逆序对的定义⼤同⼩异,逆序对是前⾯的数要⼤于后⾯的数。⽽翻转对是前⾯的⼀个数要⼤于后⾯某个数的两倍。因此,我们依旧可以⽤归并排序的思想来解决这个问题
C++代码
class Solution
{int tmp[50010];
public:int reversePairs(vector<int>& nums) {return mergeSort(nums, 0, nums.size() - 1);}int mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right){if(left >= right) return 0;int ret = 0;int mid = (left + right) >> 1;ret += mergeSort(nums, left, mid);ret += mergeSort(nums, mid + 1, right);int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = left;while(cur1 <= mid) // 降序{while(cur2 <= right && nums[cur2] >= nums[cur1] / 2.0)cur2++;if(cur2 > right)break;ret += right - cur2 + 1;cur1++;}cur1 = left, cur2 = mid + 1;while(cur1 <= mid && cur2 <= right)tmp[i++] = nums[cur1] <= nums[cur2] ? nums[cur2++] : nums[cur1++];while(cur1 <= mid) tmp[i++] = nums[cur1++];while(cur2 <= right) tmp[i++] = nums[cur2++];for(int j = left; j <= right; j++)nums[j] = tmp[j];return ret;}
};
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