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【数据结构和算法】三、动态规划原理讲解与实战演练

目录

1、什么是动态规划?

2、动态规划实战演练

2.1 力扣题之爬楼梯问题

(1)解题思路1:

(2)解题思路2:

(3)动态规划(DP):解题思路

(4)动态规划理论

2.2 力扣题之海盗船长

(1)解题思路1:

(2)解题思路2:

(3)动态规划:解题思路3:


1、什么是动态规划?

        动态规划(Dynamic Programming,DP)是把复杂问题分解为简单的子问题的求解方法。

        动态规划的基本思想虽然简单,但分解的子问题很多都不一样。所以需要多做一些练习,接触并了解各种子问题及分解的思路,结合着不同数据结构,才能逐渐掌握DP的技巧。

        所以,DP归纳起来就是多做练习,多思考,逐渐摸索题目的思考逻辑和优化思路。才能掌握使用DP解题的技巧。


   从实际问题出发,分几步走,不断练习、迭代熟练:

  1. 暴力求解(枚举)
  2. 拆分子问题(DP)解法
  3. DP原理与题型相结合的分析

2、动态规划实战演练

2.1 力扣题之爬楼梯问题

以力扣著名的题“爬楼梯”为例子:

  • 爬楼梯问题: . - 力扣(LeetCode)

    假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

    每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

    示例 1:

    输入:n = 2
    输出:2
    解释:有两种方法可以爬到楼顶。
    1. 1 阶 + 1 阶
    2. 2 阶
    

    示例 2:

    输入:n = 3
    输出:3
    解释:有三种方法可以爬到楼顶。1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
    2. 1 阶 + 2 阶
    3. 2 阶 + 1 阶
    

    提示:

    • 1 <= n <= 45

    (1)解题思路1:

    暴力求解,排列所有1,2的组合。

    寻找总和为n的,不同数字长度的组合。

    from itertools import productdef climbStairs(n):pms = []for rep in range(1,n+1):permutations = list(product([1,2],repeat=rep))for pm in permutations:if sum(pm) == n:pms.append(pm)return len(pms)
    

    ※ itertools是python为高效循环而创建迭代器的函数库 。product就是一个笛卡尔积(嵌套for循环)功能实现的函数。

    • 时间复杂度O(n^3)
    • 空间复杂度O(n)

    (2)解题思路2:

    问题寻找的是爬楼梯的方法数量,而不是具体统计每次走几阶。

    所以问题关注的是每次爬1阶、爬2阶两种走法的组合上。

    假设n=3,可以直接排列一下相应的组合

    3 = 1 + 1 + 1
    3 = 2 + 1
    3 = 1 + 2
    

    简单直观,但我们要寻找的爬楼梯的规律。似乎还没有发现,继续增加n的数量~

    当n=4:

    4 = 1 + 1 + 1 + 1
    4 = 2 + 1 + 1
    4 = 1 + 2 + 14 = 1 + 1 + 2
    4 = 2 + 2
    

    当n=5时:

    5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    5 = 2 + 1 + 1 + 1
    5 = 1 + 2 + 1 + 15 = 1 + 1 + 2 + 1
    5 = 2 + 2 + 15 = 1 + 1 + 1 + 2
    5 = 2 + 1 + 2
    5 = 1 + 2 + 2
    

            排列组合的方式,让我们似乎观察到了数值的规律。那就是n阶的走法,包含了n-1阶和n-2阶的走法。且 n阶的走法 = (n-1)阶走法 + (n-2)阶走法

    简单的循环遍历就可以完成走法的累加:

    n = 5
    n1,n2 = 1,2  # n=1和n=2情况下的走法
    res = 0
    for i in range(3, n+1):  # 从n=3时开始,直到nres = n1 + n2n1 = n2n2 = res
    print(res)
    

    测试下n=6,结果(n-1) + (n-2) = 8 + 5 = 13

    还可以转换为递归写法

    def climbStairs(n):if n <= 1:return 1return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2) 
    

    至此,就是暴力算法的解题思路,所有可能的组合都做一遍。

    (3)动态规划(DP):解题思路

    依据上面算法特征分析的基础上,使用一个数组动态存储n的计算结果。

    初始化数组,预先存入n-1和n-2的结果

    def climbStairs(n):if n <= 1:return ndp = [i for i in range(n+1)]for i in range(3,n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[-1]
    

    上面代码中的dp就是我们提到的数组,其中dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

    循环执行完成后,数组中最后一次计算的结果就是爬n阶楼梯的方法数。

    • 时间复杂度:O(n)
    • 空间复杂度:O(n)

    对于空间复杂度,还可以进一步优化。由于我们只考虑n以及n-1、n-2的值。所以,中间的过程值可以丢弃。定义一个固定长度的数组,每次计算结果动态覆盖,如下:

    def climbStairs(n):if n <= 1:return ndp = [0,1,2]for i in range(3,n+1):sum = dp[1] + dp[2]dp[1] = dp[2]dp[2] = sumreturn dp[2]
    
    • 时间复杂度:O(n)
    • 空间复杂度:O(1)

    (4)动态规划理论

            学习动态规划算法,是从多种题解的思路中学习和发现。众多技术高手都给出了思路和技巧,但从实际出发,建议还是先埋头做题,积累了练习和分析思考后,再进行看高手的总结和归纳才会有“英雄所见略同”的共识。

    在这之前,针对每道题目的分析,希望能思考如下的几个问题:

    • 题目计算的目标是什么

      走台阶问题的目标是求走法组合总数

    • 计算分解的子问题是什么

      (n-1)阶走法 、(n-2)阶走法就是n阶走法的子问题 ****

    • 转移方程是否是子问题的组合

      转移方程上面已经写出来了 f(n) = f(n-1)+f(n-2) 。

    • 能否优化

      使用动态数组或字典来存储中间结果,可以有效的减少重复计算的复杂度。

      当然,涉及到使用数组等容器来实现计算和优化时,还会接触到背包问题。

2.2 力扣题之海盗船长

问题:海盗船长:. - 力扣(LeetCode)

海盗船长:船长从坐标为(0,0)的位置出发,每次只能向x轴,y轴正方向走一步,求走到x,y点有几种走法?

示例 1:

输入:m = 3, n = 7
输出:28

示例 2:

输入:n = 3, n = 2
输出:3
解释:从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3:

输入:m = 7, n = 3
输出:28

示例 4:

输入:m = 3, n = 3
输出:6

提示:

  • 1 <= m, n <= 100
  • 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

(1)解题思路1:

从[0,0]到[x,y],是一个从矩阵左上角向右、向下探索的过程。

想要到达[x,y]位置,必然经过[x-1,y]或者[x,y-1]

所以,路径问题的分解就是求[x , y] = [x-1,y] + [x,y-1]

设 m,n = 3,7 暴力解法

results = {}def path_count(x, y):# results = {}if x == 1 or y == 1:results[(x,y)] = 1return 1results[(x,y)] = path_count(x-1,y) + path_count(x,y-1)return results[(x,y)]print(path_count(3,7))

时间复杂度:O(mn)

空间复杂度:O(n)

(2)解题思路2:

观察上面的方案,可以发现分解的路径实际上存在着大量重复的计算

print(results)

我们可以思考:走到results中(m,n)位置的上一步,一定是(m-1,n),(m,n-1),(m-1,n-1)的位置。

这其中(m-1,n-1)走过的路径中,就包含了(m-1,n)和(m,n-1)走过的路径。

以此类推,所有(m-2,n-2)的路径中,也就包含了(m-1,n-1), (m-1,n), (m,n-1) …… 如此嵌套。我们把计算结果存储在results里面,再次遇到相同的计算时,就直接把结果提取出来。

def path_count(x, y):if x == 1 or y == 1:results[(x,y)] = 1return 1# 查找重复节点,直接返回计算后结果if (x,y) in results:return results[(x,y)]results[(x,y)] = path_count(x-1,y) + path_count(x,y-1)return results[(x,y)]

(3)动态规划:解题思路3:

动态规划方式实现:

转移方程:f(x,y) = f(x-1,y) + f(x, y-1)

分两步实现:

  1. 计算“到达”每个位置所需要的步数(初始为1)

    m,n = 3,7
    path_counts = [[1] * n for j in range(m)]
    for i in range(m):for j in range(n):print(path_counts[i][j], end=' ')print()
    
  2. 计算从起始位置,到达当前位置,步数的累加和

    for x in range(1,m):for y in range(1,n):path_counts[x][y] = path_counts[x-1][y] + path_counts[x][y-1]print(path_counts[m-1][n-1])
    

完整代码:

def path_count(x, y):path_counts = [[1] * y for j in range(x)]for i in range(1,x):for j in range(1,y):path_counts[i][j] = path_counts[i-1][j] + path_counts[i][j-1]return path_counts[x-1][y-1]

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