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C++:探索AVL树旋转的奥秘

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文章目录

  • 前言 AVL树为什么要旋转?
  • 一、插入一个值的大概过程
    • 1. 插入一个值的大致过程
    • 2. 平衡因子更新原则
    • 3. 旋转处理的目的
  • 二、左单旋
    • 1. 左单旋旋转方式总处理图
    • 2. 左单旋具体会遇到的情况
    • 3. 左单旋代码总结
  • 三、右单旋
    • 1. 右单旋旋转方式总处理图
    • 2. 右单旋具体会遇到的情况
    • 3. 右单旋代码总结
  • 四、双旋
    • 1. 右左双旋旋转逻辑
    • 2. 右左双旋可能会遇到的问题辨析
    • 3. 右左双旋平衡因子的处理
    • 4. 右左双旋代码总结
  • 五、左右双旋
  • 总结


前言 AVL树为什么要旋转?

AVL树需要旋转是为了保持平衡。当插入或删除节点后,某些子树的高度差超过1,就会破坏AVL树的平衡性。为了让树重新平衡,避免一边过高、一边过低的情况,旋转可以调整节点的位置,使树保持左右高度差不超过1。这样做的目的是确保查找、插入、删除操作的效率始终保持在 O(log₂ n)。简单来说,旋转就是“调位置,让树站得更稳”。


一、插入一个值的大概过程

1. 插入一个值的大致过程

  1. 按照二叉搜索树规则插入
    插入的新节点位置依据二叉搜索树的性质确定,即小于当前节点放左子树,大于当前节点放右子树。

  2. 更新平衡因子
    新增节点后,只会影响其祖先节点的高度,可能导致部分祖先节点的平衡因子发生变化。从新增节点向根节点逐步更新平衡因子。如果在更新过程中某节点的平衡因子变为2或-2,说明该节点的子树已经不平衡,需要旋转处理;否则,插入结束。

  3. 检查平衡并调整

    • 如果更新平衡因子的过程中没有发现问题(平衡因子均为0、1或-1),插入操作完成。
    • 如果出现不平衡,则对不平衡的子树进行旋转处理。旋转不仅恢复子树的平衡,还会降低子树的高度,确保不再影响其父节点的平衡因子,从而结束插入过程。

2. 平衡因子更新原则

  1. 平衡因子公式
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    只有子树高度发生变化时,才会影响当前节点的平衡因子。

  2. 更新规则

    • 若新增节点在父节点的右子树,则父节点的平衡因子增加1(+1)。
    • 若新增节点在父节点的左子树,则父节点的平衡因子减少1(-1)。
  3. 更新停止条件

    • 平衡因子变为0
      父节点平衡因子从 -1 变为 0 或从 1 变为 0,说明新增节点插入到高度较低的一侧,子树高度未改变,更新过程可以停止。
    • 平衡因子变为1或-1
      父节点平衡因子从 0 变为 1 或从 0 变为 -1,说明新增节点插入后子树高度增加,但仍符合平衡要求,需继续向上更新。
    • 平衡因子变为2或-2
      父节点平衡因子从 1 变为 2 或从 -1 变为 -2,说明子树高度过高,已失去平衡,需要进行旋转处理。

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3. 旋转处理的目的

  1. 恢复平衡
    通过单旋转或双旋转调整节点位置,使当前子树符合平衡要求。
  2. 降低子树高度
    旋转后,子树高度恢复到插入前的水平,确保不会对更高层节点产生影响,插入过程结束。

二、左单旋

形成条件:parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1

1. 左单旋旋转方式总处理图

  1. 失衡检测

    • 当插入的新节点导致父节点的平衡因子为 2,并且新节点被插入到右子树的右侧时,发生右右失衡(RR失衡)。
  2. 旋转操作

    • 左单旋的核心目标是将父节点的右子树(即失衡节点的右子树根)提升为新的根节点,并将原来的父节点挂接到新根节点的左子树上。
parent->right = cur->left;  // 将右子树的左子树挂接到父节点的右子树
cur->left = parent;         // 将父节点挂接为右子树的左子树
  1. 处理父节点链接问题

    • 需要确保旋转后父节点的父节点(如果存在)正确地连接到新的根节点。
      • 如果原父节点有父节点(即不是根节点),则要更新父节点的左右子树指向新的根节点。
      • 如果原父节点是根节点,则更新树的根节点。
  2. 更新平衡因子

    • 旋转后,原父节点和新的根节点的平衡因子都应设置为 0,因为旋转使得这两颗子树已经平衡。
  3. 旋转结束

    • 完成旋转后,新的根节点成为子树的根,树恢复平衡。
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2. 左单旋具体会遇到的情况

我们具体会遇到比如 h = 0, h = 1, h = 2 …无穷多种情况:

分析如下:

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3. 左单旋代码总结

// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;// 重新链接parent->_right = curleft;if (curleft) // 如果curleft存在{curleft->_parent = parent;}cur->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = cur;if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left = parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}// 更改平衡因子parent->_bf = cur->_bf = 0;
}

三、右单旋

形成条件:parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1

1. 右单旋旋转方式总处理图

右单旋处理的方式与左单旋是一致的,只不过是反过来了,就不多介绍了。

  1. 失衡检测

    • 当插入的新节点导致父节点的平衡因子为 -2,并且新节点被插入到左子树的左侧时,发生左左失衡(LL失衡)。
  2. 旋转操作

    • 右单旋的核心目标是将父节点的左子树(即失衡节点的左子树根)提升为新的根节点,并将原来的父节点挂接到新根节点的右子树上。
parent->left = cur->right;  // 将左子树的右子树挂接到父节点的左子树
cur->right = parent;        // 将父节点挂接为左子树的右子树
  1. 处理父节点链接问题

    • 需要确保旋转后父节点的父节点(如果存在)正确地连接到新的根节点。
      • 如果原父节点有父节点(即不是根节点),则要更新父节点的左右子树指向新的根节点。
      • 如果原父节点是根节点,则更新树的根节点。
  2. 更新平衡因子

    • 旋转后,原父节点和新的根节点的平衡因子都应设置为 0,因为旋转使得这两颗子树已经平衡。
  3. 旋转结束

    • 完成旋转后,新的根节点成为子树的根,树恢复平衡。

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2. 右单旋具体会遇到的情况

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3. 右单旋代码总结

// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;parent->_left = curright;if (curright){curright->_parent = parent;}cur->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;if (ppnode == nullptr){cur->_parent = nullptr;_root = cur;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}// 改变平衡因子parent->_bf = cur->_bf =  0;
}

四、双旋

1. 右左双旋旋转逻辑

形成条件:parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1

这里是右左双旋的处理方式:

  1. 插入新节点
  2. 以cur进行右单旋
  3. 以parent进行左单旋

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2. 右左双旋可能会遇到的问题辨析

h = 0 的情况:
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h = 1 的情况:
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h = 2 的情况:
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3. 右左双旋平衡因子的处理

右左双旋的平衡因子与前面的单旋的平衡因子处理方式不同,单旋平衡因子再旋转过后全都是0,但是双旋的平衡因子不一样。

它分为以下三种情况:

  1. h = 0 的情况,及curleft._bf = 0

结果——>parent._bf = 0,cur._bf = 0,curleft._bf = 0

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  1. h > 0 的情况下,及curleft._bf == 1
    以以下C位置插入引发的旋转。

结果: parent._bf = -1,cur._bf = 0,curleft._bf = 0

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  1. h > 0 的情况下,及curleft._bf == -1
    以以下B位置插入引发的旋转。

结果: parent._bf = 0,cur._bf = 1,curleft._bf = 0

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4. 右左双旋代码总结

// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;int bf = curleft->_bf;// 右旋RotateR(cur);// 左旋RotateL(parent);// 调整平衡因子if (bf == 0){parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;cur->_bf = 1;curleft->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

五、左右双旋

形成条件:parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1

左右双旋与右左双旋类型,就是反过来的过程~

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// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;int bf = curright->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;cur->_bf = -1;curright->_bf = 0;}
}

总结

那么,到这里就结束啦!

通过学习AVL树的旋转机制,我们不仅掌握了数据结构平衡的重要性,更感受到了算法的巧妙与严谨。

如果对您有帮助的话,麻烦点一个一键三连,谢谢啦~😘😘😘😘

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