树链剖分（重链剖分）

树链剖分的核心思想就是将一棵树剖分成一条一条的链

因为树不好处理 但链比较好处理

为了学会它 我们先要学会树上dfs（深度优先搜索） 然后就没了（雾）

Because 树链剖分需要用到两个dfs

哦对了 我们还要了解以下的知识点

1.子树大小

就是一个节点的子树的节点个数（包括它自己）

2.重儿子

一个节点的所有儿子中子树大小最大的儿子

3.轻儿子

除了重儿子之外的儿子(包括根节点)

4.重边

两个相邻的重儿子连成的边

5.重链

重边连成的链（开头是轻儿子）

OK，了解完了

启动！

dfs1:

目标是求出以下数据

1： 节点的父节点 

2： 节点的深度 也就是它到根节点的距离 

3： 节点的重儿子 

4： 节点的子树大小 

思路十分的简单 直接上代码

void dfs1(int x)
{deep[x]=deep[fa[x]]+1;si[x]=1;//它自己也是 for(int i=0;i<a[x].size();i++){if(a[x][i]==fa[x]) continue;fa[a[x][i]]=x;dfs1(a[x][i]);si[x]+=si[a[x][i]];if(si[a[x][i]]>si[son[x]]) son[x]=a[x][i];}
}

dfs2:

目标是求出以下数据

1： 节点的所在的重链的顶端节点 

2： 节点的新编号 

3： 节点的新编号的值 

其中 新编号的原则是先走重儿子 再走轻儿子（理由下次一定）

比如

懂了吗？ 我相信你肯定懂了

思路也十分的简单 直接上代码

​
void dfs2(int x,int topf)
{id[x]=++cnt;top[x]=topf;b[cnt]=w[x];if(!son[x]) return;dfs2(son[x],topf);for(int i=0;i<a[x].size();i++){if(a[x][i]==fa[x]||a[x][i]==son[x]){continue;}dfs2(a[x][i],a[x][i]);}
}​

我们发现先走重儿子的话 就可以让重链上的点的新编号是连续的 也就形成了一条链

至此 树链剖分就结束了

那你一定很想问 这玩意有什么用呢？

题目

我们结合题目来看（其实是模板）

前置芝士：线段树

让我们处理4种操作

我们先来看操作3和操作4

通过观察图片可以看出

一个节点的子树的编号肯定是连续的

设子树的根是

左端点是的编号是 右端点的编号是

所以3操作就是将到加上

4操作就是求出到的值的和

即区间修改 ，区间查询

我们当然会想到线段树啦

直接拿下

之后我们来看1,2操作

先来看一看图

比如我们要从 7 到 4

我们可以先判断它俩的top是不是一个东西 发现不是 

发现4的深度比7小 这怎么可以呢？

我们交换一下 变成从 4 到 7

然后把4跳到它的top的父节点

也就是0（1的父节点是0）

并加上 1 到 4 的值 可以用线段树处理

之后在循环上述操作

直到两者的top相等

上代码

int getsum1(int x,int y)
{int sum=0;while(top[x]!=top[y]){if(deep[top[x]]<deep[top[y]]){swap(x,y);}sum=sum+query(1,1,n,id[top[x]],id[x]);x=fa[top[x]];}if(deep[x]>deep[y]){swap(x,y);}sum+=query(1,1,n,id[x],id[y]);return sum;
}

修改也差不多 直接上代码

void addsum1(int x,int y,int z)
{while(top[x]!=top[y]){if(deep[top[x]]<deep[top[y]]){swap(x,y);}add(1,1,n,id[top[x]],id[x],z);x=fa[top[x]];}if(deep[x]>deep[y]){swap(x,y);}add(1,1,n,id[x],id[y],z);
}

完整版：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,cnt,m,r,mod;
int b[110000],top[110000],w[110000],deep[110000],id[110000],fa[110000],si[110000],son[110000],tr[410000],tag[410000];
vector<int>a[110000];
void dfs1(int x)
{deep[x]=deep[fa[x]]+1;si[x]=1;//它自己也是 for(int i=0;i<a[x].size();i++){if(a[x][i]==fa[x]) continue;fa[a[x][i]]=x;dfs1(a[x][i]);si[x]+=si[a[x][i]];if(si[a[x][i]]>si[son[x]]) son[x]=a[x][i];}
}
void dfs2(int x,int topf)
{id[x]=++cnt;top[x]=topf;b[cnt]=w[x];if(!son[x]) return;dfs2(son[x],topf);for(int i=0;i<a[x].size();i++){if(a[x][i]==fa[x]||a[x][i]==son[x]){continue;}dfs2(a[x][i],a[x][i]);}
}
void build(int k,int l,int r)
{if(l==r){tr[k]=b[l];return;}int mid=(l+r)>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);tr[k]=tr[k<<1]+tr[k<<1|1];
}
void push_down(int k,int l,int r)
{if(tag[k]){int mid=(l+r)>>1;tag[k<<1]+=tag[k];tag[k<<1|1]+=tag[k];tr[k<<1]+=(mid-l+1)*tag[k];tr[k<<1|1]+=(r-mid)*tag[k];tag[k]=0;}
}
void add(int k,int l,int r,int q,int p,int d)
{if(q<=l&&p>=r){tag[k]+=d;tr[k]+=(r-l+1)*d;return;}push_down(k,l,r);int mid=(l+r)>>1;if(mid>=q){add(k<<1,l,mid,q,p,d);}if(mid<p){add(k<<1|1,mid+1,r,q,p,d);}tr[k]=(tr[k<<1]+tr[k<<1|1]);
}
int query(int k,int l,int r,int q,int p)
{if(q<=l&&p>=r){return tr[k];}push_down(k,l,r);int mid=(l+r)>>1,ssum=0;if(mid>=q){ssum+=query(k<<1,l,mid,q,p);}if(mid<p){ssum+=query(k<<1|1,mid+1,r,q,p);}return ssum;
}
int getsum1(int x,int y)
{int sum=0;while(top[x]!=top[y]){if(deep[top[x]]<deep[top[y]]){swap(x,y);}sum=sum+query(1,1,n,id[top[x]],id[x]);x=fa[top[x]];}if(deep[x]>deep[y]){swap(x,y);}sum+=query(1,1,n,id[x],id[y]);return sum;
}
int getsum2(int x)
{return query(1,1,n,id[x],id[x]+si[x]-1);
}
void addsum1(int x,int y,int z)
{while(top[x]!=top[y]){if(deep[top[x]]<deep[top[y]]){swap(x,y);}add(1,1,n,id[top[x]],id[x],z);x=fa[top[x]];}if(deep[x]>deep[y]){swap(x,y);}add(1,1,n,id[x],id[y],z);
}
void addsum2(int x,int y)
{add(1,1,n,id[x],id[x]+si[x]-1,y);
}
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&r,&mod);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&w[i]);}for(int i=1;i<n;i++){int x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);a[x].push_back(y);a[y].push_back(x);}dfs1(r);dfs2(r,r);build(1,1,n);while(m--){int op;scanf("%lld",&op);if(op==1){int x,y,z;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);addsum1(x,y,z);}if(op==2){int x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);printf("%lld\n",getsum1(x,y)%mod);}if(op==3){int x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addsum2(x,y);}if(op==4){int x;scanf("%lld",&x);printf("%lld\n",getsum2(x)%mod);}}return 0;
}