复杂网络（二）

一、网络的基本静态几何特征

1.1 度分布

节点的度：在网络中，节点的邻边数称为该节点的度

对于网络中所有节点的度求平均，可得到网络的平均度

度分布：大多数实际网络中的节点的度满足一定的概率分布。定义P(k)为网络中度为k的节点在整个网络中所占的比例。

规则网络：由于每个节点具有相同的度，所以其度分布集中在一个单一尖峰上。是一种Deta分布。

完全随机网络：度分布具有Poisson分布的形式，每一条边的出现概率是相等的，大多数节点的度基本相同，并接近于网络平均度<k>，远离峰值<k>，度分布则按指数形式集聚下降。把这类网络称为均匀网络。

无标度网络：具有幂指数形式的度分布。所谓无标度是指一个概率分布函数F(x)对于任意给定常数a存在常数b使得F(x)满足F(ax) = bF(x)。

1.2 网络的直径和平均距离

网络中的两节点和之间经历边数最少得一条简单路径(经历的边各不相同)，称为测地线

测地线的边数称为两节点和之间的距离

网络的直径D定义为所有距离中的最大值 

平均距离（特征路径长度）L定义为所有节点对之间距离的平均值，它描述了网络中节点间的平均分离程度，即网络有多小，计算公式为

很多实际网络虽然节点数巨大，但平均距离却小得惊人，这就是小世界效应

集聚系数：用以捕获给定节点的邻居节点之间的连接程度

1.3 度-度相关性

基于最近邻平均度值的度-度相关性

度-度相关性描述了网络中度大的节点和度小得节点之间的关系。若度大的节点倾向于和度大的节点连接，则网络是度-度正相关的；反之，若度大的节点倾向于和度小的节点连接，则网络是du-度负相关的。

节点的最近邻平均度值定义为 。

其中，表示节点的度值，为邻接矩阵元素。

基于Pearson相关系数的度-度相关性

 1.4 介数和核度

介数：

介数分为节点介数和边介数两种，反映了节点或边在整个网络中的作用和影响力。

节点的介数定义为 

式中，表示节点和之间的最短路径条数，表示节点和之间的最短路径经过节点的条数。

边的介数定义为

式中，表示节点和之间的最短路径系数条数，表示节点与之间的最短路径经过边的条数。

核度：

一个图的k-核是指反复去掉度值小于k的节点及其连线后，所剩余的子图，该子图的节点数就是该核的大小。若一个节点属于k-核，而不属于(k + 1)-核，则此节点的核度为k。节点核度的最大值叫做网络的核度。

网络密度：

网络密度指的是一个网络中各节点之间联络的紧密程度。网络G的网络密度d(G)定义为

,式中，M为网络中实际拥有的连接数，N为网络节点数。

二、代码实践

#Poisson分布(以ER网络为例)
# import networkx as nx
# import matplotlib.pyplot as plt
#
# #创建一个ER随机网络
n = 10000
# p = 0.001
# ER = nx.erdos_renyi_graph(n, p)
#
# #获取平均度
# d = dict(nx.degree(ER))
# print("平均度：", sum(d.values())/len(ER.nodes))
#
# #获取所有可能得度值对应的概率
# x = list(range(max(d.values())+1))
# y = [i/n for i in nx.degree_histogram(ER)]
# print("所有可能得度值对应的概率：", list(zip(x, y)))
# #绘制度分布图
# plt.plot(x, y)
# plt.xlabel("k")
# plt.ylabel("P(k)")
# plt.show()#幂律分布(以BA无标度网络为例)
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
m = 3
BA = nx.barabasi_albert_graph(n, m)
#获取平均度
d = dict(nx.degree(BA))
print("平均度：", sum(d.values())/len(BA.nodes))
#获取所有可能得度值对应的概率
x = list(range(max(d.values())+1))
y = [i/n for i in nx.degree_histogram(BA)]
print("所有可能得度值对应的概率：", list(zip(x, y)))
#绘制度分布图
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("k")
plt.ylabel("P(k)")
plt.show()#在双对数坐标轴下显示
plt.plot(x,y)
plt.xscale("log")
plt.yscale("log")
plt.xlabel("k")
plt.ylabel("P(k)")
plt.show()
#在双对数坐标轴下要把横坐标和纵坐标的0值排除
new_x = []
new_y = []
for i in range(len(x)):if y[i] != 0:new_x.append(x[i])new_y.append(y[i])
plt.plot(new_x,new_y)
plt.xscale("log")
plt.yscale("log")
plt.xlabel("k")
plt.ylabel("P(k)")
plt.show()