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二维泊松方程的通俗理解

二维泊松方程 是偏微分方程的一种形式，通常用于描述空间中某个标量场（如位相场、电势场）的分布规律。其一般形式为：

$${\nabla }^2\varphi (x,y)=f(x,y)$$

其中：

• $\varphi (x,y)$ 是需要求解的标量场，例如 TIE 方程中的相位分布。
• $f(x,y)$ 是已知的源项，表示某种驱动或者分布，如光强的变化率。

物理直观：

二维泊松方程的物理意义可以通过类比来理解：

• 热传导：$\varphi (x,y)$ 表示温度分布，$f(x,y)$ 是热源强度分布。
• 重力势：$\varphi (x,y)$ 表示引力势，$f(x,y)$ 是质量密度分布。
• 光学相位：在 TIE 中，$\varphi (x,y)$ 是光场的相位分布，$f(x,y)$ 是由光强变化产生的“驱动力”。

换句话说，泊松方程将一种“局部变化”（${\nabla }^2\varphi$）与“全局驱动力”（$f(x,y)$）联系起来。

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TIE 转化为泊松方程的形式

对于 TIE 方程：

$$\frac{\partial I(x,y,z)}{\partial z}=-\frac{\lambda }{2\pi }{\nabla }_{\perp }\cdot \left(I(x,y,z){\nabla }_{\perp }\varphi (x,y,z)\right)$$

可以将其重写为泊松方程的形式：

$${\nabla }_{\perp }\cdot \left(I(x,y){\nabla }_{\perp }\varphi (x,y)\right)=-\frac{2\pi }{\lambda }\frac{\partial I}{\partial z}$$

将 $g(x,y)=I(x,y){\nabla }_{\perp }\varphi (x,y)$ 引入后，有：
$${\nabla }_{\perp }\cdot g(x,y)=-\frac{2\pi }{\lambda }\frac{\partial I}{\partial z}$$

进一步转化为标准泊松方程形式：
$${\nabla }^2\varphi (x,y)=\frac{f(x,y)}{I(x,y)}$$
其中 $f(x,y)=-\frac{2\pi }{\lambda }\frac{\partial I}{\partial z}$。

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傅里叶变换求解泊松方程

1. 为什么用傅里叶变换解泊松方程？

泊松方程涉及 空间梯度（如 ${\nabla }^2$，即拉普拉斯算子）。傅里叶变换在数学上有一个重要特性：

• 微分变为乘法：在频域中，拉普拉斯算子 ${\nabla }^2$ 对应的是空间频率平方的乘积 $-k_x^2-k_y^2$。
• 这使得方程从微分方程变成代数方程，简化了求解过程。

2. 傅里叶变换的过程

泊松方程：
$${\nabla }^2\varphi (x,y)=f(x,y)$$

对两边做傅里叶变换（记为 $\mathcal{F}$），得：
$$\mathcal{F}({\nabla }^2\varphi )=\mathcal{F}(f)$$

利用傅里叶变换的性质，$\mathcal{F}({\nabla }^2\varphi )=-(k_x^2+k_y^2)\cdot \mathcal{F}(\varphi )$，因此：
$$-(k_x^2+k_y^2)\Phi (k_x,k_y)=F(k_x,k_y)$$

其中：

• $\Phi (k_x,k_y)$：相位 $\varphi (x,y)$ 在频域中的表示。
• $F(k_x,k_y)$：$f(x,y)$ 在频域中的表示。

解得：
$$\Phi (k_x,k_y)=-\frac{F(k_x,k_y)}{k_x^2+k_y^2}$$

3. 避免分母为零的问题

当 $k_x^2+k_y^2=0$ 时（即零频点处），分母为零。这通常对应光场整体的平均相位，这一部分可以忽略或通过设定边界条件解决。例如，直接将零频点处的值置为零：

$$\Phi (0,0)=0$$

4. 逆傅里叶变换回到空间域

通过逆傅里叶变换（${\mathcal{F}}^{-1}$），将 $\Phi (k_x,k_y)$ 转换回相位分布：
$$\varphi (x,y)={\mathcal{F}}^{-1}(\Phi (k_x,k_y))$$

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总结：为什么可以这么做

1. 傅里叶变换的优点：

   • 将复杂的微分操作转化为频域中的简单乘法，显著简化了解泊松方程的计算难度。
   • 频域方法特别适合求解涉及大范围数据的连续问题，如图像中的相位分布。

2. 数学上的严谨性：

   • 傅里叶变换和逆变换是完全可逆的，保证了从空间域到频域再回到空间域的信息一致性。

3. 频率分析的物理意义：

   • 相位梯度和强度变化在本质上是一种空间频率特征，而傅里叶变换就是对这种频率信息的自然表示。

通过傅里叶变换解泊松方程，不仅是数值上的优化，更是利用了物理和数学上的深层对应关系。