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切比雪夫不等式：方差约束下的概率估计

news 文章来源：https://blog.csdn.net/qq_22841387/article/details/144284209 2025/4/30 9:48:04

切比雪夫不等式：方差约束下的概率估计

背景

在概率分析中，切比雪夫不等式是一个常用的工具，它通过引入随机变量的 方差信息，给出了偏离均值的概率界限。这一不等式是对 马尔科夫不等式 的自然扩展，结合了更丰富的分布信息。通过它，我们可以更精确地描述随机变量的偏差行为。

核心思想

切比雪夫不等式旨在刻画以下概率：
$\mathbb{P}(|X - \mu| \geq t)$
其中， $\mu = \mathbb{E}[X]$ 是随机变量 $X$ 的期望， $t > 0$ 是阈值。为了进行更紧密的估计，引入 $X$ 的方差 $\sigma^2 = \mathbb{E}[(X - \mu)^2]$ 。

切比雪夫不等式表明：
$\mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2}.$

这一结果的直观意义是：随机变量偏离均值的概率与方差成正比，与偏差阈值的平方成反比。当 $t$ 增大时，偏离概率迅速下降。

从马尔科夫不等式的扩展到切比雪夫不等式

马尔科夫不等式扩展回顾

回顾马尔科夫不等式扩展：给定一个非负随机变量 $X$ 和一个单调递增的非负函数 $g$ ，我们有：
$\mathbb{P}(X \geq t) = \mathbb{P}(g(X) \geq g(t)) \leq \frac{\mathbb{E}[g(X)]}{g(t)}, \quad g(t) > 0.$
这一形式可以推广到许多场景，具体证明可以参考我的博客马尔科夫不等式扩展：非线性函数下的概率上界。

切比雪夫不等式的推导

在切比雪夫不等式中，我们让随机变量的偏差 $\mu|$ ，并选择 $g(x) = x^2$ 。此时：
$\mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) = \mathbb{P}(Z \geq t) = \mathbb{P}(g(Z) \geq g(t)) \leq \frac{\mathbb{E}[g(Z)]}{g(t)}.$

对于 $g(x) = x^2$ ，我们有：
$Z^2 = (X - \mu)^2, \quad g(t) = t^2.$

因此：
$\mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) \leq \frac{\mathbb{E}[(X - \mu)^2]}{t^2}.$

注意到 $\mathbb{E}[(X - \mu)^2]$ 就是 $X$ 的方差 $\sigma^2$ ，最终得到：
$\mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2}.$

例子：投资收益的概率估算

假设你投资一个项目 $X$ ，它的年平均收益是 $5\%$ （即 $\mathbb{E}[X] = 0.05$ ），年收益的方差为 $\text{Var}(X) = \sigma^2 = 0.01$ 。你想知道收益超过期望值 $50\%$ （即 $\mathbb{E}[X]| \geq 0.5$ ）的概率有多大。

使用马尔科夫不等式估算

首先，根据前面马尔科夫不等式，我们可以得到结果
$\mathbb{P}(X \geq 0.5) \leq \frac{0.05}{0.5} = 0.1.$
即，收益超过 $50\%$ 的概率不会超过 $10\%$ 。

马尔科夫不等式：一个快速的概率上界工具-CSDN博客

使用切比雪夫不等式估算

切比雪夫不等式考虑了收益的偏离范围，即：
$\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}[X]| \geq t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2}.$
这里的 $t$ 是收益偏离期望值的阈值，因此 $t = 0.5 - 0.05 = 0.45$ ，代入 $\sigma^2 = 0.01$ ：
$\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}[X]| \geq 0.45) \leq \frac{0.01}{0.45^2} \approx 0.049.$
即，收益偏离 $50\%$ 的概率不会超过 $4.9\%$ 。

对比与分析

概率上界的精度
- 使用马尔科夫不等式得到的概率上界是 $10\%$ ，而使用切比雪夫不等式后，概率上界下降到了 $4.9\%$ 。
- 切比雪夫不等式利用了方差信息，给出了更紧的概率界限。
适用范围
- 马尔科夫不等式只需要知道随机变量的均值，适用于所有非负随机变量，因此更通用。
- 切比雪夫不等式需要额外的方差信息，因此对分布的要求更高，但界限更精确。
解释意义
- 马尔科夫不等式的结果相对宽松，因为它只利用了均值信息，假设更大的分布范围。
- 切比雪夫不等式通过引入方差，更好地描述了随机变量的波动特性。

特点与不足

优点

利用方差信息：相比马尔科夫不等式，切比雪夫不等式通过引入方差，得到了更紧的概率上界。
适用性广：只需知道均值和方差，无需任何额外的分布假设。
直观性：通过与方差和偏差的关系，定量描述了概率的变化。

缺点

上界仍然宽松：实际概率往往远小于不等式给出的界限。
不考虑分布形状：切比雪夫不等式无法充分利用随机变量的分布信息。

进一步延伸

更紧的界限：如果随机变量具有更详细的信息（如分布的对称性或独立性），可以使用更高级的不等式，如赫夫丁不等式或切尔诺夫界。
特殊分布的分析：对于某些特定分布，如正态分布，可以通过分布函数直接计算偏差概率，从而获得更精确的估计。

小结

切比雪夫不等式是从马尔科夫不等式出发，通过引入方差，提供了一个更紧密的概率界限。它在随机变量分析中具有广泛的应用，是概率界限工具箱中的一件基础工具。然而，在实际场景中，如果能够获取更多的分布特征，使用更高级的不等式往往能带来更好的结果。

在后续内容中，我们将进一步探讨如 Chernoff Bound（切尔诺夫界） 这样的工具，如何实现对偏差概率的更精确控制。