临界比例法PID调整-附带pidtune工具和GA算法

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1背景

为了模拟PID参数整定，把教材上的案例进行分析。

1题目

单位闭环传递函数，开环传函G(s)=1/((s+1)(s+2)), Ts=0.1s, PID调整器输出后，接零阶保持器ZOH。

2 代码 

PID含积分环节TI/s，

PID控制器 C(s)=Kp+sKi​+Kd⋅s 是一个非因果模型，因为它的分子（Kd⋅s）的阶数高于分母（1）的阶数。因此，不能直接使用 "zoh"、"foh" 或 "impulse" 方法来转换PID控制器。

具体编码：

注意PID的参数可以逐步添加。

% 定义闭环传递函数 G(s)
s = tf('s'); % 定义传递函数变量s
G = 1 / ((s + 1) * (s + 2)); % 给定的闭环传递函数% 定义PID控制器
% PID控制器的传递函数为：C(s) = Kp + Ki/s + Kd*s
%----这里可调整，从进行PID参数整定-------------
Kp = 5; % 比例增益
% Ki = 0.1; % 积分增益
% Kd = 0.01; % 微分增益
C = Kp + Ki / s + Kd * s; % PID控制器传递函数% 将连续时间系统转换为离散时间系统
Ts = 0.1; % 采样时间
% PID 不能用c2d函数，可用 双线性变换.PID控制器 C(s)=Kp+ 
%s Ki +Kd⋅s 是一个非因果模型，因为它的分子（Kd⋅s）的阶数高于分母（1）的阶数。
Gz = c2d(G, Ts, 'zoh'); % 使用零阶保持(ZOH)方法进行转换
% Cz = c2d(C, Ts, 'zoh'); % 使用零阶保持(ZOH)方法进行转换Cz = c2d(C, Ts, 'tustin');% 双线性离散% 闭环系统
Tz = feedback(Cz * Gz, 1); % 闭环传递函数，单位反馈
% 仿真时间
t = 0:Ts:10; % 仿真时间从0到10秒，步长为采样时间Ts% 仿真阶跃响应
figure;
step(Tz, t); % 绘制离散时间系统的阶跃响应
title('阶跃响应');
xlabel('时间/秒');
ylabel('响应');
grid on;

3临界比例整定过程（未达到最优）

3.1 KI=KD=0,逐步增大P

KP=32 基本等副振荡。Tr=1.1s

3.2 查表

控制度=1.2， 进行PI查表

T=0.05*Tr=0.05*1.1=0.055s.

KP=0.49*32=16

KI=0.91*1.1=1s

代入PI参数

效果并不好， 稳态误差太大，说明积分效果不好。加大ki

稳态误差没有了。增加D

3.2 查表，加入D

KD=0.47s

 

没有达到最好的效果。

4 用AI来寻优

以下是基于Ziegler-Nichols方法调整PID参数的步骤：

1. 确定临界增益（Ku）和临界周期（Pu）

1. 将积分增益（Ki）和微分增益（Kd）设置为0，仅使用比例增益（Kp）。

2. 逐步增加Kp，直到系统的输出开始出现持续振荡。

3. 记录此时的比例增益值，称为临界增益（Ku），以及振荡的周期，称为临界周期（Pu）。

2. 根据Ziegler-Nichols公式计算PID参数

根据Ziegler-Nichols方法，PID参数可以通过以下公式计算：

• 比例增益（Kp）：Kp=0.6×Ku

• 积分增益（Ki）：Ki=2×Kp/Pu

• 微分增益（Kd）：Kd=Kp×Pu/8

示例

假设通过实验，你发现系统的临界增益（Ku）为2.5，临界周期（Pu）为1.5秒。（测试应该为KU=32，PU=1.1，我无法在推荐的参数获得结果）

根据上述公式，可以计算出PID参数：

• Kp=0.6×2.5=1.5

• Ki=2×1.5/1.5=2.0

• Kd=1.5×1.5/8=0.28125

他们没有使用ZOH。。

% 定义闭环传递函数 G(s)
s = tf('s'); % 定义传递函数变量s
G = 1 / ((s + 1) * (s + 2)); % 给定的闭环传递函数% 定义PID控制器
Kp = 1.5; % 比例增益
Ki = 2.0; % 积分增益
Kd = 0.28125; % 微分增益
C = Kp + Ki / s + Kd * s; % PID控制器传递函数% 闭环系统
T = feedback(C * G, 1); % 闭环传递函数，假设单位反馈% 仿真时间
t = 0:0.01:10; % 仿真时间从0到10秒，步长为0.01秒% 仿真阶跃响应
figure;
step(T, t); % 绘制闭环系统的阶跃响应
title(strcat('阶跃响应 KP=', num2str(Kp),',Ki=',num2str(Ki),'Kd=',num2str(Kd) ));
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('响应');
grid on;

5 上pidtune工具包

pidtune 是 MATLAB 中用于自动调整 PID 控制器参数的工具，其工作原理基于系统模型的分析，通过优化算法平衡控制系统的性能和鲁棒性。以下是 pidtune 的工作原理及使用方法的详细说明：

pidtune 的工作原理

1. 系统模型分析：

   • pidtune 首先需要一个线性时不变（LTI）模型，如传递函数（tf）或状态空间（ss）模型。

   • 它通过分析系统的开环特性（如增益、相位、零点和极点）来确定合适的 PID 参数。

2. 性能与鲁棒性平衡：

   • pidtune 通过优化算法自动调整 PID 参数，以实现快速响应（性能）和足够的稳定裕度（鲁棒性）。

   • 用户可以通过指定目标带宽（wc）或相位裕度等参数，进一步调整控制系统的性能。

3. 控制器类型选择：

   • pidtune 支持多种控制器类型，包括 PI、PD、PID、PIDF（带微分滤波器）以及两自由度（2-DOF）PID 控制器。

   • 用户可以根据系统需求选择合适的控制器类型。

4. 交互式调整：

   • 在 MATLAB 的 Live Editor 中，pidtune 提供了交互式调参功能，用户可以实时调整控制器性能，并生成相应的 MATLAB 代码

使用 pidtune 的基本步骤

1. 定义系统模型：

   • 使用 tf 或 ss 创建系统的传递函数或状态空间模型。

   matlab复制

   sys = tf([1], [1, 3, 2]); % 示例传递函数

2. 调用 pidtune：

   • 指定控制器类型（如 'PI'、'PID' 等），pidtune 将返回优化后的 PID 参数。

   matlab复制

   [C, info] = pidtune(sys, 'PID'); % 自动调整 PID 参数

3. 分析结果：

   • 返回的 C 是优化后的 PID 控制器对象，info 包含闭环稳定性、带宽和相位裕度等信息。

   matlab复制

   disp(C); % 显示 PID 参数
   disp(info); % 显示性能和鲁棒性信息

4. 高级选项：

   • 用户可以通过 pidtuneOptions 设置更多选项，如目标带宽、相位裕度等。

   matlab复制

   opts = pidtuneOptions('CrossoverFrequency', 1.5, 'PhaseMargin', 60);
   C = pidtune(sys, 'PID', opts);

5. 验证性能：

   • 使用 step 或 bode 函数验证闭环系统的阶跃响应或频率响应。

                step(feedback(C * sys, 1));

代码

% 定义系统传递函数
s = tf('s');
G = 1 / ((s + 1) * (s + 2));% 使用pidtune自动整定PID参数
[pid, info] = pidtune(G, 'PID');% 查看整定后的PID参数
disp('整定后的PID参数:');
disp(pid);% 绘制闭环阶跃响应
T = feedback(pid * G, 1);
step(T);
title('自动整定后的闭环阶跃响应');

6 GA算法

6.1. 遗传算法（GA）的基本原理

遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过选择、交叉和变异等操作，逐步逼近问题的最优解。其基本流程包括以下几个步骤：

1. 初始化种群：随机生成一组初始解，每个解称为一个“个体”或“染色体”，通常用一组参数表示。

2. 计算适应度：对每个个体计算其适应度（fitness），适应度函数通常根据问题的目标来评估个体的优劣。

3. 选择操作：根据适应度选择优秀的个体，适应度高的个体有更大的概率被选中，用于生成下一代。

4. 交叉操作：随机选择两个个体，通过某种方式交换部分基因，生成新的个体。

5. 变异操作：对新生成的个体进行随机的小幅度变异，以增加种群的多样性，防止算法陷入局部最优。

6. 终止条件判断：如果满足终止条件（如达到最大迭代次数或适应度达到预设阈值），则停止迭代，否则返回步骤2。

6.2. 遗传算法在PID参数优化中的应用

PID控制器的性能依赖于其三个参数：比例增益（Kp）、积分增益（Ki）和微分增益（Kd）。遗传算法可以通过优化这些参数来提高PID控制器的性能。

具体步骤如下：

1. 初始化种群：随机生成一组PID参数（Kp、Ki、Kd），作为初始种群。

2. 计算适应度：对每个个体（一组PID参数），构建PID控制器并计算闭环系统的性能指标（如超调量、调节时间、稳态误差等）。通常使用积分平方误差（ISE）或积分绝对误差（IAE）作为适应度函数。

3. 选择操作：根据适应度选择优秀的个体，适应度高的个体有更大的概率被选中。

4. 交叉操作：随机选择两个个体，交换部分参数值，生成新的个体。

5. 变异操作：对新生成的个体进行随机的小幅度变异，例如随机调整Kp、Ki或Kd的值。

6. 终止条件判断：如果满足终止条件（如达到最大迭代次数或适应度达到预设阈值），则停止迭代，输出最优的PID参数。

6.3 实现代码

% 清除变量和关闭所有图形窗口
clear; close all;% 定义被控对象 G(s)
s = tf('s');
G = 1 / ((s + 1) * (s + 2)); % 给定的被控对象传递函数% 定义目标函数（适应度函数）
objective = @(pid) optimizePID(pid, G);% 遗传算法优化PID参数
nvars = 3; % PID参数数量：Kp, Ki, Kd
lb = [0, 0, 0]; % 参数下界
ub = [10, 10, 10]; % 参数上界
options = optimoptions('ga', 'Display', 'iter', 'PopulationSize', 100, 'MaxGenerations', 100);% 运行遗传算法
[x, fval] = ga(objective, nvars, [], [], [], [], lb, ub, [], options);% 输出优化后的PID参数
Kp = x(1);
Ki = x(2);
Kd = x(3);
disp(['优化后的PID参数：Kp = ', num2str(Kp), ', Ki = ', num2str(Ki), ', Kd = ', num2str(Kd)]);% 构建PID控制器并验证闭环性能
C = pid(Kp, Ki, Kd); % 使用MATLAB的pid函数构建PID控制器
T = feedback(C * G, 1); % 闭环传递函数% 绘制阶跃响应
figure;
step(T);
title('优化后的闭环阶跃响应');
grid on;% 目标函数：优化PID参数
function cost = optimizePID(pid, G)% 在函数中重新定义传递函数变量ss = tf('s');Kp = pid(1);Ki = pid(2);Kd = pid(3);C = Kp + Ki / s + Kd * s; % 构建PID控制器传递函数T = feedback(C * G, 1); % 闭环传递函数% 获取阶跃响应的性能指标info = stepinfo(T);steadyStateValue = dcgain(T); % 计算稳态值cost = info.Overshoot + info.SettlingTime + abs(1 - steadyStateValue); % 最小化超调、调节时间和稳态误差
end

遗传算法通过模拟生物进化过程，能够有效地优化PID控制器的参数。通过合理设计适应度函数和遗传操作，遗传算法可以在复杂的参数空间中找到最优解，从而显著提高PID控制器的性能