当前位置： 首页 > news >正文

【最优化理论】线性规划

news 2026/2/8 11:11:58

文章目录

  • 什么是线性规划（Linear Programming，LP）？
  • 线性规划的标准形式
  • 非标准形LP模型转化为标准形LP模型
  • 基本概念
    • 基本解&基矩阵&基变量&非基变量
    • 基本可行解&可行基矩阵&非退化的基本可行解&退化的基本可行解
    • 基本可行解存在性
    • 求基本可行解
      • 示例：求基本可行解
    • 求最优解
      • 方法一（暴力枚举）：求出所有基本可行解找最小
      • 方法二（迭代）：从一个基本可行解跳转到一个目标函数值更小的基本可行解
  • 多面体
  • 多面体分解定理
  • 单纯形法
    • 基本思想
    • 原理
    • 方法
    • 1 确定出基变量和出基向量的下标
    • 2 确定进基变量和进基向量的下标
    • 3 确定进基变量的值
      • 终止条件
  • 单纯形法计算步骤
  • 单纯形法表格形式

什么是线性规划（Linear Programming，LP）？

目标函数为决策变量的线性函数，同时约束条件为线性等式或线性不等式约束。

线性规划的标准形式

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

非标准形LP模型转化为标准形LP模型

在这里插入图片描述

基本概念

在这里插入图片描述

基本解&基矩阵&基变量&非基变量

基本可行解&可行基矩阵&非退化的基本可行解&退化的基本可行解

在这里插入图片描述

基本可行解存在性

在这里插入图片描述

求基本可行解

求基本可行解<=>求极点<=>求可行基矩阵<=>Am∗nA_{m*n}Am∗n​矩阵m个线性无关列
在这里插入图片描述

示例：求基本可行解

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

求最优解

方法一（暴力枚举）：求出所有基本可行解找最小

求出所有基本可行解（即求极点）。
代入目标函数找出最小极点（该最小极点即为最优解，因为最优解一定在极点取得）。

方法二（迭代）：从一个基本可行解跳转到一个目标函数值更小的基本可行解

在这里插入图片描述

多面体

在这里插入图片描述

多面体基本性质

在这里插入图片描述

多面体的极点

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

x若是极点，正分量对应的A的列一定线性无关。

示例：求极点

在这里插入图片描述

多面体S有多少个极点？- 有限个 & 最多CnmC_n^mCnm​

最多有CnmC_n^mCnm​个极点，一般都少于CnmC_n^mCnm​，有两个原因。
原因1：从n个列中选出m列不一定线性无关。
原因2：即使这m列线性无关，其组成的B也不一定满足B−1b≥0B^{-1}b\ge 0B−1b≥0。

多面体的方向

在这里插入图片描述

多面体的极方向

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

多面体的极方向有多少个？- 有限个

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

示例：求极方向

在这里插入图片描述
d≥0

多面体分解定理

在这里插入图片描述

多面体分解定理有什么作用？

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

重新表示可行集

在这里插入图片描述

重新定义线性规划问题

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

为什么min⁡∑λiCTxi\min \sum \lambda_i C^Tx_imin∑λi​CTxi​等价于min⁡CTxi,i=1,...,k\min C^Tx_i,i=1,...,kminCTxi​,i=1,...,k？

求min⁡CTxi，i=1,...,k\min C^Tx_i，i=1,...,kminCTxi​，i=1,...,k，找到最小xrx_rxr​就是最优值点，令min⁡∑λiCTxi\min \sum \lambda_i C^Tx_imin∑λi​CTxi​中λr=1\lambda_r=1λr​=1其他的λ都为0，CTxrC^Tx_rCTxr​就是最优值。

何时有最优解？

CTdj≥0C^Td_j \ge 0CTdj​≥0时，存在最优解。

CTdj<0C^Td_j \lt 0CTdj​<0时，无解。

最优解是什么？

最优解一定在极点上取到。

min⁡CTxi，i=1,...,k\min C^Tx_i，i=1,...,kminCTxi​，i=1,...,k，找到最小xrx_rxr​就是最优值点，CTxrC^Tx_rCTxr​就是最优值。

单纯形法

在这里插入图片描述

基本思想

在这里插入图片描述

原理

实现基本可行基的转化

方法

在这里插入图片描述

从初始基本可行解出发，求一个改进的基本可行解。

1 确定出基变量和出基向量的下标

2 确定进基变量和进基向量的下标

3 确定进基变量的值

目标函数值只与非基变量有关。
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

终止条件

在这里插入图片描述

单纯形法计算步骤

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

单纯形法表格形式

相关文章：

【最优化理论】线性规划

文章目录什么是线性规划&#xff08;Linear Programming&#xff0c;LP&#xff09;&#xff1f;线性规划的标准形式非标准形LP模型转化为标准形LP模型基本概念基本解&基矩阵&基变量&非基变量基本可行解&可行基矩阵&非退化的基本可行解&退化的基本可行…...

编程日记 2023/5/28 20:42:47

数据库测试的认知和分类

数据库测试的认知和分类 目录&#xff1a;导读 系统测试 集成测试 单元测试 功能测试 数据库性能 性能优化分4部分 安全测试 现在的软件系统&#xff0c;尤其是业务应用系统&#xff0c;后台都连接着一个数据库。数据库中存储了大量的数据&#xff0c;数据库的设计是否…...

编程日记 2023/5/15 18:34:14

MQ中间件概念一览

一、概述 1. 大多应用中&#xff0c;可通过消息服务中间件来提升系统异步通信、扩展解耦能力 2. 消息服务中两个重要概念&#xff1a; 消息代理&#xff08;message broker&#xff09;和目的地&#xff08;destination&#xff09; 当消息发送者发送消息以后&#xff0c;将由…...

编程日记 2023/5/17 2:42:16

爱尔兰公司注册要求及条件

简介&#xff1a; 爱尔兰是一个高度发达的资本主义国家&#xff0c;也是欧盟、经济合作与发展组织、世界贸易组织和联合国的成员国。并且也是世界经济发展速度快的国家之一&#xff0c;因经济发达赢得了“欧洲小虎”的美誉。总体来看&#xff0c;爱经济发展势头趋稳&#xff0c…...

编程日记 2023/5/29 13:31:59

Java中如何打印对象内存地址？

先看一个简单的程序&#xff0c;一般我们打印对象&#xff0c;大部分是下面的情况&#xff0c;可能会重写下toString()方法&#xff0c;这个另说 Frolan frolan new Frolan(); System.out.println(frolan);// 输出结果 com.test.admin.entity.Frolan2b80d80f这个结果其实是调…...

编程日记 2023/5/31 0:47:33

CF1707E Replace

题目描述 给定一个长为 nnn 的序列 a1,…,ana_1,\ldots,a_na1​,…,an​&#xff0c;其中对于任意的 iii 满足 1≤ai≤n1 \leq a_i \leq n1≤ai​≤n。 定义一个二元组函数如下&#xff1a; f((l,r))(min⁡{al,…,ar},max⁡{al,…,ar})(l≤r)f((l,r))(\min\{a_l,\ldots,a_r\}…...

编程日记 2023/5/29 2:50:18

【Hello Linux】Linux工具介绍 （make/makefile git）

作者&#xff1a;小萌新 专栏&#xff1a;Linux 作者简介&#xff1a;大二学生 希望能和大家一起进步&#xff01; 本篇博客简介&#xff1a;介绍Linux的常用工具make/makefile git Linux项目自动化构建工具 – make/Makefile 背景 会不会写Makefile 从侧面说明了一个人是否具…...

编程日记 2023/5/10 12:00:02

享元模式flyweight

享元模式属于结构型模式。享元模式是池技术的重要实现方式&#xff0c;它可以减少重复对象的创建&#xff0c;使用缓存来共享对象&#xff0c;从而降低内存的使用。细粒度的对象其状态可以分为两种&#xff1a;内部状态和外部状态。应用场景系统存在大量相似或相同的对象。外部…...

编程日记 2023/5/15 8:59:03

Pulsar

一、简介Apache Pulsar是Apache软件基金会顶级项目&#xff0c;是下一代云原生分布式消息流平台&#xff0c;集消息、存储、轻量化函数式计算为一体&#xff0c;采用计算与存储分离架构设计&#xff0c;支持多租户、持久化存储、多机房跨区域数据复制&#xff0c;具有强一致性、…...

编程日记 2023/5/30 5:40:58

项目介绍 + 定长内存池设计及实现

你好&#xff0c;我是安然无虞。 文章目录项目介绍当前项目做的是什么?技术栈内存池是什么?池化技术内存池内存池主要解决的问题malloc定长内存池学习目的定长内存池设计项目介绍 当前项目做的是什么? 这个项目是实现一个高并发的内存池, 它的原型是 Google 的一个开源项…...

编程日记 2023/5/27 11:48:20

Linux--线程安全的单例模式--自旋锁--0211

1. 线程安全的单例模式 1.1 什么是单例模式 某些类, 只应该具有一个对象(实例), 就称之为单例. 1.1.1 懒汉方式实现单例模式 以上篇博文的线程池为例 Liunx--线程池的实现--0208 09_Gosolo&#xff01;的博客-CSDN博客 实现懒汉模式首先要先将构造函数私有化&#xff0c;…...

编程日记 2023/5/23 5:30:13

图文解说S参数（进阶篇）

S参数是RF工程师/SI工程师必须掌握的内容&#xff0c;业界已有多位大师写过关于S参数的文章&#xff0c;即便如此&#xff0c;在相关领域打滚多年的人&#xff0c; 可能还是会被一些问题困扰着。你懂S参数吗? 图文解说S参数&#xff08;基础篇&#xff09; 请继续往下看...台湾…...

编程日记 2023/5/8 19:27:45

Sentinel源码阅读

基础介绍 Sentinel 的使用可以分为两个部分: 核心库&#xff08;Java 客户端&#xff09;&#xff1a;不依赖任何框架/库&#xff0c;能够运行于 Java 8 及以上的版本的运行时环境&#xff0c;同时对 Dubbo / Spring Cloud 等框架也有较好的支持&#xff08;见 主流框架适配&…...

编程日记 2023/5/26 12:26:07

2023年浙江食品安全管理员考试真题题库及答案

百分百题库提供食品安全管理员考试试题、食品安全管理员考试预测题、食品安全管理员考试真题、食品安全管理员证考试题库等&#xff0c;提供在线做题刷题&#xff0c;在线模拟考试&#xff0c;助你考试轻松过关。 一、判断题 7.&#xff08;重点&#xff09;《餐饮服务食品安全…...

编程日记 2023/5/5 7:08:17

Webstorm 代码没有提示，uniapp 标签报错

问题 项目是用脚手架创建的&#xff1a; vue create -p dcloudio/uni-preset-vue my-project 打开之后&#xff0c;添加view标签警告报错的。代码也没有提示&#xff0c;按官方说法&#xff1a;CLI 工程默认带了 uni-app 语法提示和 5App 语法提示。 但是我这里就是有问题。…...

编程日记 2023/5/11 8:47:40

MySQL-Innodb引擎事务原理

文章目录1.事务介绍2 事务特性3. 事务的实现原理4 redo log 保证持久性5 undo log 保证原子性6 MVCC 概念6.1 隐藏字段6.2 版本链6.3 ReadView6.3.1readview 版本控制规则7 隔离性 实现7.2 隔离性- REPEATABLE READ 可重复读下8 一致性1.事务介绍 事务是一组操作的集合&#xf…...

编程日记 2023/5/16 0:16:31

Linux操作系统学习（了解环境变量）

文章目录环境变量初识除了上述介绍的PATH&#xff0c;还有一些常见的环境变量如&#xff1a;查看环境变量方法 &#xff1a;环境变量的基本概念&#xff1a;本地变量&#xff1a;环境变量初识 环境变量解释起来比较抽象&#xff0c;先看示例&#xff1a; #include <stdio.…...

编程日记 2023/5/28 5:56:46

数据分析思维（六）｜循环/闭环思维

循环/闭环思维 1、概念 在很多的分析场景下&#xff0c;我们需要按照一套流程反复分析&#xff0c;而不是进行一次性的分析&#xff0c;也就是说这套流程的结果会成为该流程的新一次输入&#xff0c;从而形成一个闭环&#xff0c;此时的分析思维我们称之为循环/闭环思维。 常…...

编程日记 2023/5/31 9:59:08

C++：类和对象（下）

文章目录1 再谈构造函数1.1 构造函数体赋值1.2 初始化列表1.3 explicit关键字2 static成员2.1 概念2.2 特性3 友元3.1 友元函数&#xff08;流插入&#xff08;<<&#xff09;及流提取&#xff08;>>&#xff09;运算符重载&#xff09;3.2 友元类4 内部类5 匿名对…...

编程日记 2023/5/3 15:02:34

ASP.NET Core MVC 项目 AOP之IResultFilter和IAsyncResultFilter

目录 一：说明 二：IActionFilter同步 三：IAsyncActionFilter异步 一：说明 IResultFilter同步过滤器与IAsyncResultFilter异步过滤器常常被用作于渲染视图或处理结果。 IResultFilter同步过滤器执行顺序： 1：执行控制器中的构造函数，实例化控制器 2：执行具体的Acti…...

编程日记 2023/5/21 0:49:55

谷歌浏览器插件

项目中有时候会用到插件 sync-cookie-extension1.0.0&#xff1a;开发环境同步测试 cookie 至 localhost&#xff0c;便于本地请求服务携带 cookie 参考地址&#xff1a;https://juejin.cn/post/7139354571712757767 里面有源码下载下来&#xff0c;加在到扩展即可使用FeHelp…...

编程新知 2025/8/16 3:55:30

【项目实战】通过多模态+LangGraph实现PPT生成助手

PPT自动生成系统 基于LangGraph的PPT自动生成系统&#xff0c;可以将Markdown文档自动转换为PPT演示文稿。 功能特点 Markdown解析&#xff1a;自动解析Markdown文档结构PPT模板分析&#xff1a;分析PPT模板的布局和风格智能布局决策&#xff1a;匹配内容与合适的PPT布局自动…...

编程新知 2026/2/3 22:50:07

【2025年】解决Burpsuite抓不到https包的问题

环境&#xff1a;windows11 burpsuite:2025.5 在抓取https网站时&#xff0c;burpsuite抓取不到https数据包&#xff0c;只显示&#xff1a; 解决该问题只需如下三个步骤&#xff1a; 1、浏览器中访问 http://burp 2、下载 CA certificate 证书 3、在设置--隐私与安全--…...

编程新知 2026/1/28 3:43:20

数据库分批入库

今天在工作中&#xff0c;遇到一个问题&#xff0c;就是分批查询的时候&#xff0c;由于批次过大导致出现了一些问题&#xff0c;一下是问题描述和解决方案&#xff1a; 示例&#xff1a; // 假设已有数据列表 dataList 和 PreparedStatement pstmt int batchSize 1000; // …...

编程新知 2026/1/8 11:38:36

管理学院权限管理系统开发总结

文章目录 &#x1f393; 管理学院权限管理系统开发总结 - 现代化Web应用实践之路&#x1f4dd; 项目概述&#x1f3d7;️ 技术架构设计后端技术栈前端技术栈 &#x1f4a1; 核心功能特性1. 用户管理模块2. 权限管理系统3. 统计报表功能4. 用户体验优化 &#x1f5c4;️ 数据库设…...

编程新知 2026/1/24 6:30:25

视频行为标注工具BehaviLabel（源码+使用介绍+Windows.Exe版本）

前言&#xff1a; 最近在做行为检测相关的模型&#xff0c;用的是时空图卷积网络&#xff08;STGCN&#xff09;&#xff0c;但原有kinetic-400数据集数据质量较低&#xff0c;需要进行细粒度的标注&#xff0c;同时粗略搜了下已有开源工具基本都集中于图像分割这块&#xff0c…...

编程新知 2026/2/6 5:04:18

【电力电子】基于STM32F103C8T6单片机双极性SPWM逆变（硬件篇）

本项目是基于 STM32F103C8T6 微控制器的 SPWM（正弦脉宽调制）电源模块，能够生成可调频率和幅值的正弦波交流电源输出。该项目适用于逆变器、UPS电源、变频器等应用场景。 供电电源 输入电压采集 上图为本设计的电源电路，图中 D1 为二极管， 其目的是防止正负极电源反接， …...

编程新知 2026/1/25 3:29:22

【Nginx】使用 Nginx+Lua 实现基于 IP 的访问频率限制

使用 NginxLua 实现基于 IP 的访问频率限制 在高并发场景下&#xff0c;限制某个 IP 的访问频率是非常重要的&#xff0c;可以有效防止恶意攻击或错误配置导致的服务宕机。以下是一个详细的实现方案&#xff0c;使用 Nginx 和 Lua 脚本结合 Redis 来实现基于 IP 的访问频率限制…...

编程新知 2025/10/22 6:06:44

MySQL JOIN 表过多的优化思路

当 MySQL 查询涉及大量表 JOIN 时&#xff0c;性能会显著下降。以下是优化思路和简易实现方法&#xff1a; 一、核心优化思路 减少 JOIN 数量 数据冗余&#xff1a;添加必要的冗余字段&#xff08;如订单表直接存储用户名&#xff09;合并表&#xff1a;将频繁关联的小表合并成…...

编程新知 2026/1/11 6:22:16

脑机新手指南（七）：OpenBCI_GUI：从环境搭建到数据可视化（上）

一、OpenBCI_GUI 项目概述 &#xff08;一&#xff09;项目背景与目标 OpenBCI 是一个开源的脑电信号采集硬件平台&#xff0c;其配套的 OpenBCI_GUI 则是专为该硬件设计的图形化界面工具。对于研究人员、开发者和学生而言&#xff0c;首次接触 OpenBCI 设备时&#xff0c;往…...

编程新知 2026/2/3 4:26:32