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【最优化理论】线性规划

news 2026/2/7 17:30:37

文章目录

  • 什么是线性规划（Linear Programming，LP）？
  • 线性规划的标准形式
  • 非标准形LP模型转化为标准形LP模型
  • 基本概念
    • 基本解&基矩阵&基变量&非基变量
    • 基本可行解&可行基矩阵&非退化的基本可行解&退化的基本可行解
    • 基本可行解存在性
    • 求基本可行解
      • 示例：求基本可行解
    • 求最优解
      • 方法一（暴力枚举）：求出所有基本可行解找最小
      • 方法二（迭代）：从一个基本可行解跳转到一个目标函数值更小的基本可行解
  • 多面体
  • 多面体分解定理
  • 单纯形法
    • 基本思想
    • 原理
    • 方法
    • 1 确定出基变量和出基向量的下标
    • 2 确定进基变量和进基向量的下标
    • 3 确定进基变量的值
      • 终止条件
  • 单纯形法计算步骤
  • 单纯形法表格形式

什么是线性规划（Linear Programming，LP）？

目标函数为决策变量的线性函数，同时约束条件为线性等式或线性不等式约束。

线性规划的标准形式

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非标准形LP模型转化为标准形LP模型

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基本概念

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基本解&基矩阵&基变量&非基变量

基本可行解&可行基矩阵&非退化的基本可行解&退化的基本可行解

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基本可行解存在性

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求基本可行解

求基本可行解<=>求极点<=>求可行基矩阵<=>Am∗nA_{m*n}Am∗n​矩阵m个线性无关列
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示例：求基本可行解

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求最优解

方法一（暴力枚举）：求出所有基本可行解找最小

求出所有基本可行解（即求极点）。
代入目标函数找出最小极点（该最小极点即为最优解，因为最优解一定在极点取得）。

方法二（迭代）：从一个基本可行解跳转到一个目标函数值更小的基本可行解

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多面体

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多面体基本性质

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多面体的极点

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x若是极点，正分量对应的A的列一定线性无关。

示例：求极点

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多面体S有多少个极点？- 有限个 & 最多CnmC_n^mCnm​

最多有CnmC_n^mCnm​个极点，一般都少于CnmC_n^mCnm​，有两个原因。
原因1：从n个列中选出m列不一定线性无关。
原因2：即使这m列线性无关，其组成的B也不一定满足B−1b≥0B^{-1}b\ge 0B−1b≥0。

多面体的方向

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多面体的极方向

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多面体的极方向有多少个？- 有限个

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示例：求极方向

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d≥0

多面体分解定理

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多面体分解定理有什么作用？

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重新表示可行集

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重新定义线性规划问题

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为什么min⁡∑λiCTxi\min \sum \lambda_i C^Tx_imin∑λi​CTxi​等价于min⁡CTxi,i=1,...,k\min C^Tx_i,i=1,...,kminCTxi​,i=1,...,k？

求min⁡CTxi，i=1,...,k\min C^Tx_i，i=1,...,kminCTxi​，i=1,...,k，找到最小xrx_rxr​就是最优值点，令min⁡∑λiCTxi\min \sum \lambda_i C^Tx_imin∑λi​CTxi​中λr=1\lambda_r=1λr​=1其他的λ都为0，CTxrC^Tx_rCTxr​就是最优值。

何时有最优解？

CTdj≥0C^Td_j \ge 0CTdj​≥0时，存在最优解。

CTdj<0C^Td_j \lt 0CTdj​<0时，无解。

最优解是什么？

最优解一定在极点上取到。

min⁡CTxi，i=1,...,k\min C^Tx_i，i=1,...,kminCTxi​，i=1,...,k，找到最小xrx_rxr​就是最优值点，CTxrC^Tx_rCTxr​就是最优值。

单纯形法

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基本思想

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原理

实现基本可行基的转化

方法

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从初始基本可行解出发，求一个改进的基本可行解。

1 确定出基变量和出基向量的下标

2 确定进基变量和进基向量的下标

3 确定进基变量的值

目标函数值只与非基变量有关。
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终止条件

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单纯形法计算步骤

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单纯形法表格形式

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