离散数学集合论

集合论

主要内容

• 集合基本概念

  • 属于、包含
  • 幂集、空集
  • 文氏图等

• 集合的基本运算

  • 并、交、补、差等

• 集合恒等式

  • 集合运算的算律，恒等式的证明方法

集合的基本概念

集合的定义

集合没有明确的数学定义

理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集合的元素

常见的数集：N,Z,Q,R,C等分别表示自然数，整数，有理数，实数，负数集合

集合表示法

枚举法–通过列出全体元素来表示集合

谓词表示法–通过谓词概括集合元素的性质

实例 枚举法自然数集合N={0,1,2,3…}

谓词法 S={x|x是实数 ，x^2-1=0}

元素和集合

1. 集合的元素具有的性质
   1. 无序性：元素列出的顺序无关
   2. 相异性：集合的每个元素只计数一次
   3. 确定性：对任何元素和集合都能确定这个元素是否为该集合的元素
   4. 任意性：集合的元素也可以是集合
2. 元素与集合的关系
   1. 隶属关系
3. 集合的树形层次结构A={{a,b},{b},d}

集合与集合

集合与集合之间的关系

$$\subseteq ,=,⊊,\ne ,\subset$$
定义6.1 幂集

实例 计数，如果|A|=n,则 幂集的个数为2^n

全集E：包含了所有集合的集合 全集具有相对性，与问题有关，不存在绝对的全集

以下描述的集合是什么？(U表示论域)

集合的运算

初级运算

集合的基本运算有 并

相对补 A-B ={x|}

对称差 （A-B）∪(B-A)

绝对补集

并和交运算可以推广到有穷个集合上，即

广义运算

集合的广义并与广义交

广义并

文氏图

求1到100之间（包含 1和1000在内）即不能被5 和 6 整除，也不能被8整除的数有多少个？

定义以下集合

1.能够被5整除的数 200个

能够被6整除的数 166个

能够被8整除的数 125个

按照荣次原理，需要将能够被 5和6 ，5和8 6和8 同时整除的数减去，在加上同时能够被5 6 8整除的数，具体计算可参考下面的公式

不被5 6 8整除的数 = 总数-（能够被5整除的数+能够被6整除的数+能够被 8整除的数） -

容斥原理

• 容斥原理是组合数学中的一个重要原理，他在技术问题中占有很重要的地位
• 容斥原理所研究的问题是与若干有限集的交、并、或差有关的计数
• 在实际工作中，有时需要计算某种性质的元素个数

求不超过20的正整数中2或3的倍数的个数

2的倍数

对于求两个有限集合A和B的并集的元素数目

定理1 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

即具有性质A或B的元素的个数 等于具有性质A的元素个数和具有兴致B的元素个数的和，减去同时具有性质A和B的元素个数

计算1到700之间能被7整除的整数个数

直接计算相当麻烦，间接计算非常容易

先计算1到700之间能够被7整除的整数个数700/7=100

所以1到700之间不能被7整除的整数个数 700-100=600

逆向思维方式

一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、120人，同时修数学、物理的学生45人，同时修数学、化学的20人；同时修物理、化学22人，同时修三门课的三人，假设每个学生至少修一门课，问这学校共有多少学生？

令A、B、C分别为修数学、物理、化学的学生集合

|A∪B∪C|

=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|

=170+130+120-45-22-20+3=336

即学校共有336名学生

对于一般的n个有限集合

错位排列问题

在一个餐厅里，新雇员寄存了N个人的帽子，忘记把寄存号放在帽子上。当顾客取回他们的帽子时，这个雇员从剩下的帽子中随机选择发给他们。问没有一个人收到自己帽子的概率

这本质上就是一个错排问题。

当n=1时，{1}的全排列只有一个(1),他不是错位 所以D1=0

当n=2时，{1,2}的全排列有两个(1,2) 和(2,1)

前者不是错位，后者是错位，所以D2=1

当n=3时，{1,2,3}的全排列有6个

{1,2,3}{1,3,2}{3,2,1}{2,1,3},{3,1,2}{2,3,1}

前4个不是错位，后两个是错位 所以D3=2

全错位排列计数

n 个元素依次给以标号1,2…n N个元素的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上的排列数

设Ai为数i在第i位上的全体排列， i=1,2…n

注：总的排列数为n！

故总的错位排列数为

Ai在原来位置上，则Ai不能动，因而有

|Ai|=(n-1)! ,i=1,2…n

同理

|Ai∩Aj|=(n-2)!,i = 1,2,…,n i!=j

由于是错排，这些排列应排除

但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除。。继续这一过程，得到错排的排列种数

每个元素都不在原来未知的排列数

例子：在8个字母ABCDEFGH的全排列中，求使得ACEG四个字母不在原来上的错排数目

8个字母的全排列中，令A1 A2 A3 A4 分别在ACEG在原来位置上的排列

二元关系

• 有序对与笛卡尔积
• 二元关系的定义与表示法
• 关系的运算
• 关系的性质
• 关系的闭包
• 等价关系与划分
• 偏序关系

有序对与笛卡尔积

定义7.1由两个元素x和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作<x,y>

有序对性质

1. 有序性<x,y>不等<y,x>（当x不等y）
2. <x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是

<x,y>=<u,v> <=> x=u并且y=v

7.2

笛卡尔积

设A，B为集合，A与B的笛卡尔积记作AxB，且AxB={<x,y>|x∈A并且y属于B}

例子1

A={1,2,3} B={a,b,c}

AxB

={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c><3,a>,❤️,b>,❤️,c>}

BxA

={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>,<c,3>}

A={∅} B={∅}

P(A)xA={<∅,∅>,<{∅},∅}

P(A)xB=∅

笛卡尔积的性质

不适合交换律

不适合结合律

对于并或交与运算满足分配律

若A或B有一个为空集，则AXB就是空集

二元关系

如果一个集合满足以下条件之一

集合非空，且他的元素都是有序对

集合是空集

则称该集合为一个二元关系，简称为关系，记作R

如果<x,y>∈R，可记作xRy，如果<x,y>不属于R，则记作 x y

实例 R={<1,2>,<a,b>}

S={<1,2>,a,b}

R是二元关系，当a,b不是有序对时，S不是二元关系

根据上面的写法，可以写1R2 aRb a c等

A到B的关系与A上的关系

定义7.4

设AB为集合，AXB的任何自己所定义的二元关系叫做A到B 的二元关系当A=B的时候叫做A上的二元关系

例三

A={0,1} B={1，2,3}那么

R1={0,2}R2=AXB R3=∅ R4={<0,1>}

R1,R2,R3,R4是从A到B的二元关系

R3和R4也是A上的二元关系

计数:|A|

|AxA|=n^2 AxA的自己有多少个 所以A上有2ⁿ2

例如A=3，则A上有 512个不同的二元关系

A上重要关系的实例

定义7.5设A为集合

空集 A上的关系，称为空关系

全域关系Ea={<x,y>|x∈A并且y∈A}=AXA

恒等关系Ia={<x,x>|x∈A}

小于等于关系Ia={<x,y>|x,y∈A并且x≤y}A为实数子集

整除关系 Da={<x,y>|x,y∈A并且x整除y}A为非0的整数子集

包含关系R属 ={<x,y>∈A并且x}A是集合族

例如A={1,2}则

EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}

IA={<1,1><2,2>}

例如A={1,2,3}B={a,b}

则lA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,❤️,3>}

DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,❤️,3>}

A=P(B)={∅,{a},{b},{a,b}}则A上的包含关系

<∅，∅>,<∅,{a}>,<∅,{b}> <∅,{a,b}>,<{a},{a}>,<{a},{a,b}>

<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b}{a,b}>

关系的运算

关系的基本运算

关系的定义域、值域与域分别定义为

dom={x|存在y(<x,y>∈R)}

ranR={y|存在x(<x,y>∈R)}

fldR=domR∪ranR

例如R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}

domR={1,2,4}

ranR={2,3,4}

fldR={1,2,3,4}

关系运算（逆与合成 )

关系的逆运算

R-1={<y,x>|<x,y>∈R}

关系的合成运算

FOG={<x,y>|存在t(<x,t>∈F∩<t,y>∈G)}

R={<1,2>,<2,3>,<1,4>,<2,2>}

S={<1,1>,<1,3>,<2,3>,❤️,2>,❤️,3>}

R-1={<2,1>,❤️,2>,<4,1>,<2,2>}

ROS={<1,3>,<2,2>,<2,3>}

SOR={<1,2>,<1,4>,❤️,3>,❤️,2>}

关系运算（限制与像）

设R是二元关系，A是集合

R在A上的限制记作R↾A 其中

R↾A={<x,y>|xRy并且x∈A}

A在R上的像记作R[A]其中，R[A]=ran(R↾A)

说明

R在A上的限制R↾A是R的子关系，及R↾A∈R

A在R上的像R[A]是ranR的子集，即R[A]属于ranR

例子R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,❤️,2>}则

R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,❤️,2>}则

R↾{1}={<1,2>,<1,3>}

R↾∅=∅

R↾{2,3}={<2,2>,<2,4>,❤️,2>}

R[{1}]={2,3}

R[∅]=∅

R[{3}]={2}

关系运算的性质

设F是任意的关系，则(F-1)-1=F

domF-1=ranF,ranF-1=domF

设F，G,H是任意的关系，则

(FoG)oH=Fo(GoH)

(FoG)-1=G-1 o F -1

关系的幂运算

设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：

R0={<x,x>|x∈A}=IA

Rn+1=RnoR

注意

对于A上的任何关系R1和R2都有R10=R20=IA

对于A上的任何关系R都有R1=R

幂的求法

设A={a,b,c,d}R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

求R的各次幂，分别用矩阵和关系图表示

R与R^2的关系矩阵分别是

关系的性质

设R为A上的关系

若Vx(x∈A-><x,x>∈R)，则称R在A上是自反的

若Vx(x∈A-><x,x>∉R),则称关系R在A上是反自反的

实例

自反：全域关系Ea 恒等关系Ia 小于等于关系LA，整除关系DA

反自反：实数集上的小于关系，幂集上的真包含关系‘

A={1,2,3} R1,R2,R3是A上的关系，其中

R1={<1,1>,<2,2>}

R2={<1,1><2,2>,❤️,3>,<1,2>}

R3={<1,3>}

R2自反 R3反自反 R1既不是自反的也不是反自反的

对称性与反对称

定义7.12设R为A上的关系

1.若VxVy(x,y∈A^<x,y>∈R-><y,x>∈R)则称R为A上对称的关系

若若VxVy(x,y∈A^<x,y>∈R-><y,x>∈R->x=y)则称R为A上的反对称关系

实例：对称关系A上的全域关系Ea 恒等关系IA 和空关系

反对称关系 恒等关系IA和空关系也是A上的反对称关系

设A={1,2,3} R1,R2,R3,R4都是A上的关系，其中

R1={<1,1>,<2,2>}

R2={<1,1><1,2>,<2,1>}

R3={<1,2>,<1,3>}

R4={<1,2>,<2,1>,<1,3>}

R1：对称和反对称

R2只有对称

R3：只有反对称

R4:不对称，不反对称

传递性

定义7.13设R为A上的关系，若

任意x任意y任意z(x,y,z属于A并且<x,y>属于R并且<y,z>∈R-><x,z>∈R)

则称R是A上的传递关系

实例：A上的全域关系EA，恒等关系IA和空关系∅，小于等于关系，整除关系，包含与真包含关系

设A={1,2,3}R1,R2,R3是A上的关系，其中

R1={<1,1>,<2,2>}

R2={<1,2>,<2,3>}

R3={<1,3>}

R1和R3是A上的传递关系，R2不是A上的传递关系

关系性质成立的充要条件

设R为A上的关系，则

• R在A上自反当且仅当IA是R的子集
• R在A上反自反当且仅当R∩IA=∅
• R在A上对称当且仅当R=R-1
• R在A上反对恒当且仅当R∩R-1是IA的子集
• R在A上传递当且仅当ROR是R的子集

关系性质的三种等价条件

	自反性	反自反性	对称性	反对称性	传递性
集合	Ia是R的子集	R∩IA=∅	R=R-1	R∩R-1是IA的子集	ROR是MR的子集
关系矩阵	主对角线元素全是1	主对角元素全是0	矩阵是对称矩阵	rij＝1 **且i≠j*,** 则rji＝0
关系图	每个顶点都有环	每个顶点都没有环	两点之间有边，是一对方向相反的边	两点之间有边，是一条有向边	点xi到xj有边，到有边，则xi到也有到边j

对称（两点之间有边，是一对方向相反的边）

反自反（每个顶点都没有环）、反对称（两点之间有边，是一条有向边）、传递

c自反， 反对称

关系的闭包

主要内容

• 闭包定义
• 闭包的构造方法
  • 集合表示
  • 矩阵表示
  • 图表示
• 闭包的性质

一个对象

对象的圆闭包，橘黄色圈，满足

1，是圆的（性质)

2,包含所给对象

3,如果有个绿色圆也能包含该对象，就一定也能够包含这个橘黄圈

对象的正方形闭包，蓝色框，满足

1.是正方形的

2.包含所给对象

3.如果有个红色正方形也能包含该对象，就一定也能包含这个 青涩狂

闭包定义

定义7.4设R是非空集合A上的关系，R的自反(对称或传递)闭包是A上的关系R’，使得R’满足以下条件

1. R‘是自反的（对称的或传递的）
2. R是R’的子集
3. 对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R’’ 有R’是R’’ R的自反闭包记作r®，对称闭包记作s®,传递闭包记作t®

定理7.10 设R为A上的关系，则有

1. r®=R∪R0=R∪IA
2. s®=R∪R-1
3. t®=R∪R2∪R3…并RN

说明对有穷集A(|A|=n)上的关系，(3)中的并最多不超过Rn

**例子9 **

设A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}

R和r®,s®,t®的关系图如下图所示

求传递闭包的算法

算法warshall

输入：M（R的关系矩阵）

输出:MT(t®的关系矩阵)

实例

设A={a,b,c,d}R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}

R 的传递闭包的矩阵如下

M0

闭包的性质

定理7.11 设R是非空集合A上的关系则

（1）R是自反的当且仅当r®=R

(2)R是对称的当且仅当s®=R

(3)R是传递的，当且仅当t®=R

7.12设R1和R2是非空集合A上的关系，且R1是R2的子集，

则r(R1)是r(R2)子集，同理对于对称闭包与传递比表也是类似的

定理7.13设R是非空集合A上的关系

1. 若R 是自反的，则s®与t®也是自反的
2. 设R是对称的，r®与t®也是对称的
3. 若R是传递的，则r®是传递的

证明，如果需要进行多个闭包运算，比如求R的自反，对称，传递的闭包tsr®运算顺序如下

tsr®=rts®=trs®

7.6等价关系与划分

• 等价关系的定义与实例
• 等价类及其性质
• 商集与集合的划分
• 等级关系与划分的一一对应

定义7.15设R是非空集合A上的关系，如果R是自反的，对称的和传递的，则称R为A上的等价关系，设R是一个等价关系，若<x,y>∈R，则称x等价于y。记作x~y

实例 A={1,2…8}如下定义A上的关系R

R={<x,y>|x,y∈A并且x与y模3 相等，即x除以3的余数与y除以3的余数相等，不难验证R为A上的等价关系，因为}

1. 任意x∈A，有x=x(mod3)
2. 任意x,y∈A，若x=y(mod3)则有y=x(mod3)
3. 任意x,y,z∈A，若x=u(mod3),y=z(mod3),则有x=z(mod3)

模3等价关系的关系图

等价关系的关系矩阵与关系图

关系矩阵

• 主对角线元素等于1
• 对称矩阵
• MR=MRn

关系图

• 每一节点都有一自划线
• 如果有从a到b的弧，那么也有从b到a的弧
• 如果有从a到c有一条路径，则从a到c有一条弧

等价类定义

定义7.16设R 为非空集合A上的等价滚西，任意x∈A，令[x]R={y|y∈A交xRy}

称[x]R为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简称为[x]

实例 A={1，2，,8}上模3等价关系的 等价类

[1]=[4]=[7]={1,4,7}

[2]=[5]=[8]={2,5,8}

[3]=[6]={3,6}

定理7.14设R是非空集合A上的等价关系，则

1. 任意x∈A，[x]是A上的非空子集
2. 任意x,y属于A，如果xRy，则[x]=[y]
3. 任意x,y∈A,如果xy,则[x]与[y]不交
4. ∪{|x|x∈A}=A

商集与划分

定义7.14设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R上的商集，记作A/R

A/R={[x]R|x∈A}

实例 设A={1,2，…8}A关于模3等价关系的 商集为

A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}

A关于恒扥关系和全域关系的商集为

A/IA={{1},{2}…,{8}}

A/EA={{1,2,…,8}}

定义7.18设A为非空集合，若A的子集组π(π是P(A)的子集)满足

1.∅∉π

2.任意x任意y(x,y∈π交x≠y->x∩y=∅)

∪π=A

则称π是A的一个划分，称π中的元素为A的划分快

划分实例

设A={a,b,c,d}给定π1={{a,b,c},{d}}

π2={{a,b},{c},{d}}

π3={{a},{a,b,c,d}}

π4={{a,b},{c}}

π5={∅{,a,b},{c,d}}

π6={{a,{a}},{b,c,d}}

π1和π2是A的划分，其他都不是A的划分

实例

给出A={1，2,3}上所有的等价关系

解：先做出A的划分，从左到右分别记作π1，π2，π3，π4，π5

π1对应EA,π5对应IA，π2，π3和π4分别对应R2,R3,R4

R2={<2,3>,❤️,2>}∪IA

R3={<1,3>,❤️,1>}∪IA

R4={<1,2>,<2,1>}∪IA

偏序关系

主要内容

偏序关系

• 偏序关系的定义
• 偏序关系的实例

偏序集与哈斯图

偏序集中特殊元素及其性质

极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、最小上届，最小下界

7.19偏序关系非空集合A上的自反，反对称和传递的关系

记作≤，设≤为偏序关系，如果<x,y>∈≤，则记作x≤y，读作x小于或等于 y

实例

集合A上的恒扥关系IA也是A上的偏序关系

小于或等于关系，整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系

定义7.20设R为非空集合A上的偏序关系

1. x,y∈A，x与y可比等价x≤y或y≤x
2. 任取元素x和y，可能有以下几种情况发生 x<y 或 y<x x=y，x与y是不可比的

定义7.21R为非空集合的偏序关系

任意x,y∈A，x与y都是可比的，则称R为全序

实例：数集上的小于等于关系是全序关系，整除关系不是正整数集合上的全序关系

定义7.22x,y∈A，如果x<y且不存在z∈A使得x<z<y则称y覆盖x

例如{1,2,4,6}集合上整除关系，2覆盖1,4,和6,覆盖2,4不覆盖1

定义7.23集合A和A上的偏序关系≤一起叫做偏序集，记作<A,≤>

实例<Z,≤>,<P(A),R属于>

哈斯图：利用偏序关系的自反、反对称、传递性进行简化的关系图

特点

每个节点没有环

两个连通的节点之间的序关系通过节点位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前

且 有覆盖关系的两个节点之间连边

1. 去环
2. 去覆盖以外的边
3. 重新排列
4. 去剪头

例子

偏序集<{2,3,6,12,24,36},R整除>和<P({a,b,c}),R属于>的哈斯图

例子：已知偏序集<A,R>的哈斯图如下图所示，试求出集合A和关系R的表达式

偏序集中的特殊关系

定义7.24设<A,≤>为偏序集，B是A的子集，y∈B

1. 若任意x(x∈B->y<=x)成立，则称y为B的最小元
2. 若任意x(x∈B->y>=x)成立，则称y为B的最大元
3. 若任意x(x∈B并且x<=y->x=y)成立，则称y为B的极小元
4. 若任意x(x∈B并且y<=x->x=y)成立，则称y为B的极大元

性质

• 对于有穷集，极小元和极大元一定存在，可能存在多个
• 最小元和最大元不一定存在，如果存在一定唯一
• 最小元一定是极小元，最大元一定是极大元
• 孤立点即是极小元，也是极大元

偏序集中的特殊元素

1. 若任意x(x∈B->x<=y)成立，则称y为B的上界
2. 若任意x(x∈B->y<=x)成立，则称y为B 的下界
3. 令C={y|y为B的上界}，C的最小元为B的最小上界偶上确界
4. 令D={y|y为B的下界}，D的最大元为B的最大下界或下确界

性质

• 下界、上界、下确界、上确界不一定存在
• 下界、上界存在不一定唯一
• 下确界、上确界如果存在，则唯一
• 集合的最小元是其下确界，最大元是其上确界，反之不对

实例

设偏序集<A,≤>求A的极小元、最小元、极大元，最大元，设B={b,c,d}求B的下界，上界，下确界，上确界

解：

极小元：a,b,c,g

极大元：a,f,h

没有最小元和最大元

B的下界和最大下界都不存在

上界 d和f

最小上界为d

实例

某偏序关系的哈斯图如右图所示，讨论当B 取相应集合时，其最大元，最小元，极大元，极小元，上/下界，上/下确界

B	极小元	极大元	最小元	最大元
{a,b}	a,b	a,b	无	无
{a,b,c}	a,b	c	无	c
{a,b,c,d}	a,b	c,d	无	无
{b,c,d,f}	b	f	b	f
{a,c,f,i}	a	i	a	i

B	上界	下界	上确界	下确界
{a,b}	c,d,e,f,g,h,i	无	无	无
{a,b,c}	c,e,f,h,i	无	c	无
{a,b,c,d}	f,h,i	无	f	无
{b,c,d,f}	f,h,i	b	f	n
{a,c,f,i}	i	a	i	a

习题

设A={1,2,3}R={<x,y>|x,y∈A且x+2y<=6},S={<1,2>,<1,3>,<2,2>}

求R 的集合表达式

R-1

domR，ranR，fldR

ROS,R^3

r®,s®,t®

1. R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,❤️,1>}
2. R-1={<1,1>,<2,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>}
3. domR={1,2,3}ranR={1,2},fldR={1,2,3}
4. RoS={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,❤️,2>,❤️,3>}
5. R^3={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,❤️,1>,❤️,2>}

r®={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,❤️,1>,❤️,3>}

s®={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,❤️,1>,<1,3>}

t®={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,❤️,1>,❤️,2>}

设偏序集<A,R>的哈斯图如下所示

写出A和Rd的集合表达式

求该偏序集中的极大元，极小元，最大元，最小元

A={a,b,c,d,e}

R={<d,b>,<d,a>,<d,c>,<e,c>,<e,a>,<b,a>,<c,a>}并Ia

极大元和最大元是a

没有最小元

B	极小元	极大元	最小元	最大元	上界	上确界	下界	下确界
{2,3}	2,3	2,3	无	无	6,12,24,36	6	1	1
{1,2,3}	1	2,3	1	无	6,12,24,36	6	1	1
{6,12,4}	6	24	6	24	24	24	1,2,3,6	6
A	1	24,36	1	无	无	无	1	1

例题4

设R是Z上的模n等价关系，即x~y<=>x=y(modn)试给出由R确定的Z的划分π

设除以n余数为r的整数构成等价类[r],则[r]={kn+r|k∈z}，r=0,1,…,n-1

π={[r]|r=0,1,…,n-1}

例题5

设R是A上的二元关系，设S={<a,b>|存在c(<a,c>∈R交<c,b>∈R)}证明如果RE是等价关系，则S也是等价关系

证：R是A上的等加固韩系